Insper Instituto de Ensino e Pesquisa
Programa de Mestrado Profissional em Economia
Decio Albert da Silva Santos
PREVISÃO DE VOLATILIDADE:
A VOLATILIDADE IMPLÍCITA COMO VARIÁVEL
EXPLICATIVA DA VARIÂNCIA CONDICIONAL EM
MODELOS GARCH
São Paulo
2012
Decio Albert da Silva Santos
Previsão de Volatilidade:
A Volatilidade Implícita como Variável Explicativa da
Variância Condicional em Modelos GARCH
Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado
Profissional em Economia do Insper Instituto de
Ensino e Pesquisa, como parte dos requisitos para a
obtenção do título de Mestre em Economia.
Área de concentração: Finanças e Macroeconomia
Aplicadas
Orientador: Prof. Dr. Antonio Zoratto Sanvicente –
Insper
São Paulo
2012
FOLHA DE APROVAÇÃO
Decio Albert da Silva Santos
Previsão de Volatilidade: A Volatilidade Implícita como Variável Explicativa da
Variância Condicional em Modelos GARCH
Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado
Profissional em Economia do Insper Instituto de
Ensino e Pesquisa, como requisito parcial para
obtenção do título de Mestre em Economia.
Área de concentração: Finanças e Macroeconomia
Aplicadas
Aprovado em:
Banca Examinadora
Prof. Dr. Antonio Zoratto Sanvicente
Orientador
Instituição: Insper Instituto de Ensino e Pesquisa
Assinatura: _________________________
Profa. Dra. Adriana Bruscato
Instituição: Insper Instituto de Ensino e Pesquisa
Assinatura: _________________________
Prof. Dr. Roberto Borges Kerr
Instituição: Universidade Presbiteriana Mackenzie
Assinatura: _________________________
RESUMO
SANTOS, Decio Albert da Silva. Previsão de Volatilidade: A Volatilidade Implícita
como Variável Explicativa da Variância Condicional em Modelos GARCH. 2012.
58 f. Dissertação (Mestrado) – Insper Instituto de Ensino e Pesquisa, São Paulo,
2012.
A previsão de volatilidade é um assunto de grande interesse no mercado financeiro.
Os modelos GARCH e a volatilidade implícita são bastante utilizados para este fim.
Neste trabalho, a volatilidade implícita foi utilizada como uma variável explicativa da
variância condicional de modelos GARCH, com o objetivo de aumentar o poder de
previsão do modelo.
Foram utilizados dados do mercado de ações brasileiro, mais precisamente do
índice de ações Ibovespa, no período de abril de 2000 a junho de 2011. A
volatilidade implícita foi extraída das opções de compra do Ibovespa utilizando o
modelo de precificação de opções de Black e Scholes. As previsões dos modelos
propostos no trabalho foram comparadas com previsões de modelos GARCH
tradicionais, realizadas em quatro períodos diferentes e em previsões fora da
amostra de estimação dos modelos.
Os resultados obtidos indicaram que o uso da volatilidade implícita como variável
explicativa da variância condicional em modelos GARCH não aumenta o poder de
previsão em comparação com os modelos GARCH tradicionais. Sendo GARCH(1,1)
o modelo com os melhores resultados nas previsões de volatilidade.
Palavras-chave: Volatilidade implícita; GARCH; Variável explicativa; Previsão.
Abstract
SANTOS, Decio Albert da Silva. Volatility Forecasting: Implied Volatility as an
Explanatory Variable of Conditional Variance in GARCH Models. 2012. 58 f.
Dissertation (Mastership) – Insper Instituto de Ensino e Pesquisa, São Paulo, 2012.
Volatility forecasting is a topic of great interest in financials markets. Implied volatility
and GARCH models are widely used for this purpose. In this dissertation, the implied
volatility was used as an explanatory variable of the conditional variance in GARCH
models, in order to increase the predictive power of the model.
Data were obtained for the Brazilian stock market, specifically the Ibovespa stock
index in the period April 2000 to June 2011. Implied volatilities were extracted from
the Ibovespa call options using the Black and Scholes option pricing model. The
predictions of the models proposed in the study were compared with traditional
GARCH model predictions, made in four different periods and with out-of-sample
forecasts from the models.
The results obtained indicated that the use of implied volatility as an explanatory
variable of the conditional variance in GARCH models does not increase the
predictive power compared to traditional GARCH models. As GARCH (1,1) model
with the best results in forecasts of volatility
Keywords: Implied volatility; GARCH; Explanatory variable; Forecasting.
Sumário
1
Introdução ............................................................................................................. 6
2
Revisão Bibliográfica ............................................................................................ 9
3
Modelos de Volatilidade ...................................................................................... 12
4
3.1
Modelos ARCH ............................................................................................ 13
3.2
Modelos GARCH .......................................................................................... 14
3.3
Modelos EGARCH ....................................................................................... 15
3.4
Modelos TARCH .......................................................................................... 16
3.5
Volatilidade Implícita .................................................................................... 16
3.6
Modelos GARCH-VI, EGARCH-VI e TARCH-VI .......................................... 17
Dados ................................................................................................................. 18
4.1
5
6
Série de Volatilidades Implícitas .................................................................. 22
Metodologia ........................................................................................................ 23
5.1
Estimação dos Modelos ............................................................................... 27
5.2
Previsão e Resultados ................................................................................. 34
Conclusão ........................................................................................................... 39
Referências ............................................................................................................... 41
APÊNDICE A – Séries de Opções de Compra do Ibovespa ..................................... 43
APÊNDICE B – Testes-Q e Correlogramas dos Resíduos Padronizados e Resíduos
Padronizados ao Quadrado dos Modelos Estimados ................................................ 46
6
1 Introdução
A relação inversa entre risco e retorno faz parte de um dos conceitos-chave da teoria
moderna de finanças. O risco pode ser associado à noção de variabilidade de
preços, comumente chamada de volatilidade. Saber como medir e prever a
volatilidade tem sido um dos temas mais discutidos nas áreas de precificação de
ativos e gerenciamento de risco. Andersen et al. (2005, p. 7) mostra algumas
aplicações do uso de volatilidade em finanças de forma mais detalhada.
Em finanças, a forma mais comum e simples de se representar a volatilidade é
através do desvio padrão ( , igual à raiz quadrada da variância
) dos retornos de
um ativo. Sem a necessidade de supormos uma distribuição de probabilidades,
podemos usar o estimador da variância (
) para obtermos uma estimação para a
volatilidade de um ativo:
 R
N
ˆ 2 
t 1
Onde
t
 R
N 1
2
(1)
é o retorno do ativo no tempo t, ̅ é o retorno médio entre os instantes t=1 e
t=N.
Existem vários modelos para estimar e prever a volatilidade, destacando-se dois
grandes grupos: modelos que usam séries de tempo e modelos de volatilidade
implícita.
No primeiro grupo, inicialmente temos os modelos que usam o desvio padrão
histórico como base. O mais simples desta categoria é o Modelo de Passeio
Aleatório, utilizando o desvio padrão no tempo anterior para prever o próximo. Em
seguida, temos: a) modelo de Média Histórica, que simplesmente calcula a média
das volatilidades anteriores; b) modelo de Média Móvel Histórica, diferenciando-se
do anterior por não usar todo o histórico de volatilidades; c) modelo de Alisamento
Exponencial, semelhante ao modelo de Média Histórica, dando maior peso às
informações mais recentes; e d) modelo de Médias Móveis Exponencialmente
Ponderadas (EWMA, em inglês), que é o modelo de Média Móvel com ponderação
exponencial. Nesta categoria também temos os modelos autorregressivos (AR).
Esses modelos fazem uma regressão simples usando as volatilidades passadas e
7
um termo de erro, expressando a volatilidade como uma função dessas variáveis.
Na maioria dos casos, os modelos são puramente autorregressivos, mas também
podemos encontrar modelos onde termos de erros passados são incluídos (ARMA),
outros ainda onde há diferenciação (ARIMA) e outras variantes.
Trabalhos baseados nestes modelos normalmente se resumem a buscar melhores
métodos de ponderação, janelas de tempo ou número de defasagens dos
parâmetros, geralmente tentando achar os melhores resultados, minimizando erros
de previsão em testes dentro da amostra. Cabe citar, devido à grande visibilidade,
que o Riskmetrics1 utiliza o modelo EWMA.
