Matemática Financeira e
Informática de Gestão
Faculdade de Economia da
Universidade do Porto
2010/2011
1
Primeira Aula
2
Objectivos da Disciplina
• 1ª Parte (12 aulas)
– Taxa de juro, capitalização e desconto
– Instrumentos financeiros sem risco: depósitos
e créditos bancários; obrigações
– Transformação de stocks financeiros em
fluxos financeiros (rendas / amortizações)
– Medidas de desempenho de um investimento
– os preços correntes e preços constantes
3
Objectivos da Disciplina
• 2ª Parte (6 aulas)
– Risco do negócio. Modelos estatísticos.
– Instrumentos financeiros com risco: seguros,
acções e obrigações com risco de falha
– Carteiras de activos: diversificação e
alavancagem
4
Objectivos da Disciplina
• 3ª Parte (6 aulas)
– Programação em R
– Aplicações retiradas das primeira e segunda
partes do texto.
– A linguagem de programação desenvolve a
capacidade de análise e é uma poderosa
ferramenta na modelização dos problemas da
Matemática Financeira.
5
Avaliação
• Avaliação Contínua
– Um teste sobre a 1ª parte (50% da nota)
– Um teste sobre as 2ª e 3ª partes (50%)
– Para fazer avaliação contínua têm que
frequentar 75% das aulas
• Avaliação por Exame (2 épocas)
– O segundo teste é parte do exame
– Mesmo fazendo o 1º teste, pode deitar fora e
fazer o exame contando a melhor nota
6
Material de estudo
• Existem disponíveis em formato digital
– Uma página
www.fep.up.pt/docentes/pcosme/MFIG.G106.2010
– um texto que segue as aulas
– Um ficheiro excel com os exercícios do texto
– As apresentações das aulas em Power Point
– Cadernos de exercícios resolvidos
7
Os contratos de débito/crédito
=
contratos de mútuo
8
O contrato de débito/crédito
• Existem três razões principais para a
haver contratos de crédito.
– O ciclo de vida das pessoas
– Poder ocorrer um período de “desemprego”
ou de despesas acrescidas (e.g., doença)
– O capital ser produtivo
9
O ciclo de vida
• Uma das mais obvias razões para a
existência de empréstimos é o ciclo de
vida das pessoas.
– As pessoas precisam de consumir sempre
– Existem longos períodos em que não têm
rendimento (quando crianças e “velhos”)
10
O ciclo de vida
11
O ciclo de vida
• As pessoas, quando crianças, não têm
rendimento suficiente para sobreviver,
pedindo recursos emprestados
– Em média, é-se “criança” durante 20 anos
• Quando trabalham, pagam as dívidas (de
criança) e poupam alguns recursos (para
a velhice)
– Em média, é-se activo durante 45 anos
12
O ciclo de vida
• Quando reformados, não geram
rendimento suficiente para sobreviver,
mas têm os recursos que emprestaram
– Em média, a reforma dura 15 anos
• Esses recursos vão-se esgotando
13
O desemprego
• O trabalho é a fonte mais importante de
rendimento das famílias
• E, de repente, qualquer pessoa pode ficar
desempregada.
– A probabilidade será de 10%/ano
14
O desemprego
• E, depois, demora alguns meses a
encontrar novo emprego
– Em média, 12 meses
• E o salário é menor que o anterior
– Inicialmente ganha-se menos 15%
• Será necessário poupar recursos para
essa eventualidade.
– Deverão ter uma poupança  12 salários.
15
Cataclismos
• Podem ocorrer imponderáveis
– O indivíduo pode adoecer, ficando sem poder
trabalhar e necessitando de tratamento
médico.
– Pode ter um acidente de automóvel,
necessitando de pagar a reparação.
– Pode ter um incêndio em casa.
• É necessário ter uns activos de lado ou
pedir emprestado na adversidade
16
O capital ser produtivo
• O trabalho torna-se mais produtivo se for
auxiliado por capital
– máquinas e ferramentas, solo agrícola, etc.
• Se um indivíduo pedir emprestado
dinheiro, pode comprar bens de capital e
aumentar o seu rendimento
– Mais tarde, pode devolver o capital pedido
17
O capital ser produtivo
• Também existem bens que custam “muito
dinheiro” e duram muito tempo
– Casas, carros, frigoríficos, televisores, etc.
• Estes bens “produzem” utilidade
– As pessoas, sem dinheiro, estão disponíveis
para pedir empréstimos e pagar um pouco
todos os meses.
18
O empréstimo em dinheiro
• Numa sociedade “atrasada”,
– Armazenam-se bens
– Emprestam-se bens e serviços
• Numa sociedade com moeda, emprestase dinheiro
19
O empréstimo em dinheiro
• O armazenamento de recursos tem custos
muito elevados
– A roupa passa de moda
– A comida estraga-se
– Os carros enferrujam
• É vantajoso emprestar dinheiro e mais
tarde tê-lo de volta para comprar bens e
serviços
20
O empréstimo em dinheiro
• Poupar dinheiro não é o mesmo que
poupar recursos escassos
• Se poupamos dinheiro, nós deixamos de
consumir recursos (bens e serviços)
• Mas, a quem emprestamos, vai consumir
esses recursos que poupamos.
21
O empréstimo em dinheiro
• Como as pessoas são heterogéneas,
haverá sempre algumas que precisam de
pedir dinheiro emprestado
– As crianças, os desempregados e as vítimas
de acidentes
– Os empreendedores
• Outras que precisam de guardar dinheiro
– Os indivíduos activos e empregados.
22
A taxa de juro
23
A taxa de juro
• Quando eu empresto uma quantidade de
dinheiro, não vou receber a mesma
quantidade
– A diferença denomina-se por JURO
• O Juro pode ser entendido como a
remuneração de eu adiar o consumo, o
custo de antecipar o consumo
24
A taxa de juro
• Por exemplo, eu empresto 5000€ a um
familiar e recebo daqui a 10 anos 7500€.
• Recebo o capital que são 5000€ mais os
juros que são 2500€.
25
A taxa de juro
• O juro, em tese, tanto poderá ser positivo
como negativo.
• Há razões para justificar ser positivos e
razões para justificar ser negativo
• Historicamente é positivo
26
Taxa de juro
• Hoje faço anos e deram-me 1000€
– Hipótese 1: entregam-mos agora.
– Hipótese 2: entregam-mos daqui a 10 anos.
• Qual das hipóteses será preferível?
27
Taxa de juro positiva
• Se for preferível a hipótese 1 então
aceitamos uma taxa de juro positiva
– Podia depositá-lo a juros
– O dinheiro vai desvalorizar
– O doador pode morrer (e a oferta falhar)
28
A taxa de juro
• É positiva por três razões
– Existe uma remuneração real
• As pessoas preferem o presente ao futuro
• O capital é produtivo: existem empreendedores
• Há concorrência pelo capital escasso
– Há inflação
• Os preços aumentam havendo necessidade de
corrigir esta perda de poder de compra
– Há risco de incumprimento
• É uma lotaria
29
Juro real
• Podia receber um juro real
– O capital é produtivo.
• E.g., um agricultor se cavar com uma enxada
consegue produzir mais do que se o fizer com
apenas um pau.
– O capital é escasso
– Quem precisar de capital estará disponível a
pagar uma remuneração positiva pelo
empréstimo do capital.
30
Juro real
– É preferível consumir hoje.
– As pessoas preferem o Presente ao Futuro
• No Futuro estamos mortos
• No Futuro estamos velhos pelo que não retiramos
tanta utilidade do consumo
– Quem faz o sacrifício de não consumir no
presente precisa ser “remunerado”.
– Quem tem o benefício de consumir o que não
tem (ainda) tem que “pagar”.
31
Juro real
• Inicialmente tenho V0 euros
– Supondo que os preços se mantêm e que
não existe risco, para uma taxa de juro r%
– Terei no fim do período
V1 = V0(1+ r)
Ex., para V0 = 10000€ e r = 10%, terei
V1 = 10000(1+ 10%)=11000€
32
Inflação
• O dinheiro vai desvalorizando
• O valor do dinheiro resulta de podermos
comprar bens e serviços.
– Como existe inflação (i.e., o preço dos bens
e serviços aumenta com o tempo), a
quantidade de bens que posso comprar com
um Euro diminui com o tempo.
– O valor do dinheiro diminui com o tempo
33
Inflação
• Inicialmente tenho V0 euros
• Os preços, em média, aumentam %.
• Para no fim do período poder comprar os
mesmos bens e serviços terei que ter
V1 = V0(1+ )
Considerando o duplo efeito virá
V1 = [V0(1+ r)](1+ )
34
Inflação
• Por exemplo, quero uma remuneração
real de 7.5% e uma correcção da inflação
que é de 5%. Emprestando 5000€ quero
receber
V1 = [5000(1+ 7.5%)](1+ 5%)
=5643.75€
35
Segunda Aula
36
Risco de incumprimento
– O Futuro é incerto.
– Quando eu empresto dinheiro, estou a pensar
receber o dinheiro mais os juros
– Mas posso não receber nenhum deles
• Ou receber apenas parte
– A obrigação pode não ser cumprida
37
Risco de incumprimento
– Vamos supor que eu emprestei V0 euros e
vou receber (penso eu) V1 euros.
– Existindo a probabilidade p de eu não receber
nada, para, em média, ficar equivalente, terei
que contratar uma taxa que corrija este risco
V0 = 0 x p + V1 x (1 - p)
V1 = V0 / (1 - p)
p>0  V1 > V0
38
Risco de incumprimento
• O risco acresce à taxa de juro real e à
correcção da taxa de inflação
V1 = {[V0(1+ r)](1+ )}/(1- p)
• Então, a taxa de juro contratada será
i = (1+ r)(1+ ) / (1- p) - 1
39
Risco de incumprimento
• Vamos supor que eu empresto
– 1000€
– pretendo uma taxa de juro real de 6%
– a inflação prevista será de 8%
– o risco de incumprimento é de 10%.
• Qual deverá que ser a soma prometida no
fim do prazo?
40
Risco de incumprimento
V1 = 1000 (1+ 6%)(1+ 8%) / (1- 10%)
= 1272€
A taxa de juro será 27.2%
41
A taxa de juro
• Haverá razões para que a taxa de juro
seja negativa?
– O dinheiro que guardo em casa pode ser
roubado
– Se houver poucas criancinhas e poucos
empresários, não há a quem emprestar
dinheiro
• i.e., se não houver crescimento económico
42
A taxa de juro
• Historicamente, os efeitos “negativos” são
menores que os efeitos “positivos”
– Há uma tendência secular de crescimento
económico
• Historicamente, a taxa de juro é positiva
43
A taxa de juro
Tx.Cresc.PIB
7%
6%
5%
4%
3%
2%
1%
0%
11/20 21/30 31/40 41/50 51/60 61/70 71/80 81/90 91/00 00/10
• Evolução da taxa de crescimento do PIB português 1910/2010
(fonte: Freitas, Miguel Lebre, 2004, “Acumulação de capital e crescimento económico em
Portugal: 1910-2000”, UA-WP, 20, Quadro 1)
44
A taxa de juro
• As unidades de juro são em termos de
unidades de capital por unidades de
tempo.
• e.g., 0.10€ por cada 1.00€ e por cada ano
– Seria uma taxa de juro de 10% por ano
45
A taxa de juro
• Como o juro incorpora 3 elementos
– A remuneração do capital (o juro real)
– A inflação
– O risco de não cobrança
• Em termos de taxas temos, num ano
Vfinal = Vinicial x (1+ ) x (1 + r) / (1 - p)
1+ i = (1+ ) x (1 + r) / (1 - p)
46
A taxa de juro
• Para valores de r,  e p pequenos, é
aceitável somas as 3 parcelas:
 (1  r )(1   ) 

