Nº18 Matemática: 11ºA
Preparação para o Teste de Maio 2012
(GEOMETRIA)
Grupo I
1. Num referencial o.n. Oxyz, considera um ponto A pertencente ao semieixo positivo Ox e um
ponto B pertencente ao semieixo positivo Oy.
Quais das seguintes podem ser as coordenadas do vector AB ?
2,0,1
2,1,0
(A)
(B) 2,0, 1
(C)
(D) 2, 1,0
B
2. Na figura está representado um tetraedro regular.
A, B, C e D são os vértices do tetraedro e AB
6
O valor do produto escalar BC BD é:
(A) 18
(B) 18 2
(C) 36
(D) 36 2
D
A
C
3. Na figura está representado um paralelepípedo rectângulo [PQRSTUVX].
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
(A) TP QU
0
(B) UQ TX
0
(C) PQ TU
0
(D) PQ PV
0
4. Considera um vector AB tal que
AB
T
1.
V
U
S
R
Q
P
Qual é o valor do produto escalar AB AB ?
(A) 1
(B) -1
(C) 0
(D) 2
z
5. Na figura está representada, num referencial o.n. Oxyz, uma
recta PQ.
O ponto P pertence ao plano yOz
O ponto Q pertence ao plano xOy
P
4
5
0
Indica qual das condições seguintes define a recta PQ.
5 y 4z 0
3,0, 4 k 3,5,0 , k
(B) x, y, z
(C) x 3 y 5 z 4
3,5,0 k 3,0, 4 , k
(D) x, y, z
X
x
(A) 3 x
3
y
Q
R
R
6. Num referencial o.n. Oxyz, considera os pontos P 0,0,4 e Q 0,4,0 .
Qual dos seguintes pontos pertence ao plano mediador do segmento de recta PQ ?
(A) A 1,0,0
(B) B 1,2,0
(C) C 2,1,0
(D) D 1,0,2
ANO LETIVO 2011-2012
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7. Num referencial o.n. Oxyz, o ponto de intersecção da recta r :
xOz tem coordenadas
(A) 1,2,0
(B) 1,0,2
x 1
2
(C) 1,0,6
y 2
1
z
com o plano
3
(D) 3,0,6
z
8. Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um
cubo.
O vértice O é a origem do referencial.
O vértice A pertence ao eixo Oz
O vértice G pertence ao eixo Oy
O vértice E pertence ao eixo Oz
H é o centro da face [OGFE]
Uma equação do plano que contém os pontos D, B
e H é x y 10 .
A
B
C
D
O
G
H
E
y
F
x
Qual é a mediada da aresta do cubo?
(A) 5
(C) 5 2
(B) 10
(D) 10 2
9. Considera, num referencial o.n. Oxyz, os planos
e , definidos pelas seguintes equações
:x 1 e : y 2.
Seja r a recta de intersecção dos planos
e .
Indica qual das expressões seguintes é uma equação vectorial da recta r.
x, y , z
(B) x, y, z
(C) x, y, z
(D) x, y, z
(A)
1,2,0 k 0,0,2 , k R
1,1,0 k 1,2,0 , k R
1,1,0 k 0,0,2 , k R
1,2,0 k 1,2,0 , k R
10. Considera, num referencial o.n. Oxyz, dois planos concorrentes, de equações x
x
y 7z
y 3z
1e
7.
Seja r a recta de intersecção dos dois planos.
Qual dos pontos seguintes pertence à recta r?
(A) 5,5,0
(B) 1,0,0
(C) 0,0, 1
11. Num referencial o.n. Oxyz, a condição
(A) O conjunto vazio (B) um ponto
x
0
z
3
(D) 4,3,0
define
(C) uma recta
(D) um plano
12. Qual das condições seguintes define, num referencial o.n. Oxyz, uma recta paralela ao eixo Oy?
(A) x 1 y 2 z 3
(B) x 2 z 1
(C) x y z
(D) y 1
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13. Num referencial o.n. Oxyz, considera as rectas r e s, definidas por:
r:x 2
y 1
z 3 e s : x, y , z
2,1,3
k 1,0,1 , k
R
Qual das afirmações é verdadeira?