Ainda dentro do grupo de modelos que utilizam séries de tempo, há os modelos de
Volatilidade Estocástica e a família de modelos de Heteroscedasticidade Condicional
Autorregressiva (ARCH, em inglês). Os modelos ARCH foram introduzidos
inicialmente por Engle (1982). Estes modelos não usam simplesmente os desvios
padrão calculados numa amostra; ao invés disso, formulam uma variância
condicional dos retornos via estimação por Máxima Verossimilhança. No primeiro
modelo proposto por Engle, o modelo ARCH(q), a variância é uma função dos “q”
retornos passados ao quadrado. Bollerslev (1986) e Taylor (1986), de forma
independente, propuseram os modelos de Heteroscedasticidade Condicional
Autorregressiva Generalizados (GARCH, em inglês). Os modelos GARCH(p,q),
adicionalmente ao modelo ARCH(q), admitem “p” defasagens da variância
condicional na formulação, sendo assim mais abrangentes que os modelos ARCH.
Mais genericamente, os modelos de Volatilidade Estocástica introduzem inovação
na formulação da volatilidade. Essas inovações podem ter ou não relação com os
retornos e permitem que os modelos de Volatilidade Estocástica capturem
características como curtose e assimetria, incluindo saltos, tornando-se assim
modelos mais próximos da realidade observada. Entretanto, essas características
em geral dificultam a sua implementação, principalmente por resultarem em modelos
de volatilidade sem uma fórmula fechada, não permitindo, por exemplo, o uso de
estimadores de Máxima Verossimilhança. Alguns métodos de estimação alternativos
1
Riskmetrics atualmente é uma agência de serviços em governança corporativa e gestão de riscos
norte americana que faz parte do grupo MSCI, empresa de índices de mercado. Inicialmente surgiu
como um modelo de variância, de mesmo nome, criado pela necessidade de um relatório diário de
medida e explicação de riscos do J. P. Morgan, em 1989. Em 1998 se tornou uma empresa externa
ao J. P. Morgan.
8
foram propostos, por exemplo, por Harvey, Ruiz e Shephard (1994), usando
estimação através do Método dos Momentos Generalizados (GMM), e por Jacquier,
Polson e Rossi (1994), usando Cadeias de Markov. Note-se que os modelos
GARCH também fazem parte dos modelos de Volatilidade Estocástica.
Os modelos de volatilidade implícita são baseados em modelos de precificação de
ativos que utilizam a volatilidade do ativo a ser precificado como um parâmetro de
entrada do modelo. Esses modelos de precificação partem de hipóteses sobre a
volatilidade do ativo que geralmente não são observadas na prática. Ao invés de
usar o modelo para calcular o preço do ativo, toma-se o preço negociado pelo
mercado e calcula-se a volatilidade que seria responsável por este preço observado.
Esta
volatilidade
calculada
é
chamada
de
volatilidade
implícita,
sendo
constantemente utilizada, diretamente, como uma previsão da volatilidade ou,
indiretamente, como variável explicativa em modelos de previsão de volatilidade,
como os citados anteriormente.
Neste trabalho, a volatilidade implícita é utilizada como uma variável explicativa em
modelos da família GARCH2, para previsão de volatilidade no mercado de ações
brasileiro, mais precisamente do índice de ações da BM&FBovespa3, o IBovespa.
São estimados modelos tradicionais da família GARCH e modelos, propostos neste
trabalho, que incluem a volatilidade implícita. São feitas previsões de volatilidades de
ambos, com o objetivo de verificar se a volatilidade implícita traz algum benefício na
previsão de volatilidades quando utilizada como variável explicativa em modelos da
família GARCH.
A seguir, no capítulo 2, é feita uma revisão bibliográfica descrevendo brevemente os
resultados de alguns trabalhos na área de previsão de volatilidade e de trabalhos
que usaram a volatilidade implícita nessa previsão. No capítulo 3 são apresentados
os modelos de volatilidade utilizados neste trabalho, destacando-se os modelos
propostos que utilizam a volatilidade implícita como variável explicativa em modelos
GARCH. No capítulo 4 é apresentada a base de dados utilizada neste trabalho, além
da metodologia de construção da série de volatilidades implícitas necessária para os
2
O termo GARCH, quando citado sem fazer menção aos parâmetros do modelo, por exemplo,
GARCH(p,q), estará se referindo genericamente aos modelos da família GARCH e suas variantes,
entre elas EGARCH e TARCH. Da mesma forma o termo GARCH-VI, que será visto mais à frente,
também estará se referindo genericamente aos modelos apresentados neste trabalho: GARCHVI(p,q,r), EGARCH-VI(p,q,r) e TARCH-VI(p,q,r).
3
A BM&FBovespa é a única bolsa de valores, mercadorias e futuros em operação no Brasil.
9
modelos propostos. No capítulo 5 é apresentada a metodologia utilizada para
estimação, previsão e avaliação dos modelos e também os resultados obtidos para
os modelos. O capítulo 6 traz a conclusão deste trabalho, após a análise dos
resultados obtidos.
2 Revisão Bibliográfica
Na literatura existem vários trabalhos na área de estimação e previsão de
volatilidade. Esses trabalhos normalmente fazem comparações entre modelos
buscando qual o melhor segundo algum critério. A seguir é feita uma breve
descrição de alguns desses trabalhos para o mercado brasileiro e também de alguns
trabalhos de outros países.
No trabalho de Pereira et al. (1999) foram feitas avaliações sobre o poder de
estimação de volatilidade de modelos da família ARCH, modelos de volatilidade
estocástica e modelos SWARCH, para os retornos de três séries diferentes
(Telebras PN, C-Bond e Taxa de Câmbio R$/US$) no período de agosto de 1994 a
julho de 1998. O modelo de volatilidade estocástica foi o modelo com melhor
desempenho segundo o critério de classificação utilizado, que usa uma média
ponderada de cinco diferentes critérios estatísticos de desempenho.
Morais e Portugal (1999) fizeram um estudo de modelos de volatilidade
determinística e modelos de volatilidade estocástica para estimação e previsão da
volatilidade dos retornos do Ibovespa em períodos de crise: a crise do México, a
crise asiática e a moratória russa. Os modelos determinísticos estudados foram os
modelos da família GARCH. A conclusão foi a de que, de maneira geral, ambos os
tipos de modelos fornecem boas previsões da volatilidade do Ibovespa.
Gabe e Portugal (2004) analisaram o desempenho de previsões de volatilidade no
mercado brasileiro para ações da Telemar S.A. no período de setembro de 1998 a
outubro de 2002. Foram comparados os modelos de média móvel igualmente
ponderada, GARCH, EGARCH, FIGARCH e volatilidade implícita. O resultado
encontrado foi o de que o modelo de volatilidade implícita não apresentou vantagem
na previsão de volatilidade quando comparado aos outros modelos, sendo o modelo
10
FIGARCH o mais indicado para previsão de volatilidade futura, segundo esse
estudo.
Hansen e Lunde (2005) compararam 330 modelos de previsão de volatilidade da
família ARCH, com o objetivo de verificar se modelos mais sofisticados são
superiores ao modelo GARCH(1,1). Usaram dados de taxa de câmbio entre o Marco
Alemão e o Dólar e também retornos das ações da IBM. Eles não encontraram
evidências que o modelo GARCH(1,1) foi superado por modelos mais sofisticados
para a taxa de câmbio. Por outro lado, para os retornos da ações da IBM,
encontraram evidências conclusivas que o modelo GARCH(1,1) é inferior, sugerindo
o uso de especificações que acomodem o efeito alavancagem.
Galdi e Pereira (2007) apresentaram um estudo em que o desempenho de modelos
de volatilidade foi avaliado através do uso da métrica de risco denominada Valor em
Risco (VaR). Os modelos utilizados no trabalho foram o EWMA, modelos GARCH e
modelos de volatilidade estocástica. As estimações foram feitas para a série de
retornos das ações Petrobras PN, abrangendo o período de janeiro de 1995 a
janeiro de 2006. Os modelos estimados foram submetidos a testes de extrapolação
do VaR dentro da amostra. Segundo os autores, o modelo de melhor resultado foi o
EWMA.
Santos e Ziegelmann (2008) compararam o desempenho de modelos GARCH e
modelos aditivos semi-paramétricos para estimação e previsão de volatilidade do
Ibovespa, no período de 1995 a 2007, ressaltando os períodos de crise em 2001,
2002 e 2007. Concluíram que os modelos aditivos são capazes de estimar e prever
a volatilidade adequadamente, mas não são concorrentes dos modelos paramétricos
e devem ser utilizados como um modelo complementar na previsão de volatilidade.
No estudo, o modelo TARCH(3,2) foi superior nos resultados quando os modelos
foram comparados através de medidas de erro de previsão.
