MATEMÁTICA
Prof. Leonardo
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CICLO TRIGONOMÉTRICO
CICLO TRIGONOMÉTRICO
1. Arcos e ângulos
Considerando uma
circunferência de centro O e
raio R e dois pontos distintos
A e B, os quais a dividem em
duas partes.
B
X
Os pontos A e B são as
extremidades do arco
AXB.
O ângulo AOB é chamado
de ângulo central, pois o
seu vértice está no centro
da circunferência.
Temos que:
O
med (AOB) = med (AXB)
A
2. Medidas de arcos e ângulos
Para se medir arcos e ângulos
usaremos as unidades grau e
radiano.
I.
Grau: Dividindo a
circunferência em 360 partes
iguais, cada um desses arcos
mede 1º.
II. Radiano: Um arco mede 1
radiano(rad) se o seu
comprimento for igual ao raio da
circunferência.
3. Comprimento de um arco
Dado um arco de comprimento L cujo o ângulo central
correspondente, EM RADIANOS, mede α, inscrito numa
circunferência de raio R, temos que:

  rad
R
Para se transformar um arco de grau para radiano e vice-versa
usamos a relação:
180  π rad
ou 180  3,14 rad
Exemplos:
1. Transformar em radianos:
a) 120º
1.a ) 180   r ad
120  x
120. 2 
x

r ad
180
3
b) 315º
1.b ) 1 80   r a d
3 15  x
3 15. 7 
x

r ad
1 80
4
2. Transformar em graus:
2
a)
rad
5
5
b)
rad
4

c ) rad
3
2.a )
2
2.1 8 0
ra d 
 7 2
5
5
2.b )
5
5.1 8 0
ra d 
 2 2 5
4
4

1 8 0
2.c ) ra d 
 6 0
3
3
3. Uma pista circular de atletismo tem um diâmetro de 50 m.
Calcule a distância percorrida por um atleta ao dar 6 voltas
completas nessa pista? Adote  3,14
Se D  5 0 m, e n tã oR  2 5 m,
p o is D  2R.
O c o mp r ime not d a c ir c u n fe rnêc ia
é C  2 R, lo go C  2.3,1 4.2 5
C  1 5 7 m.
C o mo o a tle tad á 6 v o lta s,
a d is tâ n c ias e r á: 1 5 7.6  9 4 2 m
4. Calcule o raio de uma circunferência, sabendo que o seu
comprimento é 31,4 m. Adote  3,14
C o mo C  2 R, e n t ã oR 
L o g o, R 
3 1,4
5m
2.3,1 4
C
2
5. Determine o comprimento de um arco que subtende um ângulo
central de 45º numa circunferência de raio 60 cm. Adote   3,14


5. T r ans for ma
ndo 45 em r adianosobtemos r ad, ou s eja,   .
4
4

C omo L  .R, entãoL   60  L  15    15  3,14  L  47,1 c m
4
6. Um aro circular de arame tem 2 cm de raio. Esse aro é cortado e o
arame é estendido ao longo de uma polia circular de raio 9 cm. Qual
é o ângulo central, em graus, que o arco formado pelo arame
determina na polia?
6. O ar o é tr ans for ma
do em um ar c o de
c ompr iment
o C  2.R  2   2
C  4  numa c ir c unfernc
ê ia de 9c m de r aio.
L 4
4  180
Logo,   
r ad, então  
 80
R
9
9
3. As funções Seno, cosseno e Tangente
no Ciclo trigonométrico
B(0,1)
É uma circunferência orientada
de raio unitário (R = 1 u.c.) na
qual se tem como sentido
positivo o anti-horário e se
escolhe um ponto A qualquer
A’(- 1,0)
com origem dos arcos.
Este ciclo será centrado no plano
cartesiano de modo que o eixo das
abcissas passe pelo ponto A.
+
R=1
A(1,0)
0
_
B’(0,- 1)
O ponto A terá como coordenadas o ponto(1, 0).
Esses eixos vão dividir o ciclo em quatro partes iguais
chamadas de quadrantes.
Como o ciclo é dividido em 4 partes iguais, então cada parte
vale 90º ou  ra d.
2
Se n d o x u m a r c o q u a lq u e r n o
90º
c ic lo, t e mo s q u e :
s e 0  x  9 0  x  1º Q
2º Q
s e 9 0  x  1 8 0  x  2 º Q
s e 1 8 0  x  2 7 0  x  3 º Q
s e 2 7 0  x  3 6 0  x  4 º Q
1º Q
0º
180º
360º
3º Q
4º Q
270º
4. Arcos côngruos
Dois arcos são côngruos
quando tem a mesma origem
e a mesma extremidade no
ciclo trigonométrico.
30º + 360º = 390º,
Por exemplo:
30º - 2.360º = - 690º
1. Considerando os arcos de
30º, 390º, 750º, - 330º, 690º.
Todos eles tem a mesma
origem e a mesma
extremidade. Portanto,
eles são côngruos.
Eles diferem entre si de
um número inteiro de
voltas completas, pois
30º + 2.360º = 750º,
30º - 360º = - 330º
Então podemos representar
o arco de 30º e todos os
seus arcos côngruos pela
expressão
x  30  360.K, K  Z
se um arco mede α graus , pode  se
exp ressar todos os ar cos côngruos
a ele por x  α  360  K , K  Z .
sendo α a det er min ação principal
de x e 0  α  360
se um arco mede α radianos , pode  se
exp ressar todos os ar cos côngruos
a ele por x  α  K  2π , K  Z .
sendo α a det er min ação principal
de x e 0  α  2π
5. Determinação do quadrante.
Dados os arcos abaixo, determine o quadrante ao qual eles se
encontram.
a ) 7 5 2
c )  2 5 3 5
2 5
e)
rad
2
b ) 1 1 9 0
3 7
d)
rad
4
1 6
f )
rad
3
Exercícios:
1. Represente, no ciclo trigonométrico, as extremidades dos arcos
abaixo:

a )x   k, k  Z 
6
2

b )x 
 k , k  Z 
3
2

c )x    2k.(, k  Z )
4


d )x   k .( k  Z )
8
4
2. Escreva a expressão geral dos arcos côngruos aos arcos de:
a )19 10
b ) 25 80
c)
45
ra d
7
d )
19
ra d
4
3. Dados os arcos AB e AC, que medem respectivamente, 60º e
130º, dê a expressão geral, em radianos, dos arcos de origem A
cujas extremidades são os pontos médios dos arcos AB e AC.
C omo a metadede AB é 30( D ), e a metadede AC é 65( E ), então
o ar c oAD mede 30 e o ar c oAE mede 65. Por tanto a ex pr es s ão
ger aldes s esar c os s ão x  30  360k e

13
x  65  360k,( em gr a us) e x   k  2 e x 
 k  2 ,( em r ad ianos)
6
36
4. Quais são os arcos positivos menores que 1500º e côngruos a
150º ?
x  1 5 0  3 6 0 k, e n tã op a r a
k  0  x  1 5 0
k  1  x  5 1 0
k  2  x  8 7 0
k  3  x  1 2 3 0
k  4  x  1 5 9 0  1 5 0 0.
Po r ta nto, x  1 5 0, 5 1 0, 8 7 0,1 2 3 0
FIM !!!