MA13 – Exercícios das Unidade 16
2014
Lista 10
Geometria, Coleção Profmat, SBM.
Problemas selecionados da seção 7.1, pág. 299.
1) Prove que, no espaço, existem quatro pontos não coplanares. Quantos planos
distintos ficam determinados por esses quatro pontos?
2) Dados no espaço um ponto A e uma reta r com A∉r prove que existe uma única
reta paralela a r passando por A.
3) Sejam α e α' dois planos distintos e ABC e A' B ' C ' triângulos situados em α e
α' , respectivamente. Se as retas AB e A' B ' , BC e B' C ' , AC e A' C ' forem duas a
duas concorrentes prove que seus pontos de interseção são concorrentes.
Problemas suplementares
4) Quantos planos distintos são determinados por um subconjunto de vértices do
paralelepípedo ABCDEFGH?
5) Qual é a seção determinada em um paralelepípedo ABCDEFGH pelo pano ABG?
6) Duas retas r e s são concorrentes em O. Fora do plano determinado por r e s
tomamos um ponto P qualquer. Qual é a interseção dos planos (r, P) e (s, P)?
7) Sejam r e s duas retas reversas e P um ponto qualquer do espaço. Diga como obter:
a) Um plano contendo r e paralelo a s.
b) Um par de planos paralelos, um contendo r e outro contendo s.
c) Uma reta passando por P e se apoiando em r e s.
8) Sejam r uma reta secante a um plano α e P um ponto exterior a α . É sempre
possível traçar uma reta que passa por P é concorrente com r e é paralela a α ?
9) r e s são retas, α e β são planos. Certo ou errado?
a) Se r⊂α , s⊂ β , α∩ β=t então r e s são reversas.
b) Se r⊂α , s⊂ β , α∩ β=t então r e s não são concorrentes.
c) Se r⊂α , s⊂ β , α∩ β=∅ então r e s são paralelas.
10) Certo ou errado?
a) Se duas retas são paralelas a um plano então elas são paralelas entre si.
b) Se dois planos são paralelos a uma reta então eles são paralelos entre si.
11) Sejam A, B, C, D pontos do espaço não coplanares. ABCD é um tetraedro. Sejam
M, N, P, Q os pontos médios dos segmentos AB, BC, CD, DA, respectivamente.
Mostre que MNPQ é um paralelogramo.
12) Entre os planos distintos α , β e γ não há dois paralelos. Quais são as posições
relativas entre eles?
13) Seja ABCD um paralelogramo. Pelos vértices A, B, C, D são traçadas retas não
contidas no plano ABCD, paralelas entre si e, sobre cada uma delas são assinalados,
respectivamente, os pontos A' , B' , C ' , D ' .
Considere A A' =a , B B ' =b , C C ' =c , D D ' =d .
Mostre que, se A' , B' , C ' , D ' são coplanares então a+c=b+ d .
12) Um pedaço de papel na forma de um quadrado ABCD é dobrado ao longo da
diagonal AC de modo que os lados AB e AD passem a formar um ângulo de 60o. A
seguir ele é colocado sobre uma mesa apoiado sobre esses lados. Nessas condições,
calcule o cosseno do ângulo que AC faz com o plano da mesa.