Cavaleri (2008) fez uma comparação de modelos de previsão de volatilidade e
combinações desses modelos. A combinação de modelos tem “a finalidade de
agregar as características mais relevantes de cada um dos modelos utilizados em
uma determinada situação” (Cavaleri, 2008, p. 30). Os modelos utilizados foram os
modelos da família GARCH, o modelo EWMA e modelos de volatilidade estocástica.
As técnicas de combinação utilizadas foram a combinação por média aritmética, a
combinação com pesos fixos e a combinação com pesos móveis. O estudo utilizou
11
dados do Ibovespa, do índice Dow Jones e do IGP-M, no período de janeiro de 2002
a dezembro de 2007 para as duas primeiras séries e no período de janeiro de 1995
a março de 2008 para a terceira. Cavaleri (2008) concluiu que as técnicas de
combinação melhoram a previsão de volatilidade quando comparadas aos modelos
individuais.
Oliveira (2008) fez um estudo sobre a modelagem da volatilidade de retornos
usando dados de alta frequência. O estudo foi feito sobre a série de ações Petrobras
PN no período de 3 de janeiro de 2005 a 13 de abril de 2005, totalizando 120 mil
observações. No estudo foram utilizados modelos da família GARCH, com o objetivo
de verificar a presença de memória longa e outros fenômenos. As presenças de
memória longa e de sazonalidade intradiária foram confirmadas.
Vicente e Guedes (2010), em seus estudos, tiveram como objetivo determinar se a
volatilidade implícita contém informação sobre a volatilidade futura. O trabalho foi
realizado utilizando séries de opções de compra da Petrobras no período de janeiro
de 2006 a dezembro de 2008. A volatilidade implícita foi calculada com base no
modelo de precificação de opções de Black e Scholes. A conclusão obtida foi a de
que opções out-of-the-money4 contêm mais informação adicional sobre a volatilidade
futura, ao contrário das opções in-the-money5 e at-the-money6.
Lamoureux e Lastrapes (1993) realizaram um estudo sobre o poder de previsão da
volatilidade futura pela volatilidade implícita. Utilizaram séries de opções de dez
ações negociadas na Chicago Board Options Exchange, no período de 1982 a 1984.
Concluíram que a volatilidade implícita é viesada e ineficiente, não tendo nenhuma
informação adicional sobre a volatilidade futura em comparação com modelos que
utilizam a volatilidade passada.
Christensen e Prabhala (1998) também realizaram estudo sobre o poder de previsão
da volatilidade implícita sobre a volatilidade futura. Eles utilizaram opções sobre o
índice S&P100 no período de novembro de 1983 a maio de 1995. Os resultados
encontrados foram os de que a volatilidade implícita apresentou resultados melhores
do que modelos de volatilidade histórica na previsão de volatilidades futuras.
4
Out-of-the-money (OTM) é o termo utilizado quando o preço do ativo subjacente está abaixo do
preço de exercício de uma opção de compra ou acima do preço de exercício de uma opção de venda.
5
In-the-money (ITM) é o termo utilizado quando o preço do ativo subjacente está acima do preço de
exercício de uma opção de compra ou abaixo do preço de exercício de uma opção de venda.
6
At-the-money (ATM) é o termo utilizado quando o preço do ativo subjacente é igual ao preço de
exercício de uma opção de compra ou de venda.
12
Doidge e Wei (1998) verificaram a eficiência do mercado de opções canadense
utilizando estratégias delta neutral straddle7 com opções do índice Toronto 35, no
período de 1988 a 1995. Apesar do objetivo principal do trabalho não ser a previsão
de volatilidade, para implementar a estratégia proposta um dos modelos utilizados
fez uso da volatilidade implícita como variável explicativa em um modelo GARCH,
como também é proposto neste trabalho.
Vasilellis e Meade (1996), em trabalho semelhante ao que foi posteriormente
realizado por Cavaleri (2008), realizaram comparações entre modelos de previsão
de volatilidade e modelos combinados, para doze empresas listadas na London
Stock Exchange no período de março de 1986 a setembro de 1991. Da mesma
forma, concluíram que os modelos combinados, que incluem volatilidade implícita,
possuem maior poder de previsão da volatilidade.
Hol e Koopman (2002) compararam previsões com modelos de volatilidade
estocástica e modelos de volatilidade estocástica que incluem a volatilidade implícita
como variável explicativa. O estudo foi realizado sobre o índice S&P100 no período
de janeiro de 1986 a junho de 2001. De maneira geral, os modelos de volatilidade
estocástica que incluíam a volatilidade implícita como variável explicativa tiveram
melhores resultados na previsão de volatilidades.
3 Modelos de Volatilidade
Até o início dos anos 80, a maioria dos modelos existentes, utilizados para modelar
a volatilidade de séries financeiras, considerava que a variância de um conjunto de
dados era constante. A modelagem era feita, normalmente, utilizando modelos
lineares e autorregressivos, condicionados, principalmente, aos retornos da série
financeira. Entretanto, na prática, estes modelos não conseguiam bons resultados,
posto que claramente a hipótese de variância constante não era observada. Uma
série financeira pode ter momentos de alta volatilidade e momentos de baixa
volatilidade, além de ser observado que momentos de alta volatilidade tendem a ser
7
Delta neutral straddle é uma estratégia de investimento do mercado de opções que consiste na
compra simultânea de uma opção de compra e uma opção de venda. Esta estratégia é uma aposta
de alta volatilidade do preço do ativo subjacente. O termo delta neutral se refere ao fato da estratégia
proteger o investimento contra variações no preço do ativo subjacente. O delta de uma opção mede a
variação do preço da opção em função do preço do ativo subjacente.
13
seguidos por alta volatilidade e momentos de baixa volatilidade tendem a ser
seguidos por baixa volatilidade, característica conhecida como agrupamento de
volatilidade.
Neste capítulo são apresentados os modelos de volatilidade utilizados neste
trabalho.
3.1 Modelos ARCH
Engle (1982) apresentou um modelo paramétrico em que a média e a variância de
uma série temporal são modeladas simultaneamente, com a variância sendo
condicionada aos choques passados, permitindo que ela varie ao longo do tempo e
sendo capaz de capturar os agrupamentos de volatilidade. Este modelo foi chamado
de Autoregressive Conditional Heteroskedasticity (ARCH), ou Heteroscedasticidade
Condicional Autorregressiva, em português. Um modelo ARCH(q) pode ser
representado como segue:
r
m
i 1
j 1
y t  c    i y t i    j  t  j   t
(2)
q
 t2      i  t2i
(3)
i 1
Onde:
∑
A equação (2) expressa a média condicional da série de retornos (
), representada
por um modelo autorregressivo e de média móvel ARMA(r, m), que poderia incluir
também variáveis exógenas.
A equação (3) representa a variância condicional dependente de q inovações
passadas. As restrições dos coeficientes serem maiores que zero garantem que a
variância seja positiva. A restrição que diz que o somatório dos coeficientes das
14
inovações tem que ser menor que um garante à variância condicional tendência para
convergir para uma constante, que representa a variância incondicional. Segundo
Bollerslev et al. (1992), a variância incondicional é dada pela seguinte equação:
 2 

(4)
q
1   i
i 1
3.2 Modelos GARCH
Frequentemente, os modelos ARCH apresentam uma ordem (q) elevada, o que
pode causar dificuldades na estimação de seus vários parâmetros. Bollerslev (1986)
acrescenta termos da variância passada à equação de variância do modelo ARCH.
Ao acrescentar termos passados da própria variância, o modelo tende a ficar com
ordem menor, diminuindo a quantidade de parâmetros a serem estimados. Este
modelo foi chamado de Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity
(GARCH), ou Heteroscedasticidade Condicional Autorregressiva Generalizada, em
português.
A equação (5) apresenta a equação da variância condicional de um modelo
GARCH(p, q) com a inclusão das variâncias passadas. A modificação no modelo
ocorre apenas na equação da variância condicional, e a equação da média
condicional pode ser representada pela equação (2) do modelo ARCH.
p
      j
2
t
j 1
Onde:
∑
∑
q
2
t j
   i  t2i
i 1
(5)
15
Novamente, a restrição sobre o somatório dos parâmetros diz respeito à tendência a
uma variância incondicional constante, que neste caso é representada pela equação
(6):
 2 

q
p
i 1
j 1
(6)
1   i    j
O modelo GARCH é uma generalização do modelo ARCH. O modelo ARCH é um
caso especial do modelo GARCH onde não há termos da variância passada na
equação da variância condicional. Assim, os modelos da família ARCH fazem parte
dos modelos da família GARCH.
