Resoluções de equações
Métodos iterativos
Análise Numérica
MIEC
Método da secante
condições suficientes de convergência

Dado f(x)=0, x∊a,b
f ( xn )
xn  xn1   x
xn1  xn 
f ( xn )  f ( xn1 )

Se

f  tem sinal constante em a,b
f ≠0 em a,b

xi : f (xi)f (xi) > 0 para i=0 e 1

2
Análise Numérica - Métodos iterativos
Método da secante
Pode divergir
?
3
x1
x
x3
x2
Análise Numérica - Métodos iterativos
x0
Método da secante
Converge para x
x0
4
x1 x2 x3
x
Análise Numérica - Métodos iterativos
Método da secante
Ordem de convergência
1 f  
x  x n 1   
 x x n x  x n 1 
2 f  
com   x n 1 , x n , x ,   x n 1 , x n 
e
lim
xn
n xn 1
com
p
C
1 5
f  
p
 1.618 e C 
2
2f  
p 1
Método superlinear
5
Análise Numérica - Métodos iterativos
Método da secante
Ordem de convergência
 xn1  C  xn  xn1
O ganho de casas decimais (ou a. s.)
por iteração é quase igual à soma dos
ganhos das duas iterações anteriores
6
Análise Numérica - Métodos iterativos
Método Iterativo Simples.
(Método do ponto fixo)
f ( x)  0 

Fórmula de recorrência:
Dado
7
x   ( x)
x0
xn 1   ( xn )
Análise Numérica - Métodos iterativos
0    x   1
converge
monotonamente
y=x
y =  (x)
x0
8
x 1 x2 x1
x
x0
Análise Numérica - Métodos iterativos
 1    x   0
converge
alternadamente
y=x
y =  (x)
x1 x3 x2
x
9
Análise Numérica - Métodos iterativos
x0
x  1
diverge alternadamente
y =(x)
x1 x0
x
10
y=x
x2
Análise Numérica - Métodos iterativos
  x   1
diverge
monotonamente
y=x
y =(x)
x
11
x0 x 1 x2
x3
Análise Numérica - Métodos iterativos
Condições suficientes de
convergência (Teorema)

f , e  contínuas em I
q  max   x   1
xI
xn1   xn   x
x0  a, b  I
e x é o único zero de f(x)a,b.
12
Análise Numérica - Métodos iterativos
Condições suficientes de convergência
Demonstração
x   ( x)
xn1   xn 
x  xn1   x   xn 
   x  xn    x, xn   I
x  xn1     x  xn
13
 q x  xn
Análise Numérica - Métodos iterativos
Qual é o intervalo I?
  x, xn   I



se (a, ba, b
se 1 > (x > 0
se -1 < (x < 0
x1
a-(b-a)
14
Ia, b
Ia, b
Ia-(b-a), b+(b-a)
x
a ≡xo
x b ≡xo
Análise Numérica - Métodos iterativos
x1 b+(b-a)
Ordem do método
xn 1
lim
  x 
n  x
n

Se (x) =…= (k-1)(x) = 0 e (k)(x) ≠ 0
xn1  x  xn1
k

x
  x    xn    k    n
k!
  x, xn 
ordem k
15
Análise Numérica - Métodos iterativos
Caso do Método de Newton
f ( x)
 x   x 
f ( x)
f x   f x  f x  f x  f x 
 0

 x   1 

2
2
f  x 0
f x 
f x 
2
e
f x 
 x  
f x 
única parcela sem f(x)
Normalmente f(x)≠0 e o método é de 2ª ordem
16
Análise Numérica - Métodos iterativos
Uma boa fórmula de
recorrência.

Se q0 o método é rapidamente
convergente.
f ( x)  0    f ( x )  0
 0
 x  x    f ( x )   ( x)

?
(x)=0
1
 x   1    f x   0    
f ( x ) 0
f x 
17
Análise Numérica - Métodos iterativos
Algumas fórmulas
1
 
f x 
 
xn  xn1 
f ( xn )  f ( xn1 )
x1
x
x2 x4
x0 x1
x3 x0
Método de 1ª ordem
1
 
f xn 
Método da secante
Método de Newton
de 2ªordem
18
Ordem p=1.618…
(método superlinear)
Análise Numérica - Métodos iterativos