Ln(1  i )  Ln
 (1  p ) 
 Ln(1  r )  Ln(1   )  Ln(1  p )
 i  r   p
47
A taxa de juro
• Supondo que eu empresto 1000€, durante
1 ano.
– A inflação (prevista) é de 5% ao ano
– O juro real (acordado) é de 2% ao ano
– O risco de não cobrança é de 3% ao ano
• Qual deve ser a taxa de juro?
• Quanto dinheiro devo acordar receber?
48
A taxa de juro
A taxa de juro deve ser de10.41%:
1+i = (1+ 0.05) x (1 + 0.02) / (1 – 0.03)
i =10.412%
Devo exigir receber (daqui a um ano)
V1 = 1000 x (1+ 0.05) x (1 + 0.02) / (1 – 0.03)
V1 = 1104.12€
Os juros serão 104.12€.
49
A taxa de juro
A soma das parcelas daria 10%
0.05 + 0.02 + 0.03
A taxa calculada é 10.412%
Quanto mais pequenas forem as parcelas,
menor é a diferença
50
A taxa de juro
• Assumir um juro proporcional à duração
do tempo e à quantidade emprestada tem
problemas
– O risco de grandes somas é mais que
proporcional ao risco das pequenas somas
• Por causa da diversificação do risco
– O risco de longos prazos é mais que
proporcional ao risco dos curtos prazos
• O futuro distante é menos previsível
51
A taxa de juro
• Mesmo assim, usa-se como referência
para o juro uma taxa por unidade de
tempo, normalmente o ano.
– E.g. 4.47%/ano
• Podendo haver ajustamentos ao prazo e
ao valor
52
A taxa de juro
• Taxa EURIBOR
– É a taxa de juro por ano que os bancos sem
risco (first class credit standing) emprestam
euros entre si
– É uma referência nos contratos com taxa de
juro variável (e.g., crédito à habitação).
53
A taxa de juro
EURIBOR a 6 meses entre 1-1-2008 e 30-4-2010
54
A taxa de juro
EURIBOR dependendo do prazo do contrato
(Escalas: 30-06-2008 esquerda; 30-04-2010 direita)
55
A taxa de juro
• Taxa EURIBOR
– Como é uma taxa sem risco, os particulares
acrescem um Spread à sua taxa que é a
previsão que o credor tem do risco de não
cobrança de cada cliente.
– Os depositantes recebem menos que a
EURIBOR – “pagam” os serviços bancários
56
A taxa de juro
• Taxa de desconto do Banco Central
– O BC controla a quantidade de papel moeda
em circulação,
– i.e, controla o nível médio de preços
– Não tem qualquer efeito real (monetaristas)
– Quando é definida, e.g., 4%/ano, o BC aceita
liquidez a 3.5%/ano e cede liquidez a
4.5%/ano – denomina-se janela de desconto
57
A taxa de juro
• Taxa de desconto do Banco Central não é
uma boa medida da taxa de mercado sem
risco
– A cedência de liquidez é de “último recurso”.
– Ao fim de 60 dias, a taxa de juro aumenta 1
ponto percentual
– Ao fim de 120 dias, aumenta mais 1 p.p.
(actualmente este aumento está suspenso)
58
A taxa de juro
59
Terceira Aula
60
A taxa de juro
• O Credit Scoring é uma técnica de
estimação da probabilidade de
incumprimento.
• O Score é um índice que resulta de somar
os efeitos de várias variáveis
61
A taxa de juro
• Ex.1.3: assuma o seguinte score:
– PJA: Proporção dos juros e amortizações no
rendimento mensal
– PDP: Proporção das dívidas no património
– IM: Idade média do casal
• Score = 100PJA + 25PDP + IM
62
A taxa de juro
• score ≤ 80, o spread será de 0.75 pp
• 80 < score ≤ 130, o spread será 1.75 pp
• score > 130, o banco não concede crédito.
• Qual o spread de um casal, com
2M€/mês, património de 100M€, 26 + 30
anos, e que pedem 175M€ para comprar
uma casa avaliada em 250M€?
– Assuma uma prestação mensal de 6€/1M€.
63
A taxa de juro
• Como o Score
• p = 100x6x175/2000
+ 25.[175/(100 + 250)]
+ 28 = 95.1
está no intervalo ]80, 130],
o spread será de 1.75pp.
64
Capitalização e Desconto
65
Capitalização
• A taxa de juro é referida a uma unidade de
tempo, normalmente um ano.
– Se a duração do contrato for de vários anos
mas os juros forem pagos no final de cada
ano
– Estamos sempre a voltar à situação inicial.
• Esta é a situação dita normal.
66
Capitalização
• Se os juros forem pagos apenas no fim do
prazo contratado (de vários anos)
• Cada ano, o capital aumentará
– Haverá lugar a juros dos juros não pagos.
• Esta é a situação capitalizada.
67
Capitalização dita simples
• Neste caso, desprezamos os juros dos
juros.
• Cada ano, os juros são o capital inicial a
multiplicar pela taxa de juro anual
J = Vinicial  i
• No final de n anos, receberemos
Jtotal = Vinicial  ni
Vfinal= Vinicial +Jtotal = Vinicial  (1+ ni)
itotal = n  i
68
Exercício
• Ex.1.4. Um empréstimo de 10M€ a 3 anos
em que os juros são pagos no fim do
período, capitalização simples.
– Spread de 2 pontos percentuais
• A taxa de juro foi 3.754%/ano; 4.217%/ano
e 4.765%/ano, respectivamente.
• Qual a quantia a pagar?
69
Exercício
• R. Os juros serão
J = 10M€(5.754% + 6.217% + 6.765%)
= 1873.60€
O capital final será
V = 10000€ + 1873.60€
=11873.60€.
70
Exercício
C3: =B3*B$1
C6: =SUM(C3:C5)
C7: =C6 + B1
71
Exercício
O saldo corrente de uma conta é
remunerado à taxa de 2%/ano,