3.3 Modelos EGARCH
Nelson (1991) propôs uma variação do modelo GARCH, o Exponential Generalized
Autoregressive Conditional Heteroskedasticity (EGARCH), ou Heteroscedasticidade
Condicional Autorregressiva Generalizada Exponencial, em português. No modelo
proposto por Nelson é possível separar os efeitos positivos e negativos das
inovações, assim como a amplitude das mesmas.
A equação (7) apresenta a equação do logaritmo da variância condicional de um
modelo EGARCH(p, q):
Log ( t2 )      j Log ( t2 j )   i  t i     t i  E   t i
p
q
j 1
i 1

(7)
Onde:
Nos modelos EGARCH não é necessária a restrição de não negatividade dos
parâmetros
e
, uma vez que está sendo modelado o logaritmo da variância
condicional, que permite valores negativos. O parâmetro
positivos e negativos das inovações e o parâmetro
das inovações.
determina os efeitos
determina o efeito da amplitude
16
3.4 Modelos TARCH
Zakoian (1994) propôs um modelo alternativo ao GARCH, chamado Threshold
Autoregressive Conditional Heteroskedasticity (TARCH), ou Heteroscedasticidade
Condicional Autorregressiva com Limiar, em português. Assim como o EGARCH, no
TARCH é possível separar os efeitos positivos e negativos das inovações. A
especificação do modelo é feita para o desvio padrão condicional (raiz quadrada da
variância condicional). A equação (8) apresenta o desvio padrão condicional
segundo um modelo TARCH(p,q):
p
q
q
j 1
i 1
i 1
 t      j t  j   i  ti   i  ti
(8)
Onde:
representa as inovações positivas
representa as inovações negativas
3.5 Volatilidade Implícita
A volatilidade implícita de um ativo é calculada utilizando como base um modelo de
precificação de ativos. Um dos modelos mais utilizados para o cálculo da volatilidade
implícita é o modelo de precificação de opções de compra européias proposto por
Black e Scholes (1973).
A equação (9) apresenta a fórmula do modelo de precificação de Black e Scholes,
que recebeu o nome de Fórmula de Black-Scholes:
c  S 0 N (d1 )  Ke  rT N (d 2 )
d1 
Ln( S 0 K )  (r   2 2)T
 T
d 2  d1   T
Onde:
c é o preço da opção de compra européia;
(9)
17
S0 é o preço atual do ativo subjacente;
K é o preço de exercício da opção;
T é o tempo até o vencimento da opção;
r é a taxa livre de risco;
é a variância do ativo subjacente, constante até T, e
N(x) é a função de distribuição de probabilidade acumulada de uma distribuição
normal padrão.
Nota-se que
é o único parâmetro que não é diretamente observado. O cálculo da
volatilidade implícita é feito observando-se o preço negociado de uma dada opção e
calculando-se o valor de
que, segundo a equação (9), seria responsável pelo
preço negociado. A volatilidade implícita é a raiz quadrada do
calculado.
A volatilidade implícita costuma ser utilizada como uma previsão da volatilidade do
ativo subjacente até a data T. Entretanto, como existem várias séries de opções
para um mesmo ativo subjacente e nem todas as hipóteses do modelo de Black e
Scholes são observadas na prática, é possível obter volatilidades implícitas
diferentes para um mesmo período, criando, muitas vezes, a necessidade de alguma
manipulação antes de serem utilizadas.
3.6 Modelos GARCH-VI, EGARCH-VI e TARCH-VI
Nesta seção são apresentados os modelos GARCH-VI, EGARCH-VI e TARCH-VI. O
sufixo “VI” diz respeito à modificação existente nos modelos: a inclusão da
volatilidade implícita na equação da variância condicional.
A equação (10) apresenta a equação da variância condicional do modelo GARCHVI(p,q,r):
p
      j
2
t
Onde
j 1
2
t j
q
r
i 1
l 1
  i t2i    lt2l
(10)
é a volatilidade implícita e r é o número de defasagens da volatilidade
implícita presentes no modelo.
18
Da mesma forma, a equação (11) apresenta a equação do logaritmo da variância
condicional do modelo EGARCH-VI(p,q,r) e a equação (12) apresenta a equação do
desvio padrão condicional do modelo TARCH-VI(p,q,r).
Log ( t2 )      j Log ( t2 j )   i  t i     t i  E   t i
p
q
j 1
i 1
p
q
q
r
j 1
i 1
i 1
l 1
 t      j t  j   i  ti   i  ti    lt l
   
r
l 1
l
Log (t2l )
(11)
(12)
4 Dados
Os dados utilizados neste trabalho são de duas categorias diferentes. Foi utilizada
uma série diária de preços de fechamento do Ibovespa, que é o índice de ações da
BM&FBovespa, e uma série diária de taxas anuais da Selic, ambas obtidas no
sistema Economatica8. Foram utilizadas também séries diárias de preços de opções
de compra do Ibovespa, obtidas na página da BM&FBovespa na internet. De ambas
as fontes foram extraídas informações no período compreendido entre abril de 2000
e junho de 2011.
Uma visão geral da série de preços do Ibovespa, no período utilizado neste trabalho,
pode ser vista na Figura 1.
8
O sistema Economatica é uma ferramenta de apoio a investidores desenvolvido pela Economatica
Software de Apoio a Investidores Ltda.
19
80000
70000
60000
50000
40000
30000
20000
10000
0
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
Figura 1: Série de preços do Ibovespa
Fonte: Economatica
Nos modelos utilizados neste trabalho é utilizada a série de retornos 9 do Ibovespa.
Os retornos foram calculados de acordo com a equação (13):
Rt  Ln( Pt )  Ln( Pt 1 )
(13)
O retorno calculado da forma apresentada na equação (13) é conhecido como logretorno, ou retorno contínuo. Sem considerar hipóteses de distribuições, utilizando
retornos calculados desta maneira elimina-se o risco de termos preços negativos
numa situação de previsão de retornos futuros.
A Figura 2 mostra a evolução dos retornos do Ibovespa no período escolhido.
9
Neste trabalho, constantemente será feita menção à série de retornos do Ibovespa. Essa
nomenclatura será usada para simplificação, uma vez que o nome exato seria “série de log-retornos”,
conforme visto a seguir.
20
0,15
0,1
0,05
0
-0,05
-0,1
-0,15
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
Figura 2: Retornos do Ibovespa
Fonte: Economatica
A Tabela 1 mostra algumas estatísticas descritivas da série de retornos do Ibovespa,
resumindo algumas de suas principais características.
Tabela 1 – Estatística descritiva da série de retornos diários do Ibovespa, no período
de abril/2000 a junho de 2011
Estatística
Valor
Média
0,000510
Mediana
0,001249
Máximo
0,136794
Mínimo
-0,120961
Desvio-padrão
0,019446
Assimetria
-0,102007
Curtose
6,903603
Fonte: Economatica
21
Nota-se uma curtose elevada na distribuição dos retornos do Ibovespa. Para efeito
de comparação, uma distribuição normal tem curtose de valor igual a 3 (Martins e
Domingues, 2011, p. 104). Essa característica evidencia que a distribuição tem mais
ocorrências nas extremidades da distribuição, efeito popularmente chamado de
“caudas grossas” ou “caudas pesadas”. A curtose elevada é muito comum em séries
de retornos do mercado de ações.
A série diária de taxas anuais da Selic foi a série escolhida para representar a taxa
livre de risco do mercado. Não há um consenso sobre qual deve ser a taxa livre de
risco a ser utilizada no Brasil. Além da Selic, há os que defendem a taxa de CDI
(Certificado de Depósito Interbancário) ou também a taxa de juros da caderneta de
poupança. Varga (2001) defende que a taxa mais adequada ao Brasil é a Selic e
ainda acrescenta que basicamente não há diferenças ao escolher entre Selic e CDI.
Em mercados estrangeiros costuma ser usada a taxa de um título do governo 10. A
Figura 3 mostra a evolução da série no período utilizado neste trabalho.
30
25
20
15
10
5
0
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
Figura 3: Taxas Anuais (%) da Selic
Fonte: Economatica
Com relação às séries de preços de opções, no período selecionado foram extraídos
dados referentes a 936 séries de opções de compra do Ibovespa, divididas em 67
vencimentos diferentes. No Apêndice A é possível verificar os vencimentos e
quantidades de séries em cada vencimento.
10
Nos Estados Unidos é utilizada a taxa do título do governo de 10 anos.
