Resoluções de equações
Métodos iterativos
Análise Numérica
MIEC
Determinação das raízes

I – Separação

II – Estreitamento

III – Cálculo
2
Análise Numérica - Métodos iterativos
Onde está a raiz?

Separar as raízes

Dar tantos intervalos disjuntos
quantas as raízes, cada um deles
com uma só raiz.
•Analíticos
Métodos
– Números de Rolle
•Gráficos
3
Análise Numérica - Métodos iterativos
Método gráfico

Com a máquina f (x)=0
y = f(x)

Fazendo um esboço f ( x)  0  f1( x)  f2 ( x)
y = f1(x)
4
Análise Numérica - Métodos iterativos
y = f2(x)
Exercício
Separar as raízes de x lnx-1=0
1
x ln x  1  0  ln x 
x0
x
Domínio = 0,∞

A equação tem uma
única raiz
x∊1.5,2
5
Análise Numérica - Métodos iterativos
1
y
x
y  ln x
Números de Rolle

Teorema de Bolzano– Se f é contínua
em a,b e f(a) e f(b) têm sinais contrários
então:
 c  a, b : f c   0
•Se f(a)×f(b)<0, existe um número ímpar de
zeros de f em a,b
•Se f(a)×f(b)>0, existe um número par de
zeros de f em a,b
6
Análise Numérica - Métodos iterativos
Números de Rolle

Corolário de Rolle – Se f é contínua em
a,b e derivável em a,b e f(a)=f(b)=0 ,
então
 c  a , b : f c   0
.
Entre dois zeros consecutivos de f  há
no máximo um zero de f e, se há troca
de sinal, então existe um e um só zero.
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Análise Numérica - Métodos iterativos
Graficamente
y=f(x)
zero de f
a 
b
zero de f
8
Análise Numérica - Métodos iterativos
Números de Rolle:
 : f    0
 pontos sem

  pontos


Seja
 Se
fronteira do D
derivada 
 i 1   i
i :
Pontos ordenados
f i  f i 1   0
∄ x  i ,i 1 : f x  0
 Se
f i  f i 1   0
1 x  i ,i 1 : f x  0
9
Análise Numérica - Métodos iterativos
f



Estreitamento da raízes

Método das bissecções
sucessivas

Tentativas lógicas
10
Análise Numérica - Métodos iterativos
Método das bissecções
sucessivas

f
contínua em a,b e f(a)×f(b)<0

Em cada iteração
ab
c
2
1.
11
f(c)=0
c é o zero de f (pare)
2.
f(a)×f(c)<0
b=c
3.
f(a)×f(c)>0
a=c
Análise Numérica - Métodos iterativos
Método das bissecções
sucessivas

Erro
ba
cn  x  n
2
Desvantagens:
c1 está mais próximo de
x do que c2
c1 c2
12
O método aproxima-se
do zero de f sem que
tal seja detectado
Análise Numérica - Métodos iterativos
Tentativas lógicas
ab
c
2
Bissecções
c’
Tentativa lógica
c’
f3
c
a
b
f2
f1
13
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