capitalização simples, a creditar em 1Jan
do ano seguinte.
Calcule o total dos juros para uma situação
concreta.
72
Exercício
73
Exercício
E5: =A6-A5
F5:=D5*E5/B$2*B$1
D6:=C6+D5
C15: =SOMA(F5:F14)
74
Capitalização Composta
75
Capitalização Composta
• Neste caso, vamos considerar os juros
dos juros.
• Cada ano, os juros acrescem ao capital
Jt+1 = Vt  i
Vt+1 = Vt + Vt  i = Vt (1+ i)
• No final de n anos, receberemos
Vfinal=Vinicial (1 + itotal) = Vinicial (1 + i)n,
Vinicial (1 + itotal) = Vinicial (1 + i)n,
itotal = (1 + i)n - 1
76
Exercício
• Ex.1.6. Emprestando 25M€, a 5 anos à
taxa de 5% ao ano, juros a pagar no fim
do período com capitalização composta.
i) Qual o capital final a receber
ii) Determine a taxa de juro dos 5 anos e
compare com a capitalização simples.
77
Exercício
• i) O capital final a receber será de
25000 (1 + 5%)5 = 31907.04€
• ii) A taxa de juro do contrato será
(1+5%)5 –1 = 27.628%
com capitalização simples seria menor
= 5x5% = 25%
78
Exercício
• Ex.1.7. Um empréstimo de 10M€ a 3 anos
em que os juros são postecipados,
capitalização composta.
• A taxa de juro foi 5.754%/ano; 6.217%/ano
e 6.765%/ano, respectivamente.
• Qual a quantia a pagar?
79
Exercício
• O valor a receber será
V(1+ 0.05754)(1+ 0.06217)(1+0.06765)
=11992.78€
80
Quarta Aula
81
Exercício
• Ex.1.8. Durante o ano, um indivíduo no
início de cada mês fez os seguintes
movimento bancário: +250; +100; –50;
+125;– 150; +250; –350; –25; –10; +50; 0;
200. Para uma taxa de juro constante de
0.165%/mês, determine o saldo da conta
no fim do ano com capitalização mensal
composta.
82
Exercício
83
Exercício
•
•
•
•
•
B1: =(1+B2)^12-1
C4: =B4; D4: =C2*B$2; E4: =C4+D4 e copiava
C5: = B5+E4 e copiava
F4: = =B4*(1+B$2)^(13-A4) e copiava
F16: =sum(F4:F15).
84
Exercício
• B1: =(1+B2)^12-1
• A taxa anual é a capitalização 12 meses
da taxa mensal
• Se fizesse =12* B2 tinha a taxa nominal
– Capitalização simples
• Assim é a taxa efectiva
85
Período de tempo fraccionário
• Na expressão da taxa de juro capitalizada
de forma composta: itotal = (1 + i)n - 1
• O número de anos é inteiro.
• No entanto, podemos extrapolar o conceito
de capitalização a fracções do ano.
86
Período de tempo fraccionário
• Sendo que empresto 1000€ durante 3
meses a uma taxa anual de 5%/ ano,
quanto vou receber de juros (c. composta):
87
Período de tempo fraccionário
i = (1 + 5%)0.25 – 1 = 1,227%
– 3 meses correspondem a 0.25 anos.
• Vou receber 12,27€ de juros
• Se capitalizasse esta taxa 4 vezes, obtinha
os 5%
(1 + 1.227%)4 – 1 = 5%
88
Período de tempo fraccionário
• Ex.1.11. Num empréstimo de 100M€ foi
acordado o pagamento mensal de juros à
taxa média do último mês da EURIBOR a 3
meses e o capital no fim do prazo
acordado.
• Supondo um mês em que a taxa de juro foi
de 5.735%/ano, quanto foi pago de juros?
89
Período de tempo fraccionário
• R. A taxa mensal será
(1 + 5.735%)1/12 – 1 = 0.465796%
– Um mês corresponde a 1/12 anos
 465.80€ de juros referentes ao mês
90
Período de tempo fraccionário
• Ex.1.12. Num empréstimo a 5 anos, foi
acordada uma taxa de juro total de 25%.
Supondo que os juros são pagos
trimestralmente, qual será a taxa de juro
trimestral?
91
Período de tempo fraccionário
• R. Um trimestre será 1/20 do período total
do contrato pelo que a taxa de juro
trimestral será dada por
(1 + 25%)^(1/20) – 1 = 1.122%/trimestre.
92
Valor Futuro = Valor capitalizado
• O valor que uma soma de dinheiro do
presente terá no futuro
• Traduz o total a pagar pelo devedor no final
do prazo acordado:
– valor futuro do capital emprestado.
93
Valor Futuro
• Ex.1.13. Umas tias propõem-se a dar-vos
agora 1000€ ou 1200€ quando acabarem a
licenciatura. Supondo uma taxa de juro de
10%/ano, qual a soma de dinheiro mais
apetecível?
94
Valor Futuro
• R. O valor futuro dos actuais 1000€ daqui a
3 anos será
1000(1+10%)^3 = 1331€
que é maior que os 1200€ que então
receberão
• Então, será melhor receber os 1000€ já.
95
Valor Futuro
• Ex.1.14. Foram colocadas à venda
obrigação do SCP de valor nominal de
5.00€ por 4.05€. Sabendo que o SCP
resgata a obrigação ao par (i.e., paga os
5€) daqui a 3 anos com cupão zero, qual a
taxa de juro desta aplicação?
96
Valor Futuro
• R. O valor futuro dos 4.05€ do presente serão
5.00€ pelo que a taxa de juro resolve:
4.05(1  i)  5  i  (5 / 4.05)
3
1/ 3
1
• será 7.277%/ano:
97
Quinta Aula
7 Outubro
98
Valor Futuro
Ex.1.15. Um indivíduo deposita no início de
cada mês 1000€ durante 60 meses.
– As prestações são antecipadas
Supondo que a taxa de juro é de 4% ao ano,
determine o valor futuro total das parcelas
poupadas (i.e., quanto dinheiro terá no fim
dos 60 meses)?
99
Valor Futuro
O valor futuro de 1000€ depositados no início
do mês i é
( 60i 1) /12
VFi  1000.(1  4%)
O valor futuro total valerá
60