22
A base de dados que a BM&FBovespa disponibiliza em sua página na internet
contém várias informações sobre as séries de opções negociadas. Dentre as várias
informações foram extraídas as seguintes: data de negociação, data de vencimento,
código de negociação, preço de fechamento da opção, preço de exercício e volume
negociado. Esses dados, juntamente com os preços do Ibovespa e a taxa livre de
risco, foram utilizados na construção de uma série diária de volatilidades implícitas,
segundo a Fórmula de Black-Scholes, equação (9).
4.1 Série de Volatilidades Implícitas
Os modelos propostos neste trabalho (GARCH-VI, EGARCH-VI e TARCH-VI)
necessitam de uma série de volatilidades implícitas, no caso, uma série diária de
volatilidades implícitas de opções de compra do Ibovespa.
Primeiramente, foram calculadas as volatilidades implícitas de todas as séries de
opções de compra do Ibovespa selecionadas neste trabalho, para todos os dias em
que cada série foi negociada. A volatilidade implícita foi calculada de acordo com a
metodologia descrita na seção 3.5, com base no modelo de precificação de opções
de compra de Black e Scholes, equação (9).
Após o cálculo, as volatilidades implícitas foram agrupadas de acordo com as datas
de vencimento de suas opções. Para cada grupo foi gerada uma série diária de
volatilidades implícitas, iniciando na primeira negociação de uma opção do grupo e
terminando na data de vencimento do grupo. Como para cada dia da série do grupo
pode haver mais de uma volatilidade implícita calculada, devido à existência de
opções com preços de exercícios diferentes com mesmo vencimento, a volatilidade
implícita de certo dia foi calculada através da média das volatilidades implícitas,
ponderada pelos volumes das três séries de opções com maior volume negociado
neste dia. Foram descartados os cinco últimos dias de volatilidades implícitas de
cada grupo, como sugerido por Cabedo e Moya (2005, p. 69), uma vez que a
volatilidade implícita próxima ao vencimento pode sofrer interferências que não
representam de fato o que está ocorrendo com o ativo subjacente.
Por fim, as séries de volatilidades implícitas de cada grupo foram unificadas de
modo que, após o fim de uma série de certo vencimento, é dada sequência com as
23
volatilidades implícitas do grupo com vencimento seguinte. A série de volatilidades
implícitas gerada tem início em 13 de abril de 2000 e término em 07 de junho de
2011. Este período também limita a série de retornos do Ibovespa durante o
desenvolvimento do trabalho. A Figura 4 mostra a série diária de volatilidades
implícitas, em base anual, gerada.
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
Figura 4: Série diária volatilidades implícitas, em base anual.
5 Metodologia
Com o objetivo de comparar os modelos GARCH tradicionais com os modelos
GARCH-VI propostos neste trabalho, esses modelos foram estimados em
determinados períodos. Em seguida foram feitas previsões para períodos
imediatamente seguintes aos estimados. Essas previsões foram comparadas
segundo medidas de erro de previsão e foi escolhido o melhor modelo em cada
período, para que seja possível chegar-se a uma conclusão sobre o desempenho
dos modelos propostos.
As estimações foram feitas em quatro períodos distintos de 24 meses. Para cada
estimação foram feitas previsões com três horizontes de tempos diferentes, de 10,
20 e 40 dias. As previsões foram feitas em períodos imediatamente seguintes aos
períodos de estimação. A Tabela 2 apresenta o início e fim de cada período de
estimação, assim como o início e o fim de cada período de previsão.
24
Tabela 2 – Períodos de Estimação e Previsão dos Modelos
Estimação
Previsão
Início
Fim
Observações
Período 1
13/abr/2000
12/abr/2002
493
14/abr/2002 26/abr/2002 13/mai/2002 11/jun/2002
Período 2
01/jul/2003
30/jun/2005
500
01/jul/2005
14/jul/2005
28/jul/2005
25/ago/2005
Período 3
01/set/2006 29/ago/2008
489
01/set/2008
12/set/2008
26/set/2008
24/out/2008
Período 4
09/abr/2009
493
11/abr/2011 26/abr/2011 10/mai/2011 07/jun/2011
08/abr/2011
Início
10 dias
20 dias
40 dias
Os períodos 1 e 4 foram escolhidos apenas por serem o início e fim,
respectivamente, da amostra de dados utilizada neste trabalho. O período 3 foi
escolhido, propositalmente, para que as previsões coincidam com o início da crise
de 2008, período em que o mercado de ações estava bastante volátil e em declínio.
Em contraposição, o período 2 foi escolhido por ser um momento de alta do
mercado de ações.
As tabelas 3, 4, 5 e 6 apresentam as estatísticas descritivas dos períodos 1, 2, 3 e 4,
respectivamente. Nota-se que os períodos, individualmente, apresentam curtose
menor que a curtose da amostra como um todo, em especial a curtose do período 2,
que está mais próxima a curtose de uma curva normal. O período 3, que antecede a
crise de 2008, ainda não sofre os efeitos típicos de uma crise: retornos negativos e
alta volatilidade. Apenas o período 1 apresentou média dos retornos negativa, sendo
também o período com maior desvio padrão. O período 2 apresentou a maior média
dos retornos diários e menor assimetria e o período 4 apresentou o menor desvio
padrão.
25
Tabela 3 - Estatística descritiva da série de retornos diários do Ibovespa, período 1.
Estatística
Valor
Média
-0,000348
Mediana
-0,000837
Máximo
0,073353
Mínimo
-0,096342
Desvio-padrão
0,020467
Assimetria
-0,126425
Curtose
4,092174
Fonte: Economatica
Tabela 4 - Estatística descritiva da série de retornos diários do Ibovespa, período 2.
Estatística
Valor
Média
0,001316
Mediana
0,001558
Máximo
0,051589
Mínimo
-0,063390
Desvio-padrão
0,016676
Assimetria
Curtose
Fonte: Economatica
-0,0239944
3,598468
26
Tabela 5 - Estatística descritiva da série de retornos diários do Ibovespa, período 3.
Estatística
Valor
Média
0,000879
Mediana
0,001864
Máximo
0,061420
Mínimo
-0,068565
Desvio-padrão
0,017624
Assimetria
-0,362953
Curtose
3,998567
Fonte: Economatica
Tabela 6 - Estatística descritiva da série de retornos diários do Ibovespa, período 4.
Estatística
Valor
Média
0,000896
Mediana
0,001514
Máximo
0,063793
Mínimo
-0,048646
Desvio-padrão
0,014169
Assimetria
-0,063554
Curtose
4,792797
Fonte: Economatica
Usando a mesma ideia de comparação realizada no trabalho de Hansen e Lunde
(2005), em cada período foram estimados modelos da família GARCH: GARCH(1,1),
EGARCH(1,1) e TARCH(1,1). E modelos da família GARCH-VI: GARCH-VI(1,1,1),
EGARCH-VI(1,1,1) e TARCH-VI(1,1,1).
Para decidir qual modelo teve melhor resultado em cada previsão foram utilizadas as
medidas de erro de previsão Raiz do Erro Quadrático Médio (REQM, ou RMSE em
27
inglês)11, Erro Absoluto Médio (EAM, ou MAE em inglês)12 e a estatística U de
Theil13. As medidas REQM e EAM são bastante semelhantes e dependem da escala
da variável em questão, sendo que a medida REQM penaliza mais os grandes
desvios14. Para essas duas medidas, quanto menor o valor obtido melhor é a
previsão do modelo e, para verificar se os valores dessas medidas de erro de
previsão são significativamente diferentes entre os modelos, foi realizado o teste de
Diebold-Mariano15. A estatística U de Theil é independente de escala, assumindo
valores entre zero e um, sendo que zero indica que os valores previstos foram iguais
aos valores reais e um indica o extremo oposto. Em cada previsão, o modelo com o
menor valor de REQM, EAM e/ou Theil é eleito o modelo com a melhor previsão
para o período.
5.1 Estimação dos Modelos
As Figuras 5, 6, 7 e 8 mostram os correlogramas dos retornos do Ibovespa nos
períodos 1, 2, 3 e 4, respectivamente. Um correlograma pode auxiliar na
determinação da equação da média condicional a ser utilizada nos modelos que
serão estimados.
11
Para um período de previsão definido por t= i, i+1, ..., i+h,
REQM 
1 ih
 yˆ t  yt 2 , onde

h  1 t i
yt é o valor real e ŷt é o valor previsto no instante t.
12
Para um período de previsão definido por t= i, i+1, ..., i+h, EAM 
valor real e
13
14
ŷt é o valor previsto no instante t.
