Resoluções de equações
Métodos iterativos
Análise Numérica
MIEC
Cálculo da Raíz

Método da Falsa Posição

Método de Newton-Raphson

Método da secante

Método do ponto fixo
2
Análise Numérica - Métodos iterativos
Método da Falsa Posição
Método de Newton-Raphson
xn1  xn  f xn 
( xn   )
x
f ( xn )  f (  )
1

f  xn 
3
Análise Numérica - Métodos iterativos
Método de Newton-Raphson
Graficamente

Substitui a função pela tangente à função
em x0
f>0
X1
... ?
4
x0
x
x1 x2x3
Análise Numérica - Métodos iterativos
x0
Método de Newton
condições suficientes de convergência

Dado f(x)=0, x∊a,b

Se
f  xn 
xn1  xn 
x
f  xn 

f  tem sinal constante em a,b
f ≠0 em a,b

x0 : f (x0)f (x0) > 0

5
Análise Numérica - Métodos iterativos
Método de Newton

f(x0)f(x1) > 0 e x1x0, x)
x
f″>0
x1
x0
x
x0 x1 x2x3
x0
x1
x
ou
6
f″<0
x0< x1< x2<...< x
x0> x1> x2>...> x
x
x1
x0
sucessão crescente
sucessão decrescente
Análise Numérica - Métodos iterativos
Método de Newton
Estimativa do erro

Usando a fórmula de Taylor, consegue-se
demonstrar que:
1 f  
2
x  xn 1   
 xn 1  xn    xn 1 , x ,   xn1 , xn 
2 f  
e
com
7
x  xn1
M2
2
xn1  xn 

2m1
M 2  max f x  e m1  min f x 
xa ,b 
Análise Numérica - Métodos iterativos
xa ,b 
Método de Newton
Ordem de convergência
x  xn 1
1 f  
2
 
 x  xn
2 f xn 

  x, xn 
C  0
Método de 2ª ordem

8
Converge se
1
 
2
f  
 x  xn  1
f xn 
Análise Numérica - Métodos iterativos
Método de 2ª ordem
Significado

xn  C (xn-1)2
 xn  C |x| ( xn-1)2
-log xn  -2 log xn-1 -log (C |x|)
quando
 log  xn  
desprezável
O ganho de algarismos significativos por iteração
é cerca do dobro da iteração anterior.
Nas proximidades da raiz xn tem praticamente o dobro dos a.s. de xn-1
9
Análise Numérica - Métodos iterativos
Método de Newton-Raphson
Um caso de instabilidade
f(x)=e-xsin(8x+0.7)-0.2
2
0.85
0.86
0.9
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
-1
10
-0.5
0
0.5
1
Análise Numérica - Métodos iterativos
1.5
2
Método da Falsa Posição
Um caso de instabilidade
f(x)=e-x sin(8 x+0.7) - 0.2
0.8
0.6
0.4
0.2
0
x4 x2
-0.2
xx13
-0.4
-0.6
-0.8
-1
11
0
0.5
Análise Numérica - Métodos iterativos
1
1.5