VF   1000(1  4%)( 60i1) /12

i 1
que, resolvido no Excel, resulta em 66395.68
€.
100
Valor Futuro
C2: =B2*(1+4%)^((60-A2+1)/12) e copiava em coluna
C62: =Soma(B2:B61)]
101
Desconto
• Sendo que capitalizar é andar para a
frente no tempo
• Descontar é andar no tempo para trás
• É, na taxa de juro capitalizada de forma
composta: itotal = (1 + i)n - 1, assumir um
número negativo de anos
102
Desconto = Valor passado
• Em termos económicos, pode traduzir o
valor passado de uma quantidade de
dinheiro presente
– Eu recebi hoje 1000€ de um valor que
emprestei há 10 anos a 4% ao ano. Qual o
capital que eu emprestei?
103
Desconto = Valor actual
1000 V .(1  4%)10  V  1000.(1  4%)10
 V  675.56€
• Também pode traduzir o valor actual (no
presente) de uma quantidade de dinheiro
que vou ter disponível no futuro
104
Desconto = Valor actual
• No meu emprego, vão-me dar de prémio 100€,
pagos daqui a 10 anos.
• Para uma taxa de juro de 6% ao ano, esses
100€ de daqui a 10 anos valem no presente
100€ x 1.06–10 = 55.84€.
105
Desconto = Valor actual
• Ex.1.16. Um estudante, quando terminar o
curso, vai receber de umas tias um prémio
de 10000€. Supondo que pensa terminar
o curso daqui a 30 anos e que a sua taxa
de desconto é de 5% ao ano, qual será o
seu valor actual?
106
Desconto = Valor actual
V  10000.(1  5%)
30
 V  2313.77€
• Posso “vender” este activo e receber no
presente 2313.77€ (a outra pessoa que
tenha uma taxa de desconto <=5%).
107
Desconto = Valor actual
• Ex.1.19. Um indivíduo depositou num
banco em 1940 uma soma. Sendo que
esse banco devolveu 1milhão€ em 2008,
qual terá sido a soma depositada?
108
Desconto – Valor actual
V  1000000.(1  3.5%)
68
 V  96395.38€
• R. Descontando 1milhão€ para 1940,
temos = 96395.38€.
109
Desconto = Valor actual
• Ex.1.18. Um sortudo ganhou numa lotaria
um prémio e deram-lhe a escolher receber
350k€ agora ou 1000€ no fim de cada
mês dos próximos 50 anos.
• Determine a taxa de juro implícita nesta
opção
110
Desconto = Valor actual
R. Vou descontar cada um dos 1000€ ao
presente, somá-las todas e aplicar a
ferramenta atingir objectivo.
111
Desconto = Valor actual
B2: =(1+B1)^(1/12)-1; B6: =B$3;
C6: =B6*(1+B$2)^-A6; C4: =SOMA(C6:C605)
112
Desconto = Valor actual
Goal Seek = Atingir Objectivo
Menu Data+ Data Tools + what if analysis
113
Sexta Aula
12 Outubro 2010
114
Pagamento da dívida
Rendas / amortizações
115
Rendas
• Já consideramos duas possibilidades para
o pagamento da dívida.
• 1) Os juros são pagos periodicamente e o
capital é pago no fim do prazo contrato.
• 2) O capital mais os juros são pagos no
fim do prazo contrato.
116
Rendas
• Vamos explorar uma outra possibilidade
• É paga uma prestação em cada período
• No final do prazo não há mais nada a
pagar
– Cada prestação contêm juros e amortização do
capital
• Denominamos este plano como uma
Renda
117
Rendas
• Uma renda transforma uma determinada
soma de dinheiro num rendimento.
• Um stock num fluxo
118
Rendas
• As prestações podem ser
– regulares ou irregulares no tempo
– constantes ou variáveis no valor
– haver ou não diferimento de alguns
períodos
– terem duração limitada ou serem
perpétua
119
Rendas
• Emprestamos um capital que recuperamos na forma
de uma renda
– e.g., saiu-nos a lotaria e queremos um rendimento mensal
• Pedimos um capital que pagamos na forma de uma
renda
– e.g., um crédito à habitação que amortizamos mensalmente
• Pagamos uma renda que recebemos no final na
forma de um capital
– e.g., depositamos uma quantia mensal para comprar um barco a
pronto no futuro
120
Rendas
• Recebemos uma renda que pagamos no fim na
forma de um capital
– e.g., termos um rendimento mensal à custa de uma
herança que vamos receber no futuro
• Receber uma renda que pagamos na forma de
renda
– e.g., pagamos os estudos com um financiamento
mensal que amortizamos no futuro com uma
prestação mensal.
121
Rendas
• Obtemos o valor actual da renda
descontando todos os recebimentos ao
instante de tempo presente.
• Para efeito de comparação, podemos usar
outro instante de tempo qualquer mas tem
que ser o mesmo para todas as
prestações
122
Rendas
• Temos que clarificar o que é
– um instante de tempo e
– um período de tempo
• O tempo é uma linha contínua
123
Rendas
• Cada ponto é um instante de tempo
– e.g., às 12h00 do dia 15 de Janeiro de 2010.
• Um intervalo de tempo é o segmento que
medeia dois instantes de tempo,
– e.g., o semestre que medeia entre as 12h00 do dia
15 de Janeiro de 2010 e as 12h00 do dia 15 de
Julho de 2010.
• O instante final de um período é sempre o
instante inicial do período seguinte.
– e.g. o fim de 2010 é igual ao início de 2011.
124
Rendas
• Ex.1.21.No sentido de se licenciar, um
estudante necessita uma renda antecipada cuja
prestação mensal é de 300€/mês e a duração
de 36 meses. Supondo uma taxa de juro de
5%/ano, utilize o Excel para calcular o valor
actual dessa renda
125
Rendas
B4: =B$2
C4: =B4*(1+B$1)^-((A4-1)/12) e copiava
C40: =SUM(C2:C37).
Em vez de calcular a taxa de juro mensal, utilizei partes
fraccionadas nos anos, (A4-1)/12.
126
Rendas
• Ex.1.22. O Jardel, aos 26 anos de idade,
ganhava 300mil€ por mês.
• Poderia ter constituído um depósito de 1.5
milhões de euros e
• Receber, a partir dos 35 anos, 600
prestações mensais de 10000€ cada.
• Determine a taxa de juro implícita.
127
Rendas
•
•
•
•
F2: =(1+F1)^(1/12)-1
C2: =B2*(1+$F$2)^-(A2-A$2) e copiava até C602;
F3: =Soma(C2:C602).
Definir F3 para atingir o valor 0 por alteração da
célula F1.
128
Rendas
• Ex.1.23. Uma família adquiriu uma
habitação mediante um empréstimo
bancário de 150mil€ à taxa de juro de
5.5% anual a 50 anos. Qual a prestação
mensal a pagar?
720.29€ / mês
129
Rendas
130
Rendas
• Na coluna A estão os meses, na B as
quantias recebidas, na C as quantias
descontadas ao presente
• B2: =E$3; C2: =B2/(1+$E$1)^A2 e depois
copiamos ambas em coluna.
• C603: =Soma(C2:C602); E1: =(1+E2)^(1/12)–1.
• Usava a ferramenta “atingir objectivo” definindo
C603 para 0 por alteração de E3.
131
Conta corrente
• Ex.1.25. Vou referir cada prestação a um
instante de tempo.
• Uns poupam, em média, 325€/mês para dar
750€/mês ao filho quando for para a
universidade. Numa folha de Excel lancei a data
e os movimentos (colunas A e B).
• A taxa de juro quando o saldo é negativo (taxa
de juro activa) é de 5%/ano e quando os saldo é
positivo (taxa de juro passiva) é de 2%/ano.
132
Conta corrente
C2: =B2 D2: =(A3-A2)/365 E2: =C2*((1+SE(C2>0;J$3;J$2))^D2-1)
F2: =C2+E2
C3: =B3+F2 e copiava em coluna
B84=-F2
133
Sétima Aula
14 de Outubro 2010
134
Renda perpétua
• Numa renda perpétua,
prestação para sempre.
recebe-se
uma
• Sendo a taxa de juro i e os recebimentos no fim
de cada período (i.e., postecipada), é uma
situação idêntica a um depósito em que no fim
de cada período, são pagos apenas os juros
135
Renda perpétua
• Como os juros de cada período valeriam
J = Vi
Com P e i podemos determinar o valor da renda
(ou da taxa de juro implícita com P e V)
P = prestação, i = tx.juro, V = valor actual da renda
P
P  V i  V 
i
P
 i
V
136
Renda perpétua
• Ex.1.26. Um agricultor arrendou um
terreno por 50€/mês para sempre.
Supondo uma taxa de juro de 5% ao ano,
qual será o valor presente do terreno?
137
Renda perpétua
• R.mensal = (1+5%)^(1/12)-1 = 0.407%
• V = 50 / 0.407% = 12278.58€
138
Renda perpétua
• Ex.1.27. Um eucaliptal produz, a cada 10
anos, 12kg/m2 de madeira. Supondo um
preço de 0.03€/kg de madeira e uma taxa
de juro de 3%/ano, qual será o valor
actual do eucaliptal?
139
Renda perpétua
• R. Calculo a taxa de juro por 10 anos,
(1+3%)^10–1= 34.392%, e aplico essa
taxa na expressão da renda perpétua
postecipada:
• V = (120.03)/34.392% = 1.05€/m2.
140
Renda perpétua
• Se a renda for antecipada (a prestação é
paga no princípio do período), teremos
que somar a prestação inicial
P
V  P
i
P
 V  (1  i )
i
141
Renda perpétua
• Se houver deferimento de n períodos
(tempo em que não é paga prestação), a
renda terá que ser descontada
P
n
V  (1  i )
i
• Só se começa a receber daqui a n+1
períodos pois a expressão p/i é para a
renda postecipada
142
Renda perpétua
• Ex.1.29. Uma obrigação com o valor
nominal de 100€ paga trimestralmente 1€
de cupão e o par (i.e., os 100€) mais o
cupão do trimestre final ao fim de 10 anos.
Determine a taxa de juro desta obrigação.
143
Renda perpétua
R. Como no fim do prazo recebemos o par,
aplicamos simplesmente
V = P/i  i = P/V = 1/100 = 1%/trimestre
i = (1 + 1%)^4-1 = 4.06%/ano
Podemos confirmar no Excel que receber o Par
no fim do prazo permite utilizar a expressão
da Renda Perpétua
144
Renda de duração limitada
• Com o conhecimento da expressão da
renda perpétua
– Há quem lhe chame perpetualidade
• Podemos calcular o valor de uma renda
de duração limitada
• Compondo duas rendas perpétuas: uma a
somar e outra a subtrair
145
Renda de duração limitada
• Recebemos a prestação R entre o presente e o
período N (postecipada).
• É equivalente a receber uma renda perpétua a
começar agora e
• pagar uma renda perpétua a começar no
período N,
• Descontado tudo ao presente.
146
Renda de duração limitada
P P
P
N
N
V   (1  i )  [1  (1  i ) ]
i
i
i
Se a renda for paga no princípio do
período (i.e., antecipada)?
Teremos que somar uma parcela.
Descontar menos um período
147
Renda de duração limitada