Para um período de previsão definido por t= i, i+1, ..., i+h,
onde
1 ih
 yˆ t  yt , onde yt é o
h  1 t i
U
1 ih
 yˆ t  yt 2

h  1 t i
1 ih 2
1 ih 2
ˆ
y

yt
 t h 1
h  1 t i
t i
,
yt é o valor real e ŷt é o valor previsto no instante t.
Devido à sua forma quadrática, quanto maior a diferença entre o valor previsto e o valor realizado,
maior será a contribuição da diferença no somatório.
15
O teste proposto por Diebold e Mariano (1995) é feito sob a hipótese nula de que os valores das
medidas de erro de previsão não são diferentes.
28
O correlograma do período 1 sugere que a equação da média condicional pode ser
estimada com pelo menos duas especificações: a) sem termos autorregressivos e de
média móvel e b) incluindo termo autorregressivo de quinta ordem16.
Figura 5: Correlograma dos retornos diários do Ibovespa no período 1.
Para os períodos 2 e 3, os correlogramas sugerem que as equações da média
condicional podem ser estimadas sem termos autorregressivos e de média móvel.
Figura 6: Correlograma dos retornos diários do Ibovespa no período 2.
16
Como os dados são diários, isso sugere que havia sazonalidade semanal nos retornos.
29
Figura 7: Correlograma dos retornos diários do Ibovespa no período 3.
No período 4, persiste a sugestão de estimação da equação da média condicional
sem termos autorregressivos e de média móvel. Mas, existe a possibilidade da
estimação com termo autorregressivo de sétima ordem ser adequada.
Figura 8: Correlograma dos retornos diários do Ibovespa no período 4.
Foi aplicado o Teste ARCH-LM17 nas equações da média condicional sugeridas
pelos correlogramas para verificar a necessidade da estimação de modelos de
heteroscedasticidade condicional. O resultado, resumido na Tabela 7, rejeita a
hipótese de inexistência de efeitos ARCH e justifica a necessidade dos modelos de
heteroscedastidade condicional para todas as equações sugeridas.
17
O Teste ARCH-LM identifica a heteroscedasticidade condicional autorregressiva nos resíduos de
um modelo estimado. A hipótese nula do teste é a de não existência de efeitos ARCH até a ordem q
q
nos resíduos e pode ser realizado pela regressão:
et2   0    s et2 s   t .
s 1
30
Tabela 7 – Testes ARCH-LM
Equações
Estatística
Período 1
Período 2
Período 3
Período 4
C
C AR(5)
C
C
C
C AR(7)
Estatística
3,679485
3,503102
2,937718
4,206731
3,209807
2,786041
F
(0,0000)
(0,0001)
(0,0006)
(0,0009)
(0,0002)
(0,0011)
Obs*R²
41,46798
39,62028
33,71522
20,40001
36,57721
32,07017
(0,0000)
(0,0001)
(0,0007)
(0,0011)
(0,0003)
(0,0013)
Nota: a) valores entre parênteses indicam a probabilidade de não rejeição da
hipótese nula.
b) “C” indica equação com apenas uma constante, sem termos
autorregressivo ou de média móvel.
c) “AR(5)” e “AR(7)” indicam equação com uma constante e termo
autorregressivo (AR) de ordem indicada entre parênteses.
Na estimação dos modelos, a distribuição dos erros foi alternada entre Distribuição
Normal, Distribuição T-Student e Distribuição de Erros Generalizada (GED, sigla em
inglês). Para seguir para a etapa de previsões, determinou-se que um modelo deve
ter coeficientes significativos e também capturar o efeito ARCH da série, passando
por um novo Teste ARCH-LM, e também deve ter as equações da média e da
variância condicionais bem especificadas, verificadas pelos Teste-Q e correlogramas
dos resíduos padronizados e resíduos padronizados ao quadrado. Para estar bem
especificado, a estatística Q do modelo não deve ser significante em todas as
defasagens, assim como a autocorrelação (AC) e autocorrelação parcial (PAC).
As tabelas 8, 9, 10 e 11 apresentam os modelos estimados nos períodos 1, 2, 3 e 4.
Além dos coeficientes há também as estatísticas referentes ao Teste ARCH-LM
aplicado ao modelo estimado para confirmar a extinção do efeito ARCH: estatística F
e Obs*R². No Apêndice B estão os resultados dos Teste-Q e correlogramas dos
resíduos padronizados e resíduos padronizados ao quadrado dos modelos
estimados.
A Erro! Fonte de referência não encontrada. apresenta os modelos estimados no
período 1. Para a família GARCH os modelos obtidos foram: GARCH(1,1) e
EGARCH(1,1). Ambos com a especificação do termo autorregressivo de quinta
31
ordem na equação da média condicional, conforme sugerido pelo correlograma da
Figura 5. Para a família GARCH-VI, nenhum modelo foi obtido nas estimações.
Tabela 8 – Coeficientes dos modelos estimados no período 1.
Família GARCH
GARCH
(1,1)
EGARCH
(1,1)
Distribuição
t-Student
t-Student
C (média)
-0,00026*
(-0,31998)
-0,000473*
(-0,579645)
AR(5)
-0,114178
(-2,39953)
-0,096417
(-2,109847)
C
(variância)
0,000072*
(1,131364)
-1,5027*
(-1,578746)
0,748356
(4,037723)
0,825393
(7,065719)
Família GARCH-VI
TARCH
(1,1)
GARCHVI(1,1,1)
EGARCHVI(1,1,1)
TARCHVI(1,1,1)
0,071978*
(1,656283)
-0,114488
(-2,631342)
0,163822
(1,894725)
Estatística
F
Obs*R²
0,985356
(0,4618)
0,858703
(0,5896)
11,85355
(0,4575)
10,36313
(0,5841)
Notas: a) estatística Z entre parênteses.
b) valores seguidos de asterisco indicam coeficientes não significativos.
c) células em branco significam que o coeficiente da linha correspondente não
faz parte do modelo na respectiva coluna.
d) coluna em branco significa que o modelo não pode ser estimado.
e) nas estatísticas F e Obs*R², o valor entre parênteses é a probabilidade de
não rejeição da hipótese nula.
A Tabela 9 apresenta os modelos estimados no período 2. Para a família GARCH os
modelos obtidos foram: GARCH(1,1) e EGARCH(1,1). Para a família GARCH-VI, foi
obtido o modelo EGARCH-VI(1,1,1).
32
Tabela 9 - Coeficientes dos modelos estimados no período 2.
Família GARCH
Família GARCH-VI
GARCH
(1,1)
EGARCH
(1,1)
TARCH
(1,1)
GARCHVI(1,1,1)
EGARCHVI(1,1,1)
Distribuição
Normal
Normal
t-Student
C (média)
0,001691
(2,454734)
0,00148
(2,161615)
0,001542
(2,132701)
C
(variância)
0,000005*
(1,168788)
-4,496418
(-4,35841)
-3,481825
(-3,41961)
TARCHVI(1,1,1)
0,212814
(1,998442)
0,945197
(29,74631)
0,44671
(3,569056)
0,499461
(3,90874)
-0,357938
(-5,63282)
-0,29632
(-3,99404)
-0,09608*
(-1,02585)
-0,12014*
(-1,32855)
0,440558
(0,9467)
1,641453
(0,0771)
1,121647
(0,3399)
5,371601
(0,9444)
19,43076
(0,0786)
13,44707
(0,3374)
0,036052*
(1,645175)
Estatística
F
Obs*R²
Notas: a) estatística Z entre parênteses.
b) valores seguidos de asterisco indicam coeficientes não significativos.
c) células em branco significam que o coeficiente da linha correspondente não
faz parte do modelo na respectiva coluna.
d) coluna em branco significa que o modelo não pode ser estimado.
e) nas estatísticas F e Obs*R², o valor entre parênteses é a probabilidade de
não rejeição da hipótese nula.
A Tabela 10 apresenta os modelos estimados no período 3. Para a família GARCH
os modelos obtidos foram: GARCH(1,1) e EGARCH(1,1). Para a família GARCH-VI,
foi obtido o modelo EGARCH-VI(1,1,1).
33
Tabela 10 - Coeficientes dos modelos estimados no período 3.
