Formação de Imagem - Sampling www.dca.ufrn.br/~lmarcos/courses/visao Visão adquirindo imagem Visão - Formação de Imagem • Energia de uma fonte de luz é radiada uniformemente em 4 radianos • Irradiância é a soma de toda a luz incidente na imagem • Reflexão pode ser difusa ou especular, depende da superfície e comprimento de onda da luz • Superfície que reflete energia eletro-magnética modula o conteúdo do espectro, intensidade e polarização da luz incidente • Função da intensidade radiante é projetada no plano imagem 2D, espacialmente amostrada e digitalizada a 30 fps. Formação da imagem • Geometria da câmera (lentes finas) – equação fundamental 1 /Z´ + 1/z´ = 1/f • Radiometria E(p) = f(L(P)) – reflexão Lambertiana L=Itn (I transposto) – ângulo sólido = A cos / r2 – equação fundamental E(p) = L(p) /4 (d/f)2 cos4 Formação Geométrica da Imagem • Relação entre a posição dos pontos da cena com a imagem • Câmera perspectiva • Câmera com fraca perspectiva Modelo perspectivo ideal p y x o p1 f Plano imagem P1 z O P y x p1 o O f p P1 z Plano imagem P Modelo ideal Inversão de Percepção • “Se estímulos sensoriais são produzidos de um único modo pelo mundo, então como deveria ser o mundo para produzir este estímulo?” estimulo = f(mundo) mundo = f-1(estímulo) • As funções f() são apenas parcialmente conhecidas e f-1(), inversa de f não é bem condicionada (não se comporta direito). Conhecimento e Experiência • Adquire-se através da associação de dados sensoriais de forma eficiente • Conseguem preencher espaços inacessíveis pelo processo de formação de imagens • Engana o cérebro Representação matricial Imagem e seu gráfico Reconstrução – Amostragem Espacial Amostragem - resolução espacial • Variação da amostragem no espaço – imagens com diferentes resoluções (pixels cobrem áreas diferentes) Amostragem - quantização • Variação da amostragem pela quantização – número de níveis de intensidade para cada pixel varia de uma imagem para outra Amostragem - quantização Amostragem - quantização Amostragem - quantização Amostragem-resolução temporal • Variação da amostragem no tempo – tempo de amostragem do sensor é diferente – usando sistemas de aquisição diferentes • Influencia qualidade final de cada pixel Propriedades espaciais • Delta de dirac • Esta função tem as seguintes propriedades: Sifting property Comentários • A primeira propriedade sugere um tipo de máscara infinitesimal que amostra a imagem precisamente na posição (x,y) • A segunda propriedade é conhecida como “Sifting property”. Funções especiais • Dirac delta (x)=0,x0 lim0 - (x)dx = 1 • Sifting property - f(x´)(x-x´)dx´=f(x) • Scale (ax) = (x)/|a| • Delta de Kronecker (n)=0, n0 (n)=1, n=0 • Sifting property m=- f(m)(n-m) =f(n) Transformada de Fourier • onde u,v é a freqüência espacial em ciclos por pixel , de modo que quando x é especificado em pixels, 2(ux+vy) é em radianos, e i=-1 Pares transformados Pares de transformadas Propriedade: freqüência espacial • Se f(x,y) é a luminância e x,y as coordenadas espaciais, então 1 e 2 (ou u,v) são as freqüências espaciais que representam a mudança de luminância com respeito às distâncias espaciais. As unidades 1 e 2 (ou u,v) são recíprocas de x e y respectivamente. • Algumas vezes as coordenadas x,y são normalizadas pela distância de visualização da imagem f(x,y). Então as unidades 1 e 2 (u,v) são dadas em ciclos por grau (do ângulo de visualização), ou por pixel. Propriedade: unicidade • Para funções contínuas, f(x,y) e F(1,2) são únicas com respeito uma à outra. • Não há perda de informação se for preservada a transformada ao invés da função Propriedade: separabilidade • O kernel da transformada de Fourier é separável, de modo que ela pode ser escrita como uma transformação separável em x e y. F(1,2)=f(x,y)exp(-i2x1)dxexp(-i2y2)dy • Isso significa que a transformação 2D pode ser realizada por uma sucessão de duas transformações unidimensionais, ao longo de cada uma das coordenadas. Teorema do deslocamento De modo que Convolução • A convolução de duas funções f e g • onde é uma variável de integração Teorema da convolução então Teorema da amostragem • Seja F()= transformada de Fourier de uma função f(t), com t(-,+ ). Assumimos que f é limitada em banda, isto é, F()= 0, para ||>c>0. • Então, podemos formular o teorema da amostragem. Teorema da amostragem • A função f pode ser reconstruída exatamente para todo t(-,+ ), a partir de uma seqüência de amostras eqüidistantes fn=f(n/c), de acordo com a seguinte formula: f(t)=-fn sin(ct-n)/(ct-n) = -fn sinc(ct-n) Aliasing • Uma função contínua no espaço f(x) é amostrada pelo cálculo do produto de f(x) por g(x), uma seqüência infinita de deltas de Dirac • Queremos determinar os efeitos da função de amostragem na energia espectral em f(x) Aliasing • Pelo teorema da convolução, sabemos que o produto destas duas funções espaciais é igual à convolução dos seus pares de Fourier • Podemos escrever a função H(u) em termos de F(u): Aliasing Aliasing • Deste modo, o espectro de freqüência da imagem amostrada consiste de duplicações do espectro da imagem original, distribuída a intervalos 1/x0 de freqüência. • Seja R(u) um filtro passa-banda no domínio da freqüência. 0 caso contrário Aliasing • Quando os espectros replicados interferem, a interferência introduz relativa energia em altas freqüências mudando a aparência do sinal reconstruído Teorema da amostragem (nyquist) • Se a imagem não contém componentes de freqüência maiores que a metade da freqüência de amostragem, então a imagem contínua pode ser representada fielmente ou completamente na imagem amostrada.
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