P
 ( N 1)
V  P  1  (1  i)
i
 ( N 1)
(1  i)  (1  i)
P
i
P
N
  1  (1  i)  (1  i)
i


148
Renda de duração limitada
• Ex.1.30. Um agricultor arrendou um
terreno por 50€/mês, pago no fim do mês,
até que o TGV lhe destrua o terreno (i.e.,
daqui a 25 anos). Supondo uma taxa de
juro anual de 5%, qual será o valor
presente do terreno?
149
Renda de duração limitada
• Já não preciso do Excel
r = (1+5%)^(1/12)-1 = 0.407%
V = 50/0.407% x (1 – 1.00407–300)
= 12278.58€ x 0.7047 = 8648.45€
• Mas podemos usá-lo para verificar
150
Renda de duração limitada
C2: =B2*(1+$D$2)^-A2
C302=sum(C2:C301)
151
Oitava Aula
19 Outubro 2010
152
Renda de duração limitada
• Ex.1.31. o Figo, entre os 25 e os 35 anos,
depositou 100mil€/mês (i.e., 120 prestações).
• Com essa poupança vai receber uma renda de
valor fixo entre os 35 anos e os 85 anos (600
prestações).
• Para uma taxa de juro anual de 3%, quanto vai
receber por mês?
153
Renda de duração limitada
• Vamos usar como instante de referência os 25
anos (acabados de fazer)
• Vamos somar
– Duas rendas de duração limitada
– Ou quadro rendas perpétuas
Nota: Sem perda, vou usar anos para descontar e
meses para a renda
154
Renda de duração limitada
O resultado estava errado
100m il
1  (1  0.247%)^120(1  0.247%)^120 
0.247%
x
1  (1  0.247%)^600