(A) r e s são concorrentes
(B) r e s são não complanares
(C) r e s são paralelas
(D) r e s são perpendiculares
14. Num referencial o.n. Oxyz, as rectas AB e r são paralelas.
O vector AB tem coordenadas ( 2, m,3)
A recta r é definida pala condição
x 1
2
z
3
y
O valor de m é:
1
3
(A)
(B)
(C) 0
1
(D) 1
15. Para um certo número real k, as rectas r e s, definidas, em referencial o.n. Oxyz, pelas
condições
r:
x 1
2
y 3
2
z
3
s:
x 3
2
y 5
2
z k
3
são coincidentes. Qual é o valor de k?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
16. Num referencial o.n. Oxyz, os planos
:x
y
z
1
2
0
e
Os planos
e
são
(A) Coincidentes
(C) concorrentes não perpendiculares
e
: 2x
(D) 4
são definidos pelas equações:
2y
2z 1 0 .
(B) estritamente paralelos
(D) perpendiculares
17. Dois planos
e
são estritamente paralelos.
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
(A) Qualquer recta contida em
é paralela a qualquer recta contida em .
(B) Há rectas contidas em
que intersectam .
(C) Há rectas perpendiculares a
que não são perpendiculares a .
(D) Dada uma recta contida em , existem em
infinitas rectas que lhe são paralelas.
18. Sejam
e
dois planos perpendiculares.
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
(A) Qualquer recta paralela a
é paralela a .
(B) Qualquer recta paralela à intersecção de
e
é paralela a .
(C) Qualquer recta perpendicular a
é perpendicular a .
(D) Qualquer recta perpendicular à intersecção de
e
é perpendicular a
19. Num referencial o.n. Oxyz, considera os pontos P 1,0,0 , Q 0,1,0 e R 0,0,1 .
Qual das condições seguintes define uma recta perpendicular ao plano PQR?
(A) x 1 y 1 z 1
(B) x 1 y 1
(C) x 1 y 2 z 3
(D) x y z 1
.
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20. Considera, num referencial o.n. Oxyz, uma recta r, perpendicular ao plano yOz.
Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?
(A) A recta r é perpendicular ao plano xOy
(B) A recta r está contida no plano xOy
(C) A recta r é perpendicular ao eixo Ox
(D) A recta r é paralela ao eixo Ox.
21. Considera duas rectas distintas, r e s, perpendiculares a um mesmo plano.
Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
(A) r é perpendicular a s.
(B) r e s são concorrentes, mas não perpendiculares.
(C) r é paralela a s
(D) r e s não são complanares.
22. Num referencial o.n. Oxyz, um plano
é perpendicular ao plano xOz.
Qual das seguintes pode ser uma equação do plano ?
(A) z x 2
(B) z x y
(C) z y
(D) y 2
3x 4 y 5 z
23. Num referencial o.n. Oxyz, a condição x y z
3 4 5
(A) Um ponto
(C) uma recta
2
define
(B) o conjunto vazio
(D) um plano
24. Num referencial o.n. Oxyz, qual das seguintes equações define uma superfície esférica tangente
ao plano yOz?
2
(A) x 2
y2 z2 1
(B) x
(C) x
(D) x
2
2
y2
z2
2
2
2
y
2
z
2
4
2
2
y
2
z
2
9
25. Num referencial o.n. Oxyz uma esfera tem centro no ponto C(2,3,4) e é tangente ao plano xOy.
Uma condição que define a esfera é
(A) x 2 y 2 z 2 4 2
(B) x
2
2
y 3
2
z
4
2
22
(C) x
2
2
y 3
2
z
4
2
32
(D) x
2
2
y 3
2
z
4
2
42
26. Considera, em referencial o.n. Oxyz, a superfície esférica centrada na origem do referencial e
cuja intersecção com o plano de equação z=3 é uma circunferência de perímetro 8 . Qual das
seguintes é uma equação desta superfície esférica?
