Instruções:
• Indique claramente as respostas dos itens
de cada questão, fornecendo as unidades,
caso existam.
• Apresente de forma clara e ordenada os
passos utilizados na resolução das questões.
Expressões incompreensíveis, bem como respostas não fundamentadas, não serão aceitas.
• Ao apresentar a resolução das questões,
evite textos longos e dê preferência às fórmulas e expressões matemáticas.
Atenção: Não basta escrever apenas o
resultado final: é necessário mostrar os
cálculos ou o raciocínio utilizado.
Questão 1
Um carro irá participar de uma corrida em
que terá que percorrer 70 voltas em uma pista com 4,4 km de extensão. Como o carro tem
um rendimento médio de 1,6 km/l e seu tanque só comporta 60 litros, o piloto terá que
parar para reabastecer durante a corrida.
a) Supondo que o carro iniciará a corrida com
o tanque cheio, quantas voltas completas ele
poderá percorrer antes de parar para o primeiro reabastecimento?
b) Qual é o volume total de combustível que
será gasto por esse carro na corrida?
Resposta
a) Com o tanque cheio, o carro pode percorrer,
em média, 1,6 ⋅ 60 km. Como a pista tem 4,4 km
1,6 ⋅ 60
de extensão e
≅ 21,81, o carro pode per4,4
correr até 21 voltas completas antes de parar
para o primeiro reabastecimento.
b) O carro gasta, para percorrer as 70 voltas da
4,4 km 1 litro
corrida, 70 voltas ⋅
⋅
= 192,5 litros
1 volta 1,6 km
de combustível.
Questão 2
Uma empresa tem 5000 funcionários. Desses, 48% têm mais de 30 anos, 36% são especializados e 1400 têm mais de 30 anos e são
especializados. Com base nesses dados, pergunta-se:
a) Quantos funcionários têm até 30 anos e
não são especializados?
b) Escolhendo um funcionário ao acaso, qual
a probabilidade de ele ter até 30 anos e ser
especializado?
Resposta
Temos que 48% de 5 000 = 2 400 funcionários
têm mais de 30 anos; 36% de 5 000 = 1 800 funcionários são especializados e 1 400 têm mais de
30 anos e são especializados. Considerando o
conjunto A formado pelos funcionários com mais
de 30 anos e B o conjunto dos funcionários especializados, obtemos o diagrama de Venn apresentado a seguir:
a) Os funcionários que têm até 30 anos e não
são especializados não pertencem ao conjunto
A nem pertencem ao conjunto B, totalizando
5 000 − 1 000 − 1 400 − 400 = 2 200 funcionários.
b) O número de funcionários com até 30 anos e
especializados é 400, logo a probabilidade pedida
400
é
= 0,08 = 8% .
5 000
Questão 3
Um cidadão precavido foi fazer uma retirada
de dinheiro em um banco. Para tanto, levou
sua mala executiva, cujo interior tem 56 cm
matemática 2
de comprimento, 39 cm de largura e 10 cm de
altura. O cidadão só pretende carregar notas
de R$ 50,00. Cada nota tem 140 mm de comprimento, 65 mm de largura, 0,2 mm de espessura e densidade igual a 0,75 g/cm 3 .
a) Qual é a máxima quantia, em reais, que o
cidadão poderá colocar na mala?
b) Se a mala vazia pesa 2,6 kg, qual será o
peso da mala cheia de dinheiro?
Resposta
a) Para a quantidade de notas na mala ser máxima, as mesmas podem ser dispostas com
56 cm
39 cm
= 4 notas no comprimento,
= 6 no14 cm
6,5 cm
10 cm
tas na largura e
= 500 notas na altura,
0,02 cm
conforme a figura.
O total de notas na mala é 4 ⋅ 6 ⋅ 500 = 12 000, ou
seja, o cidadão poderá colocar na mala, no máximo,12 000 ⋅ 50 = 600 000 reais.
b) A massa dessas notas é12 000 ⋅ 14 cm ⋅ 6,5 cm ⋅
⋅ 0,02 cm ⋅ 0,75 g /cm 3 = 16 380 g = 16,38 kg . Portanto a massa da mala cheia é 16,38 + 2,6 =
= 18,98 kg.