Família GARCH
Família GARCH-VI
GARCH
(1,1)
EGARCH
(1,1)
TARCH
(1,1)
GARCHVI(1,1,1)
Distribuição
t-Student
t-Student
t-Student
C (média)
0,001853
(2,551751)
0,000921*
(1,263756)
0,001072*
(1,506893)
C
(variância)
0,000018*
(1,518766)
-1,034399
-2,115405
(-3,25277)
(-3,18114)
EGARCHVI(1,1,1)
TARCHVI(1,1,1)
0,259518
(2,324701)
0,847253
(13,31711)
0,882759
(22,83878)
0,658994
(6,25466)
-0,234445
(-4,44035)
-0,262705
(-3,8194)
0,09202*
(1,543772)
-0,01868*
(-0,19803)
0,353871
(0,978)
0,537892
(0,89)
0,757827
(0,6941)
4,325837
(0,9768)
6,544507
(0,8862)
9,169162
(0,6884)
0,099593
(2,474702)
Estatística
F
Obs*R²
Notas: a) estatística Z entre parênteses.
b) valores seguidos de asterisco indicam coeficientes não significativos.
c) células em branco significam que o coeficiente da linha correspondente não
faz parte do modelo na respectiva coluna.
d) coluna em branco significa que o modelo não pode ser estimado.
e) nas estatísticas F e Obs*R², o valor entre parênteses é a probabilidade de
não rejeição da hipótese nula.
A Tabela 11 apresenta os modelos estimados no período 4. Para a família GARCH
os modelos obtidos foram: GARCH(1,1), EGARCH(1,1) e TARCH(1,1). Para a
família GARCH-VI, foi obtido o modelo EGARCH-VI(1,1,1).
34
Tabela 11 - Coeficientes dos modelos estimados no período 4.
Família GARCH
Família GARCH-VI
GARCH
(1,1)
EGARCH
(1,1)
TARCH
(1,1)
GARCHVI(1,1,1)
EGARCHVI(1,1,1)
Distribuição
t-Student
t-Student
t-Student
Normal
C (média)
0,001069
(2,042378)
0,000792*
(1,495209)
0,000804*
(1,51098)
0,000113*
(0,206691)
C
(variância)
0,000010*
(1,710496)
-0,778168
(-2,29895)
0,000012*
(1,821519)
-1,141675
(-1,97875)
TARCHVI(1,1,1)
0,24475
(2,282396)
0,874445
(18,81116)
0,924334
(24,85235)
0,073429
(2,494002)
0,845029
(15,08621)
0,787301
(8,408097)
0,014793*
(0,525226)
0,146866
(2,621652)
Estatística
F
Obs*R²
-0,125614
(-,341542)
-0,201186
(-3,89324)
0,158976
(2,700772)
-0,013747
(-0,16823)
0,531009
(0,8948)
1,189837
(0,2872)
0,959331
(0,4872)
1,12037
(0,3409)
6,461135
(0,8911)
14,24021
(0,2856)
11,5477
(0,4827)
13,432
(0,3384)
Notas: a) estatística Z entre parênteses.
b) valores seguidos de asterisco indicam coeficientes não significativos.
c) células em branco significam que o coeficiente da linha correspondente não
faz parte do modelo na respectiva coluna.
d) coluna em branco significa que o modelo não pode ser estimado.
e) nas estatísticas F e Obs*R², o valor entre parênteses é a probabilidade de
não rejeição da hipótese nula.
5.2 Previsão e Resultados
As previsões de volatilidade, realizadas com os modelos estimados, foram feitas em
períodos de 10, 20 e 40 dias. As previsões realizadas são do tipo um passo à frente,
ou seja, foram realizadas previsões um passo à frente de forma sucessiva durante
os dias de cada período de previsão. As previsões foram realizadas fora da amostra
35
de estimação, conforme pode ser verificado na Tabela 2, que resume os períodos de
estimação e previsão utilizados.
As Tabelas 12, 13, 14 e 15 apresentam os resultados das previsões nos períodos 1,
2, 3 e 4, respectivamente. Em cada tabela é feito um comparativo entre os modelos
da família GARCH e os modelos da família GARCH-VI. As melhores métricas de
erros de previsão aparecem em destaque em cada período de previsão.
Tabela 12 – Comparação dos Modelos GARCH e GARCH-VI no Período 1.
Período
de
Previsão
10 dias
20 dias
40 dias
Métrica de
Erro de
Previsão
GARCH
GARCH-VI
GARCH(1,1)
EGARCH(1,1)
REQM
0,000233
(-0,5130*)
0,000239
EAM
0,000209
(-0,7770*)
0,000218
Theil
0,419047
0,435162
REQM
0,000534
(-2,2770)
0,000553
EAM
0,000372
(-2,3135)
0,000396
Theil
0,547302
0,549887
REQM
0,000462
(-1,7564*)
0,000475
EAM
0,000341
(-1,5957*)
0,000354
Theil
0,514027
0,519409
Notas: a) valores destacados em negrito indicam o melhor resultado.
b) valores entre parênteses informam a estatística T do teste de DieboldMariano com relação às medidas de erro de previsão dos modelos à direita; o
valor da estatística seguido de um asterisco indica que as medidas de erro de
previsão não são significativamente diferentes.
36
Tabela 13 – Comparação dos Modelos GARCH e GARCH-VI no Período 2.
Período de
Previsão
10 dias
20 dias
40 dias
Métrica de
Erro de
Previsão
GARCH
GARCH-VI
GARCH(1,1)
EGARCH(1,1)
EGARCH-VI(1,1,1)
REQM
0,000203
(-1,0702*;-0,9506*)
0,000254
(1,3865*)
0,000244
EAM
0,000185
(-0,8179*; -0,6660*)
0,000229
(1,4579*)
0,000221
Theil
0,39572
0,44748
0,436187
REQM
0,000305
(-1,1252*;-1,3114*)
0,000325
(0,5121*)
0,000320
EAM
0,000229
(-1,7807*; -1,4657*)
0,000262
(1,7147*)
0,000250
Theil
0,473642
0,459574
0,469963
REQM
0,000264
(-1,1395*;-1,0474*)
0,000279
(1,0106*)
0,000274
EAM
0,000207
(-1,2710*; -0,7607*)
0,000223
(1,8266*)
0,000215
Theil
0,438549
0,438975
0,449074
Notas: a) valores destacados em negrito indicam o melhor resultado.
b) valores entre parênteses informam a estatística T do teste de DieboldMariano com relação às medidas de erro de previsão dos modelos à direita; o
valor da estatística seguido de um asterisco indica que as medidas de erro de
previsão não são significativamente diferentes.
37
Tabela 14 – Comparação dos Modelos GARCH e GARCH-VI no Período 3.
Período de
Previsão
10 dias
20 dias
40 dias
Métrica de
Erro de
Previsão
GARCH
GARCH-VI
GARCH(1,1)
EGARCH(1,1)
EGARCH-VI(1,1,1)
REQM
0,000753
(1,6476*;1,4188*)
0,000680
(-1,9694*)
0,000700
EAM
0,000483
(-0,3691*;-1,7207*)
0,000503
(-2,3537)
0,000529
Theil
0,529782
0,413032
0,438016
REQM
0,002373
(-0,6398*;-1,1029*)
0,002429
(-1,6173*)
0,002516
EAM
0,001397
(0,6112*;-0,3835*)
0,001406
(-2,0418*)
0,001469
Theil
0,60525
0,661275
0,699763
REQM
0,004467
(-1,7119*;-1,3778*)
0,004695
(1,0192*)
0,004644
EAM
0,002694
(0,9641*;0,5431*)
0,002616
(-0,7484*)
0,002645
Theil
0,619215
0,716261
0,690511
Notas: a) valores destacados em negrito indicam o melhor resultado.
b) valores entre parênteses informam a estatística T do teste de DieboldMariano com relação às medidas de erro de previsão dos modelos à direita; o
valor da estatística seguido de um asterisco indica que as medidas de erro de
previsão não são significativamente diferentes.
38
Tabela 15 – Comparação dos Modelos GARCH e GARCH-VI no Período 4.
Período Métrica de
de
Erro de
Previsão Previsão
GARCH
GARCH(1,1)
EGARCH(1,1)
GARCH-VI
TARCH(1,1) EGARCH-VI(1,1,1)
0,000140
0,000155
(-1,5192*;(1,5820*;1,2722*)
1,4164*;0,3867*)
0,000147
(1,0085*)
0,000140
EAM
0,000116
(-2,8231;2,1730*;0,7572*)
0,00141
(3,1084;2,5998)
0,000128
(1,9248*)
0,000113
Theil
0,439452
0,418136
0,423409
0,455774
REQM
0,000123
(-2,9345;2,6070;0,5111*)
0,000149
(2,9087;2,4672)
0,000133
(1,7044*)
0,000122
EAM
0,000104
(-4,4757;3,7097;1,2933*)
0,000132
(4,6754;4,4047)
0,000118
(3,4967)
0,000099
Theil
0,406019
0,406565
0,398444
0,424964
0,000125
0,000149
(-3,9678;(3,7932;2,0186*)
3,6131;-0,4978*)
0,000134
(0,7446*)
0,000128
EAM
0,000105
(-5,3133;
-3,5499;0,6342*)
0,000131
(5,0756;4,2471)
0,000115
(2,3871)
0,000101
Theil
0,405679
0,413341
0,403542
0,463416
REQM
10 dias
20 dias
REQM
40 dias
Notas: a) valores destacados em negrito indicam o melhor resultado.
b) valores entre parênteses informam a estatística T do teste de DieboldMariano com relação às medidas de erro de previsão dos modelos à direita; o
valor da estatística seguido de um asterisco indica que as medidas de erro de
previsão não são significativamente diferentes.