(A) x 2 y 2 z 2 9
(B) x 2 y 2 z 2 16
(C) x 2
y2
z2
25
(D) x 2
y2
z2
36
Bom Trabalho!
Prof. Preciosa Teixeira
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Resolução:
A a,0,0 , a
1.
0
e
B 0, b,0 , b
0
logo
AB
B
A
2.
Como se trata de um tetraedro regular as faces são triângulos equiláteros logo
logo
BC BD
6 6 cos(60º ) 18
3.
UQ TX
0
4.
4.
5.
P 0,5,4
6.
O vector
BC
BD
6
e
(C)
CBˆ D
60º ,
(A)
(B)
AB AB 1 1 cos(0º ) 1 (A)
Q 3,5,0
PQ
PQ
3,0, 4
(D)
é um vector normal ao plano mediador de
PQ
e M(ponto médio de
PQ
) é um ponto desse plano.
A 1,0,0
Escrevemos a equação cartesiana desse plano e verificamos que o ponto que pertence é o ponto
7.
2,1,0
( a, b,0) . A resposta certa é então
. (A)
O ponto de intersecção da recta com o plano xOz será do tipo (x,0,z). Substituindo na equação da recta
x 1
2
8.
0 2
1
z
3
e resolvendo as equações
x 1
2
0 2
1
0 2
1
z
3
x
3
z
6
(D)
O ponto E é o ponto de intersecção do eixo Ox com o plano DBH e tem de coordenadas (x,0,0). Substituindo na
equação do plano, obtemos
9.
x 0 10
x 10 , logo a aresta do cubo mede 10. (B)
Um vector director da referida recta é, por exemplo,
0,0,2
e um ponto da recta terá obrigatoriamente que ter
abcissa 1 e ordenada 2 logo a resposta certa é (A)
10.
Um ponto que pertença à recta terá que pertencer a ambos os planos. Substituindo nas equações dos planos as
coordenadas dos pontos, verificamos que a resposta certa é (D)
11.
(C)
12.
Uma recta paralela a Oy terá um vector director colinear com (0,1,0), logo a resposta certa é (B)
13.
Basta reparar que o ponto (2,1,3) pertence a ambas as rectas e que os vectores directores não são colineares para
concluir que as rectas são concorrentes. ( Se os vectores fossem colineares as rectas seriam coincidentes e portanto
paralelas) (A)
( 2, m,3)
e
(2,1, 3)
14.
Basta determinar m de forma que os vectores
sejam colineares. O valor de m é -1 (B)
15.
Para que as rectas sejam coincidentes e uma vez que são paralelas, o ponto, da recta r, (1,3,0) terá que pertencer à
recta s.
s:
1 3
2
3 5
2
0 k
3
16.
n
1, 1,1
e
n
1
2,2,2
1
k
3
k
3
(C)
não são colineares nem perpendiculares logo os planos são concorrentes não
perpendiculares. (C)
17. (D)
18. (B)
19.
e
Uma recta perpendicular ao plano PQR terá vector director ortogonal com os vectores
PR
1,0,1
.
Utilizando o produto escalar verificamos que a resposta certa é (C)
20. (D)
PQ
e
PR . PQ
1,1,0
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21. (C)
22.
O plano xOz tem equação y=0 logo um vector normal a este plano é, por exemplo,
n
0,1,0
. Para que
seja
paralelo a xOz os vectores normais a estes planos terão que ser ortogonais. (A)
23.
O sistema representa a intersecção de um plano com uma recta. Uma vez que o vector normal ao plano e o vector
director da recta são colineares, a recta é perpendicular ao plano. Então a intersecção é um ponto. (A)
24.
Todas as superfícies esféricas têm centro (2,0,0). Para que seja tangente ao plano yOz, o raio terá que ser 2. (C)
25.
(D)
26.
A circunferência obtida pela intersecção da superfície esférica com o plano de equação z=3 tem centro (0,0,3). Se tem
perímetro
8
então
2 r
8
r
4
. Uma ilustração desta situação é a que se apresenta sendo R o raio da
superfície esférica.
Então R=5 logo a resposta é (C)
4
3
R