Questão 4
Seja S o conjunto dos números naturais cuja
representação decimal é formada apenas pelos algarismos 0, 1, 2, 3 e 4.
a) Seja x =
um número
de dez algarismos pertencente a S, cujos dois
últimos algarismos têm igual probabilidade
de assumir qualquer valor inteiro de 0 a 4.
Qual a probabilidade de que x seja divisível
por 15?
b) Quantos números menores que um bilhão e
múltiplos de quatro pertencem ao conjunto S?
Resposta
a) Temos que x é divisível por 15 se, e somente
se, x é divisível por 3 e por 5.
Como x ∈ S , x é divisível por 5 se, e somente se,
o seu último algarismo é 0.
Sendo, então, x =
,
a ∈ {0,1, 2, 3, 4}, x é divisível por 15 se, e somente
se, x é divisível por 3, ou seja, a soma dos algarismos de x é divisível por 3. Assim, devemos ter
16 + a divisível por 3, o que ocorre apenas para
a = 2.
Portanto, a probabilidade pedida é a probabilidade de o último algarismo de x ser 0 e o penúltimo
1 1
1
ser 2, que é igual a
.
⋅
=
5 5
25
b) Um número é múltiplo de 4 se, e somente se,
as suas duas últimas casas decimais (dezenas e
unidades) formam um múltiplo de 4. Conseqüentemente, os elementos de S múltiplos de 4 terminam em 00, 04, 12, 20, 24, 32, 40 ou 44. Temos
ainda que os números menores que um bilhão
têm, no máximo, 9 casas decimais.
Logo há 8 possibilidades para as duas últimas casas decimais dos números considerados e 5 possibilidades de escolha para cada uma das sete
primeiras casas, isto é, existem 8 ⋅ 57 = 625 000
números menores que um bilhão e múltiplos de
quatro pertencentes a S.
Questão 5
Para trocar uma lâmpada, Roberto encostou
uma escada na parede de sua casa, de forma
que o topo da escada ficou a uma altura de
aproximadamente 14 m. Enquanto Roberto
subia os degraus, a base da escada escorregou por 1 m, indo tocar o muro paralelo à parede, conforme ilustração a seguir. Refeito do
susto, Roberto reparou que, após deslizar, a
escada passou a fazer um ângulo de 45o com
a horizontal. Pergunta-se:
matemática 3
a) Qual é a distância entre a parede da casa e
o muro?
b) Qual é o comprimento da escada de Roberto?
Resposta
Seja d, em metros, a distância entre a parede da
casa e o muro.
Depois que a base da escada escorregou, tocando o muro, formou-se um triângulo retângulo isósceles e, assim, o topo da escada ficou a uma altura d e o comprimento da escada é d 2 .
É razoável supor que essa taxa anual de crescimento da concentração de CO2 irá se manter constante nos próximos anos.
a) Escreva uma função C(t) que represente a
concentração de CO2 na atmosfera em relação ao tempo t, dado em anos. Considere
como instante inicial – ou seja, aquele em
que t = 0 – o ano de 2004, no qual foi observada uma concentração de 377,4 ppm de CO2
na atmosfera.
b) Determine aproximadamente em que ano
a concentração de CO2 na atmosfera será
50% superior àquela observada em 2004. Se
necessário, use log10 2 ≅ 0,3010, log10 2,01 ≅
≅ 0,3032 e log10 3 ≅ 0,4771.
Resposta
Antes de a base escorregar, ela estava a d − 1 m
da parede, e o topo da escada estava a uma altura de 14 m.
a) Como a concentração de CO2 aumentará, em
média, 0,5% ao ano, e no ano de 2004 (t = 0) a
concentração observada foi de 377,4 ppm,
C(t) = 377,4 ⋅ (1 + 0,005) t = 377,4 ⋅ 1,005 t .
b) Em 2004 a concentração de CO2 na atmosfera
é C(0) = 377,4 ppm.
Assim,
1,5C(0) = C(0) ⋅ 1,005 t ⇔
⇔ t ⋅ log 1,005 = log 1,5 ⇔ t =
log 1,5
.
log 1,005
3
2 =
Usando as aproximações dadas, t =
2,01
log
2
log 3 − log 2
0,4771 − 0,3010
0,1761
,
=
=
=
log 2,01 − log 2
0,3032 − 0,3010 0,0022
ou seja, t ≅ 80.