0.247%
100m il1  (1  0.247%)^120(1  0.247%)^120

x
1  (1  0.247%)^600
 44,555€ / m ês
155
Obrigações a taxa fixa
• Uma obrigação de taxa fixa consiste num
activo que condensa uma entrega inicial e
recebimentos futuro.
• Recebe-se o “cupão” ao longo do tempo e
o “par”) na remissão
• O valor da obrigação é o valor actual dos
recebimentos futuros
– Altera-se com o decorrer do tempo e da tx.jr
de mercado
156
Obrigações a taxa fixa
• Ex.1.33. Uma obrigação a 10 anos de
valor nominal de 100€ reembolsável ao
par (i.e., serão pagos 100€ daqui a 10
anos) cupão sero, vai ser vendida em
leilão.
• Para uma remunerado a uma taxa média
de 7.5%/ano, qual o preço máximo que o
investidor está disponível a pagar?
157
Obrigações a taxa fixa
• Vamos descontar os 100€ ao presente:
10
V  1001.075
 48.52€
158
Obrigações a taxa fixa
• Passados 5 anos, qual será o valor da
obrigação?
• Se o mercado justificar um aumento da
taxa de juro em um ponto percentual, qual
a desvalorização da obrigação?
159
Obrigações a taxa fixa
• Já só faltam 5 anos para receber os 100€
5
V  1001.075  69.66€
• O aumento da taxa de juro desvaloriza a
obrigação em 4.5%
5
V  1001.085  66.50€
160
Obrigações a taxa fixa
• Se o investidor adquiriu a obrigação a
45€, qual a taxa de juro que pensava
receber?
• E qual será se vender a obrigação depois
da desvalorização?
161
Obrigações a taxa fixa
• A taxa de juro prevista era
V  100(1  i)
10
 45€  i  8.31%
• E passou a ser
5
V  66.50(1  i )  45€
66.50 / 45  (1  i ) 
5
i  (66.50 / 45)
1/ 5
 1  8.13%
162
Nona Aula
21 Outubro 2010
163
Obrigações a taxa fixa
• Ex.1.34. Uma obrigação soberana (i.e.,
emitida por um Estado) a 50 anos emitida
em 2010 cujo par é 1000€ paga um cupão
anual de 25€ postecipado e o par mais o
cupão no fim do prazo.
• Qual a taxa de juro da obrigação se for
adquirida ao par?
164
Obrigações a taxa fixa


25
50
50
 1  (1  r )
 1000  1  r   1000
r
• Podemos simplificar a expressão obtendo
uma renda perpétua:




25
25
50
50
 1  (1  r )
 1000  1  (1  r )
r
r
1000
165
TAEG implícita no contrato
• TAEG – Taxa anual efectiva global
• Actualmente, é obrigatório nos anúncios
(de venda a crédito) que seja afixado o
preço a pronto pagamento e a taxa de juro
implícita efectiva calculada com todas as
despesas a incorrer pelo cliente (global)
166
TAEG implícita no contrato
• Ex.1.34. Um televisor (ppp de 1190€), a
crédito “paga na entrega 119€ mais 12
prestações trimestrais de 100€. Tem que
pagar no fim do primeiro ano mais 50€”.
• Determine a TAEG deste contrato de
crédito.
167
TAEG implícita no contrato
• Podemos indicar algebricamente o resultado
(1  (1  i) 12 )
1190 119 100
 50(1  i) 4  0
i
• Mas o mais fácil é determina-lo no Excel
168
TAEG implícita no contrato
169
TAEG implícita no contrato
B2: = 1190-119; B3: 100; B6: -150
C2: =B2*(1+E$2)^(-A2) e copiar em coluna.
C15: =Soma(C2:C14)
Definimos a célula C15 para o valor 0
alterando E2.
• Se a EURIBOR for 5.5%/ano, qual é a
probabilidade de incumprimento implícita
neste contrato de crédito?
170
TAEG implícita no contrato
1  10.386%  (1  5.5%) /(1  p)
 (1  p)  (1  5.5%) /(1  10.386%)
 p  4.879%
171
TAEG implícita no contrato
• Ex.1.36. Um anúncio dizia
“Telefone que lhe emprestamos 5000€ por
apenas 150€ mensais (durante 60 meses,
TAEG=29.28%)”.
• Confirme a TAEG.
172
TAEG implícita no contrato
R
N
V  [1  (1  i ) ]
i
150
 60
 5000
[1  (1  i ) ]
i
150
 60
 5000
[1  (1  i ) ]  0
i
Tem que se determinar no Excel
173
TAEG implícita no contrato
i  2.175%  ianual  (1  i) 1  29.46%
12
174
Preços correntes e constantes
175
Preços correntes e constantes
• A inflação (i.e., a subida generalizada dos
preços dos bens e serviços) não tem
efeito na afectação dos recursos
escassos.
• Apenas a alteração dos preços relativos
tem efeito.
176
Preços correntes e constantes
• O aumento dos preços é calculado para
um cabaz de bens e serviços, sendo um
valor médio (pesos de 2005).
Rúbricas\ano
Habitação
Alimentação
Vestuário
Transportes
Preço médio
2005
345 €
641 €
245 €
145 €
351 €
2006
367 €
654 €
240 €
162 €
364 €
2007
389 €
663 €
243 €
178 €
379 €
2008
372 €
669 €
247 €
182 €
375 €
2009 Pesos
339 €
40%
652 €
21%
251 €
22%
163 €
17%
355 €
B6: =B2*$G$2+B3*$G$3+B4*$G$4+B5*$G$5
177
Preços correntes e constantes
• Nesse sentido, calcula-se quanto o cabaz
custava então e compara-se com quanto
custa agora.
• Esse preço é normalizado a valer 100 no
ano base (ou 1 ou 1000). B7: =B6/$B$6*100
Rúbricas\ano
2005
2006
2007
2008
2009 Pesos
• Habitação
345 €
367 €
389 €
372 €
339 €
40%
Alimentação
Vestuário
Transportes
Preços
IPC
641 €
245 €
145 €
351 €
100,00
654 €
240 €
162 €
364 €
103,79
663 €
243 €
178 €
379 €
107,80
669 €
247 €
182 €
375 €
106,67
652 €
251 €
163 €
355 €
101,22
21%
22%
17%
178
Preços correntes e constantes
• Em teoria, o índice de preços refere-se a
um instante de tempo
• Mas não é possível medir todos os preços
no mesmo instante
• Então, é um valor médio do período
IP20002010 = preço médio em 2010 na base 2000
179
Preços correntes e constantes
• O “preço médio” normalizado denominase por Índice de Preços no Consumo,
havendo outros índices de preços
– índice de preços na produção
– índice de preços dos mais pobres
– índice de preços do interior norte
– índice de preços na construção
– Etc.
180
Preços correntes e constantes
• Os preços dos bens ou serviços
observados no dia a dia denominam-se de
“preços correntes” (ou “preços nominais”)
e variam ao longo do tempo.
• E.g., há um ano a gasolina custava
deferente do que custa agora.
181
Preços correntes e constantes
• Os preços corrigidos da inflação
denominam-se de “preços constantes” ou
“preços reais”.
182
Preços correntes e constantes
• Para transformar preços correntes em
preços reais utilizamos o índice de preços.
• Temos os preços correntes do período J,
PJ, que queremos em preços reais com
base no ano T, PTJ
• PJ  PTJ
183
Preços correntes e constantes
• PJ  T, PTJ
• Teremos os índices de preços
períodos na mesma base (e.g., T)
• IP período T no ano base T, IPTT e
• IP período J no ano base T, IPTJ
dos
184
Preços correntes e constantes
• Transformamos PJ  PTJ
• multiplicando o preço corrente pelo índice
de preços do período T, IPTT, e dividindo
pelo índice de preços do período J, IPTJ:
IPT T
PT J  PJ 
IPT J
• Não interessa a base do IP pois dá-se
uma mudança de base.
185
Décima Aula
26 Outubro 2010
186
Preços correntes e constantes
• Ex.1.37. O preço de um frigorífico
diminuiu de 178.50€ em 2006 para
169.90€ em 2010. Com
IP20052006 = 101.61
IP20052010 = 102.86
Quais os preços na base 2005?
Qual o preço de 2005 na base 2010?
Qual foi a variação em termos nominais e
reais do preço?
187
Preços correntes e constantes
• R. em 2005 o IP vale 100 porque é o ano
base
• P20052006 =178.50100/101.61 = 175.67€
• P20052010 =169.90100/102.82 = 165.24€
• Para 2010 ocorre mudança da base
• P20102006 =178.50102.82/101.61
= 180.73€
188
Preços correntes e constantes
• Em termos nominais temos
169.90/178.50 –1 = – 4.77%
(169.90 – 178.50)/178.50 = – 4.77%
Em termos reais temos
Variação = 165.24/175.77 –1 = –5.98%
Var. média anual (1–5.98%)^(1/4) –1
= –1.53%/ano
189
Preços correntes e constantes
• Podíamos usar outro ano base qualquer
• E.g, 2010
Variação = 169.90/180.73 –1 = –5.98%
190
Preços correntes e constantes
• Ex.1.38. O salário mínimo em 1974 era de
16,46€ e em 2010 é de 475,00€.
• IPC20001974 é 4.003 e
• IPC20002010 é 126,62.
• compare, em termos reais (de 2010), o
poder aquisitivos do SM nesses dois anos
e a taxa de variação anual em termos
nominais e reais.
191
Preços correntes e constantes
• Se quiséssemos comparar em termos
de preços reais do ano 2010 fazemos
• os 16.46€ de 1974 valem a preços de
2010
126 ,62
• SM20101974= 16.46  4.003 = 520,65€
• Que é maior que os actuais
• SM20102010 = 475€
192
Preços correntes e constantes
• R. Relativamente à taxa de variação, no
espaço de 36 anos, em termos nominais o
SM aumentou
(475/16.46)^(1/36)–1 = 9,79%/ano
• em termos reais, diminuiu
(15.02/16.46)^(1/36) –1 = –0,25%/ano.
193
Preços correntes e constantes
• A taxa de inflação é calculada pelo INE
com base no IPC e tem periodicidade
mensal.
• Taxa de inflação homóloga – compara o
IPC do mês corrente com o IPC do mês
igual do ano anterior.
• Taxa de inflação média – é a média das
12 taxas de inflação homóloga.
•
194
Preços correntes e constantes
• Taxa de inflação acumulada – é a
variação percentual do IPC desde o
princípio do ano.
• A taxa de inflação mensal anualizada –
é a variação percentual entre o IPC no
mês anterior e o IPC no mês actual
anualizada: (1+π)12-1.
• A taxa de inflação em cadeia – é a taxa
de inflação mensal (ou trimestral) sem
anualizar
195
Preços correntes e constantes
• Se, por exemplo, em Março de 2005 o IPC
valia 128.7 e em Março 2006 passou a
valer 131.4,
• então a taxa de inflação homóloga de
Março entre estes dois “instantes” foi de
131.4/128.7 – 1 = 2.1%.
196
Preços correntes e constantes
• Interessará retirar a inflação da análise de
equivalência das somas de valores
dinheiro obtidas em instantes de tempo
diferentes.
• E.g., precisamos saber se a renda de
60mil€ mensais dará ou não para comprar
alguma coisa quando o Figo tiver 85 anos.
197
Taxa de inflação
• Como a taxa de inflação é calculada com
o índice de preços, podemos utilizá-la na
transformação de preços correntes em
preços reais
• Ou mesmo refazer o IPC
p
T n
T
p
T 1
 1   T   1   T 1   ... 1   T n1 
1
1
1
198
Taxa de inflação
• Sendo IPT e, IPT+1
os índice de preços no período T e T+1,
respectivamente
• Também calculamos a taxa de inflação
durante o período T+1, T+1 , por:
IPT 1  IPT IPT 1
 T 1 