De maneira geral, as medidas de erro de previsão REQM e EAM, não foram
significativamente diferentes entre os modelos, com diferenças significativas na
escolha do melhor modelo apenas para previsões de 20 dias do período 1, elegendo
o modelo GARCH(1,1).
Ao analisarmos as comparações através da estatística U de Theil, há um predomínio
do modelo GARCH(1,1) nos períodos 1, 2 e 3, não sendo o melhor modelo apenas
para as previsões de 20 dias do período 2 e 10 dias do período 3, onde o modelo
EGARCH(1,1) foi melhor. No período 4, o modelo TARCH(1,1) teve o melhor
39
desempenho nas previsões de 20 e 40 dias e o modelo EGARCH(1,1) teve o melhor
desempenho na previsão de 10 dias.
O modelo GARCH(1,1) obteve bons resultados em grande parte das previsões.
Resultado semelhante ao que Hansen e Lunde (2005) encontraram em seus
trabalhos ao comparar o modelo GARCH(1,1) com modelos mais sofisticados. Neste
trabalho, o modelo GARCH(1,1) só não foi superior aos outros modelos no período
4, que foi caracterizado por ser o período de menor desvio-padrão dos retornos do
Ibovespa.
Os modelos da família GARCH-VI foram inferiores aos modelos da família GARCH
em todos os períodos, sugerindo que a volatilidade implícita, usada como variável
explicativa da variância condicional, não possui informação adicional na previsão de
volatilidade do ativo subjacente.
6 Conclusão
Os modelos GARCH são amplamente utilizados para estimar e prever a volatilidade
de ativos do mercado financeiro. A volatilidade implícita de opções possui uma
característica natural de ser uma previsão da volatilidade futura do ativo subjacente
e por esta razão é bastante estudada na literatura. Este trabalho propôs verificar a
utilização da volatilidade implícita em conjunto com modelos GARCH, mais
precisamente usando a volatilidade implícita como variável explicativa da variância
condicional em modelos GARCH.
Na estimação dos modelos da família GARCH-VI, a volatilidade implícita obteve
coeficientes significativos na equação da variância condicional apenas para os
modelos EGARCH-VI(p,q,r), nos períodos 2, 3 e 4. A família GARCH-VI não teve um
modelo estimado que a representasse no período 1.
Após as previsões, as comparações entre os modelos GARCH e GARCH-VI
indicaram que os modelos da família GARCH-VI foram inferiores aos modelos da
família GARCH, sendo que o modelo GARCH(1,1) na maioria das vezes foi o melhor
modelo para previsão de volatilidade. Esses resultados sugerem que o uso da
volatilidade implícita como variável explicativa da variância condicional não aumenta
o poder de previsão dos modelos GARCH.
40
Uma sugestão de continuação deste trabalho seria a utilização da previsão de
volatilidade dos modelos GARCH-VI em estratégias de investimento, verificando se
através de estratégias reais pode-se chegar a uma conclusão diferente sobre o uso
da volatilidade implícita como variável explicativa da variância condicional em
modelos GARCH.
41
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43
APÊNDICE A – Séries de Opções de Compra do Ibovespa
Data de Vencimento
Data da Primeira
Negociação
Quantidade de Séries
14/jun/2000
13/abr/2000
5
16/ago/2000
31/mai/2000
5
18/out/2000
28/jul/2000
6
13/dez/2000
20/set/2000
11
14/fev/2001
07/dez/2000
8
18/abr/2001
30/jan/2001
7
13/jun/2001
22/dez/2000
7
15/ago/2001
16/mai/2001
7
17/out/2001
29/jun/2001
8
12/dez/2001
15/fev/2001
9
13/fev/2002
21/ago/2001
6
17/abr/2002
29/jan/2002
5
12/jun/2002
26/set/2001
6
14/ago/2002
08/jan/2002
7
16/out/2002
01/mar/2002
7
18/dez/2002
20/fev/2002
10
12/fev/2003
17/out/2002
5
16/abr/2003
04/abr/2002
6
18/jun/2003
10/mar/2003
6
13/ago/2003
08/ago/2002
6
15/out/2003
20/jan/2003
9
17/dez/2003
13/mar/2003
11
18/fev/2004
23/set/2003
12
14/abr/2004
02/dez/2003
11
16/jun/2004
04/dez/2003
10
18/ago/2004
10/out/2003
10
13/out/2004
24/out/2003
9
15/dez/2004
13/jan/2004
10
16/fev/2005
10/mai/2004
12
44
13/abr/2005
17/jan/2005
10
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46
APÊNDICE B – Testes-Q e Correlogramas dos Resíduos
Padronizados e Resíduos Padronizados ao Quadrado dos
Modelos Estimados
Figura 9: Teste-Q e correlograma dos resíduos padronizados do modelo
GARCH(1,1) do período 1.
Figura 10: Teste-Q e correlograma dos resíduos padronizados ao quadrado do
modelo GARCH(1,1) do período 1.
47
Figura 11: Teste-Q e correlograma dos resíduos padronizados do modelo
EGARCH(1,1) do período 1.
Figura 12: Teste-Q e correlograma dos resíduos padronizados ao quadrado do
modelo EGARCH(1,1) do período 1.
48
Figura 13: Teste-Q e correlograma dos resíduos padronizados do modelo
GARCH(1,1) do período 2.
Figura 14: Teste-Q e correlograma dos resíduos padronizados ao quadrado do
modelo GARCH(1,1) do período 2.
49
Figura 15: Teste-Q e correlograma dos resíduos padronizados do modelo
EGARCH(1,1) do período 2.
Figura 16: Teste-Q e correlograma dos resíduos padronizados ao quadrado do
modelo EGARCH(1,1) do período 2.
50
Figura 17: Teste-Q e correlograma dos resíduos padronizados do modelo EGARCHVI(1,1,1) do período 2.
Figura 18: Teste-Q e correlograma dos resíduos padronizados ao quadrado do
modelo EGARCH-VI(1,1,1) do período 2.
51
Figura 19: Teste-Q e correlograma dos resíduos padronizados do modelo
GARCH(1,1) do período 3.
Figura 20: Teste-Q e correlograma dos resíduos padronizados ao quadrado do
modelo GARCH(1,1) do período 3.
52
Figura 21: Teste-Q e correlograma dos resíduos padronizados do modelo
EGARCH(1,1) do período 3.
Figura 22: Teste-Q e correlograma dos resíduos padronizados ao quadrado do
modelo EGARCH(1,1) do período 3.
53
Figura 23: Teste-Q e correlograma dos resíduos padronizados do modelo EGARCHVI(1,1,1) do período 3.
Figura 24: Teste-Q e correlograma dos resíduos padronizados ao quadrado do
modelo EGARCH-VI(1,1,1) do período 3.
54
Figura 25: Teste-Q e correlograma dos resíduos padronizados do modelo
GARCH(1,1) do período 4.
Figura 26: Teste-Q e correlograma dos resíduos padronizados ao quadrado do
modelo GARCH(1,1) do período 4.
55
Figura 27: Teste-Q e correlograma dos resíduos padronizados do modelo
EGARCH(1,1) do período 4.
Figura 28: Teste-Q e correlograma dos resíduos padronizados ao quadrado do
modelo EGARCH(1,1) do período 4.
56
Figura 29: Teste-Q e correlograma dos resíduos padronizados do modelo
TARCH(1,1) do período 4.
Figura 30: Teste-Q e correlograma dos resíduos padronizados ao quadrado do
modelo TARCH(1,1) do período 4.
57
Figura 31: Teste-Q e correlograma dos resíduos padronizados do modelo EGARCHVI(1,1,1) do período 4.
Figura 32: Teste-Q e correlograma dos resíduos padronizados ao quadrado do
modelo EGARCH-VI(1,1,1) do período 4.