Portanto, a concentração de CO2 será, em 2084,
50% superior àquela observada em 2004.
Obs.: utilizando aproximações mais precisas para
os logaritmos, encontramos t ≅ 81,30.
log
Aplicando o Teorema de Pitágoras,
(d 2 ) 2 = (d − 1) 2 + ( 14 ) 2 ⇔
⇔ d 2 + 2d − 15 = 0 ⇔ d = 3 .
Portanto:
a) a distância entre a parede e o muro éd = 3 m.
b) o comprimento da escada é d 2 = 3 2 m.
Questão 6
A concentração de CO2 na atmosfera vem
sendo medida, desde 1958, pelo Observatório
de Mauna Loa, no Havaí. Os dados coletados
mostram que, nos últimos anos, essa concentração aumentou, em média, 0,5% por ano.
Questão 7
Um abajur de tecido tem a forma de um tronco de cone circular reto, com bases paralelas.
As aberturas do abajur têm 25 cm e 50 cm de
diâmetro, e a geratriz do tronco de cone mede
30 cm. O tecido do abajur se rasgou e deseja-se substituí-lo.
a) Determine os raios dos arcos que devem
ser demarcados sobre um novo tecido para
que se possa cortar um revestimento igual
àquele que foi danificado.
b) Calcule a área da região a ser demarcada
sobre o tecido que revestirá o abajur.
matemática 4
Resposta
O
O
x
x
A
C
Resposta
25
__
2
x
30
30
B
30
25
D
planificação do
revestimento
revestimento do abajur
a) O comprimento da geratriz de um cone é igual
ao comprimento do raio do setor circular obtido de
sua planificação.
AB
OB
Assim, como ΔAOB ~ ΔCOD,
=
⇔
CD
OD
25
x
⇔ 2 =
⇔ x = 30 cm e, portanto, os
25
30 + x
raios são 30 cm e 60 cm.
b) A área do tecido utilizado é igual à diferença
entre as áreas laterais dos cones cujos raios das
bases são CD e AB, ou seja, π ⋅ CD ⋅ OD − π ⋅ AB ⋅
25
⋅ OB = π ⋅ 25(30 + 30) − π ⋅
⋅ 30 = 1 125 π cm 2 .
2
Questão 8
De uma praia, um topógrafo observa uma pequena escarpa sobre a qual foi colocada, na
vertical, uma régua de 2m de comprimento.
Usando seu teodolito, o topógrafo constatou
que o ângulo formado entre a reta vertical
que passa pelo teodolito e o segmento de reta
que une o teodolito ao topo da régua é de 60o,
enquanto o ângulo formado entre a mesma
reta vertical e o segmento que une o teodolito
à base da régua é de 75o. Sabendo que o teodolito está a uma altura de 1,6m do nível da
base da escarpa, responda às questões abaixo.
a) Qual a distância horizontal entre a reta
vertical que passa pelo teodolito e a régua sobre a escarpa?
b) Qual a altura da escarpa?
Seja AB, em metros, a distância entre a reta vertical que passa pelo teodolito e a régua sobre a escarpa.
AB
3
.
No triângulo retângulo ABC,
= sen 60o =
AC
2
Como AD é bissetriz interna do ΔABC, aplicando o
AB
BD
teorema da bissetriz interna, temos
=
⇔
AC
CD
3
BD
⇔
=
⇔ BD = 3 m.
2
2
CB
3
2 + 3
Ainda no ΔABC, tg 30o =
⇔
=
⇔
AB
3
AB
⇔ AB = 2 3 + 3 m.
Portanto:
a) A distância entre a reta vertical que passa
pelo teodolito e a régua sobre a escarpa é
AB = 2 3 + 3 m.
b) A altura da escarpa é ED = 1,6 + 3 m.