1
IPT
IPT
199
Taxa de inflação
• Se, por exemplo, em 2005 o IPC valia
128.7 e em 2006 valia 131.4, então a taxa
de inflação em 2005 foi de
131.4/128.7 – 1 = 2.1%.
Neste exemplo, 128.7 refere-se à média do IPC de Jan.,
Fev., …, Dez. de 2005
200
Décima primeira
Aula
28 Outubro 2010
201
Preços correntes e constantes
• Se o preço corrente de um bem em 2006
foi de 150€, podemos saber a quanto
correspondia em 2005 em termos reais
(constantes) descontando este preço com
a taxa de inflação
• O preço do bem, a preços de 2005, seria
p
2006
 150 1  2.1%  146.92€
1
2005
202
Preços correntes e constantes
• O preço de um bem era p2005 = 1.25€ e
passou para p2006 = 1.30€.
Sendo que em 2005 a inflação foi de
2.1%, em termos reais, será que o preço
deste bem aumentou (em termos reais)?
203
Preços correntes e constantes
• O preço, em termos reais, aumentou
1.86%:
p2005 2006 1.30 1  2.1%  1.273€
1
1.273/ 1.250 1  1.86%
204
Preços correntes e constantes
• Para transformar preços correntes do
período T+n em preços constantes em
referência ao período T, sabida a taxa de
inflação para cada um dos n–1 períodos,
temos:
pT (T  n)  p(T  n)  1  T 1  ... 1 T n 
1
1
205
Preços correntes e constantes
• Como a taxa de inflação é calculada “em
cadeia”, a partir do Índice de Preços:
p
J
T
IPT
p 
IPJ
J
• Memorizar que se o IPC aumenta, o preço
real diminui.
206
Salário Mínimo Nacional
A preços correntes e constantes
207
Salário Mínimo Nacional
A preços correntes e constantes
E3: =C4*$B$4/B4;
F3: =D4*$B$36/B4
E copiava ambas as expressões em coluna
208
Preços correntes e constantes
• Ex.1.42. No exercício 1.31, vimos que o
planeamento da reforma do Figo se traduz
numa prestação mensal a preços
correntes de 44665€ até aos 85 anos.
• Prevendo-se uma taxa de inflação de 2%
ano,
• i) Determine a preços constantes de
agora, qual será o valor desse prestação
(faltam 50 anos).
209
Preços correntes e constantes
• Vamos descontar 44665€ ao presente
com a taxa de inflação de 2%/ano como
taxa de desconto:
R  44665 (1  2%)
•
50
 16594€
Em termos reais, corresponde a apenas
37% do valor nominal.
210
Preços correntes e constantes
• Ex.1.42.ii) Supondo as mesmas entregas,
determine um plano de reforma que
mantenha o poder aquisitivo (igual em
termos reais).
211
Preços correntes e constantes
• Posso fazer a análise
• a “preços correntes” aumentando as
prestações na taxa de inflação prevista
• Ou a “preços constantes” retirando a taxa
de inflação da taxa de juro nominal
• Este “nominal” não é o mesmo conceito de quando
falamos de capitalização
212
Preços correntes e constantes
• Fazemos a análise a preços reais
retirando a taxa de inflação da taxa de juro
nominal. A taxa de juro real mensal é
0.0813%= ((1+3%)/(1+2%))^(1/12)-1.
x
 600
(1  1.000813 )  13945
0.0008135
13945 0.000813
x
 x  29453,05€
 600
1  1.000813
213
Preços correntes e constantes
• A “preços correntes”, uso o Excel:
214
Preços correntes e constantes
• B3: =$E$1*(1+$E$4)^A3;
• C3: =B3*(1+$E$5)^-A3 e depois copiamos
em coluna;
• C603: =Soma(C2:C602) e usamos a
ferramenta “Atingir objectivo”, definir a
célula C603 para o valor 0 por alteração
da célula E1
215
Preços correntes e constantes
• Eu ter retirado a taxa de inflação à taxa de
juro nominal (“preços constantes”) e deu o
mesmo resultado
216
Compatibilização de tramos da
série com diferentes bases
• Com o acesso a fontes diferentes de
informação e com o decorrer do tempo, as
séries de preços mudam de base.
• Nessa alturas, o índice sofre uma quebra
porque salta do valor do antigo tramo da
série para 100 e são alterados os pesos
relativos dos grupos agregados no índice
(a representatividade de cada grupo no
índice).
217
Compatibilização de tramos da
série com diferentes bases
• Quando é preciso utilizar o número índice ao
longo de todos os períodos, torna-se necessário
compatibilizar os vários tramos da série à
mesma base.
• A redução não é uma mudança para a mesma
base porque não se tem em consideração que
existem alterações dos ponderadores mas
permite fazer uma transição suave entre os
vários tramos da série.
218
Compatibilização de tramos da
série com diferentes bases
• No sentido de tornar possível a
compatibilização dos tramos, estes
sobrepõem-se (pelo menos) durante um
período.
• Temos que usar os períodos de
sobreposição para calcular o valor do
“salto” em termos relativo entre as séries e
reduzi-lo a zero. Vejamos um exemplo de
uma mudança de base.
219
Compatibilização de tramos da
série com diferentes bases
220
Compatibilização de tramos da
série com diferentes bases
• Ex.1.46. A série do IPC do banco mundial
WB2008 (base o ano 2000) vale 4.00 para
1974 e vale 108.10 para 2002, e
• a série do INE (base o ano 2002) vale
116.187 para 2009 (media até abril),
compare, em termos reais, o salário
mínimo de 1974 (16.46€/mês) com o SM
actual (450.00€/mês).
221
Compatibilização de tramos da
série com diferentes bases
• R. Há uma salto em 2002 entre as séries
pelo que o valor da série do INE
compatibilizado ao da série do Banco
Mundial será 116.19108.10/100 =
125.60. O valor a preços de 2009 dos
16.46€/mês será 16.46125.60/4.00 =
516.84€/mês.
222
Décima segunda
Aula
223
Análise de investimentos
224
Análise de investimentos
• um investimento é uma entrega de
recursos em períodos mais próximos do
presente que permite ter recebimentos
mais afastados para o futuro
225
Análise de investimentos
• Teremos uma contabilização das entregas
e dos recebimentos
• com referência a um mesmo instante de
tempo.
• Será necessário capitalizar uns valores e
descontar outros
226
Análise de investimentos
• Sendo que a análise é financeira,
interessa saber as entregas e os
recebimentos em dinheiro (i.e., saber o
cash flow)
227
Valor actual líquido
• No Valor Actual
• Agregar todas as parcelas ao instante
presente, descontadas ao presente
• É Liquido porque se amortiza o Capital
228
Valor actual líquido
• Apesar de não haver um horizonte
temporal de encerramento
• O risco aconselha a usarmos um
horizonte temporal limitado.
– 5 anos
– 10 anos
– 25 anos
– 50 anos
229
Valor actual líquido
• Ex.1.50. Num investimento são previstas
entregas e recebimentos (k€):
i) Somando as entregas e os recebimentos qual
o saldo do investimento?
230
Valor actual líquido
• O saldo seria de 175 mil€
• ii) Determine, para uma taxa de
remuneração do capital de 10%, qual será
o Valor Actual Líquido deste investimento
231
Valor actual líquido
• O VAL será de 2921€
• B5: =B4-B3; B6: =B5*(1+$B$1)^-B2 e depois
copiar em linha; B7: =Soma(B6:L6).
232
Valor actual líquido
• A taxa de juro usada é elevada porque
– os recebimentos são incertos
– as entregas são certas
• A taxa de juro contém o risco do negócio
– o VAL do investimento é comparável a um
activo sem risco (e.g., depósito a prazo).
• Para investimentos diferente, a taxa de
juro será diferente.
233
Taxa interna de rentabilidade
• Quantifica a taxa que torna o VAL igual a
zero.
• Estando o modelo implementado no
Excel, determina-se a TIR facilmente com
a ferramenta “Atingir objectivo”.
234
Taxa interna de rentabilidade
235
Q de Tobin
• O q de Tobin é uma medida relativa que
incorpora o risco de cada investimento
– Uma mistura de VAL com TIR
• Calcula-se pelo quociente entre o valor
actual dos recebimentos e o valor actual
dos investimentos
– Terá que ser maior ou igual a 1
236
Q de Tobin
• B8: =B3*(1+$B$1)^-B$2 e copiava
• B10: =SOMA(B9:L9)/SOMA(B8:L8)
237
Exercícios de recapitulação
e
Dúvidas
238
Exercício -1
• Suponha que empresto 1000€.
– A inflação (prevista) é de 2.5% / ano
– O juro real (acordado) é de 2.0% / ano
– O risco de não cobrança é de 7.0% / ano
• i) Quanto devo pedir de taxa de juro?
239
Exercício -1
A taxa de juro seria de10.41%:
i = (1+ 0.025) x (1 + 0.02) / (1 – 0.07)
i =11.869%
ii) Se acordar receber os 1000€ em 12
prestações trimestrais caindo a primeira
depois de decorridos 2 anos do empréstimo,
de quanto deve ser a prestação?
240
Exercício -1
A renda é antecipada


P
N
. 1  (1  i ) .(1  i )
i
E começa daqui a dois anos


P
N
8
. 1  (1  i ) .(1  i ).(1  i )
i
A taxa de juro trimestral é (1+11.869)0.25 -1 = 2.8435%
241
Exercício -1


P
12
7
1  1.028435  1.028435  1000
0.028435
P  121.11€
242
Exercício -1
243
Exercício -2
• Emprestando 25M€, a 5 anos à taxa de
4% / ano. A meio do prazo, recebo 5 M€.
Qual o capital final que vou receber?
244
Exercício -2
• O capital final a receber será de
25000.(1 + 4%)5 - 5000 .(1 + 4%)2.5 =
= 24901,22€.
[25000.(1 + 4%)2.5 - 5000] .(1 + 4%)2.5 =
= 24901,22€.
245
Exercício -3
• Vou receber 1000€ daqui a 10 anos. Para
uma taxa de juro de 4€/ano, qual o valor
actual dessa soma?
246
Exercício -3
• R. O valor dos 1000€ no presente resolve:
1000 (1  4%)
10
 675.56€
247
Exercício -4
Um indivíduo deposita, durante 40 anos,
100€/mês para receber uma reforma
mensal durante 15 anos.
Supondo que a taxa de juro é de 4% ao ano
e a inflação de 2.5%, determine o valor da
reforma a preços correntes e a preços
constantes de agora.
248
Exercício -4
Vou somar quatro rendas perpétuas ou
duas de duração limitada:




100
R
 480
180
 480
. 1  (1  i )
 . 1  (1  i )
(1  i )
0
i
i

1  (1  i) 
R  100.
1  (1  i) (1  i)
480
180
 480
249
Exercício -4
A preços correntes, i = 0,374%/mês
R = 854.67€ /mês
A preços reais, i = [(1+4%)/(1+2.5%)]1/12 -1
i = 0,0125%/mês
R = 277.90€/mês
250
Exercício -5
• Num investimento de 1000€ prevê-se que
as vendas aumentem 25% ao ano e que o
custo das vendas sejam 60%.
• As amortizações são constantes a 5 anos
• Calcule o VAL e a TIR
251
Exercício -5
252
Exercício -5
253
Exercício -5
D6: =C6*(1+$B$1)
C7: =C6*$B$2
C8: =C6-C7
C9: =$B$3/5
C10: =C8-C9
C11: =C10*25%
C12: =C10-C11
C13: =C12+C9
C14: =C13*(1+$B$4)^(-C5)
B15: =SOMA(B14:G14)
254
Exercício -5
• Aplico agora o modelo para determinar a
TIR
255