Questão 9
Sejam dados: a matriz
⎛ x − 1 x − 1 x − 1⎞
⎛ m⎞
⎜
⎟
⎜ ⎟
A = ⎜x − 1
1
2 ⎟ , o vetor b = ⎜ 3 ⎟ e
⎜x − 1
⎜ 5⎟
−2 ⎟⎠
1
⎝
⎝ ⎠
⎛ y1 ⎞
⎜ ⎟
o vetor y = ⎜ y2 ⎟ .
⎜y ⎟
⎝ 3⎠
a) Encontre o conjunto solução da equação
det(A) = 0.
b) Utilizando o maior valor de x que você encontrou no item (a), determine o valor de m
para que o sistema linear Ay = b tenha infinitas soluções.
matemática 5
Resposta
x −1 x −1 x −1
a) det(A) = x − 1
1
2
=0 ⇔
−2
x −1
1
1 x −1 x −1
⇔ (x − 1) 1
1
2
=0 ⇔
−2
1
1
⇔ (x − 1)( −1) 3 + 1
x −2
0
x +1
=0 ⇔
4
⇔ (x − 1)(x − 2) ⋅ 4 = 0 ⇔ x
Logo V = {1, 2}.
⎛2
⎜
b) Para x = 2 , Ay = b ⇔ ⎜ 2
⎜
⎝2
= 1 ou x = 2 .
− 1 2 − 1 2 − 1⎞
⎟
1
2 ⎟ ⋅
−1
⎟
1
−1
−2 ⎠
y1 + y 2 + y 3 = m
⎛ y 1 ⎞ ⎛ m⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⋅ ⎜ y 2 ⎟ = ⎜ 3 ⎟ ⇔ y1 + y 2 + 2y 3 = 3 ⇔
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
y1 + y 2 − 2y 3 = 5
⎝y 3 ⎠ ⎝5 ⎠
y3 = 3 − m
y1 + y 2 = 3 − 2y 3
.
⇔ y1 + y 2 + 2y 3 = 3 ⇔ y 3 = 3 − m
4y 3 = 3 − 5
1
y3 = −
2
O sistema possui infinitas soluções se, e somente
1
1
7
se, 3 − m = − ⇔ m = 3 +
= .
2
2
2
−2
≥0
m −1 < 0
m −1
⇔
⇔ −1 < m < 1
−2
m +1 > 0
≤0
m +1
−2
b) As abscissas das interseções são
≥0 e
m −1
−2
≤ 0. Logo são os pontos
m +1
⎛ −2
−2 ⎞ ⎛ −2
−2 ⎞
;
;
⎟
⎜
⎟ =⎜
⎝ m −1 m −1 ⎠ ⎝ m −1 m −1⎠
⎛ −2
−2 ⎞ ⎛ −2
2 ⎞
e⎜
;
;
⎟ .
⎟ =⎜
⎝ m +1 m +1 ⎠ ⎝ m +1 m +1⎠
Assim, a área do triângulo AOB é:
0
1
2
=
Sabe-se que a reta r( x ) = mx + 2 intercepta o
gráfico da função y = |x| em dois pontos distintos, A e B.
a) Determine os possíveis valores para m.
b) Se O é a origem dos eixos cartesianos, encontre o valor de m que faz com que a área do
triângulo OAB seja mínima.
Resposta
a) O número de interseções dos gráficos de y =
= mx + 2 e y = |x | é igual ao número de soluções
da equação:
(x = mx + 2 e x ≥ 0)
|x | = mx + 2 ⇔
ou
⇔
( −x = mx + 2 e x ≤ 0)
((m − 1)x = −2 e x ≥ 0)
ou
( ∗)
((m + 1)x = −2 e x ≤ 0)
0
1
−2
m −1
−2
1 =
m −1
−2
m +1
2
1
m +1
1 −2
2
2
2
4
⋅
−
⋅
=
2 m − 1 m + 1 m − 1 m + 1 |1 − m 2 |
Como
4
Questão 10
⇔
Como os gráficos têm duas interseções, a equação (m − 1)x = −2 tem uma raiz não negativa e a
equação (m + 1)x = −2 tem uma raiz não positiva.
Logo devemos ter:
−1 < m < 1 ⇔ 1 − m 2 > 0,
tal
área
é
2
, que é mínima quando 1 − m é máximo,
1 − m2
ou seja, quando m 2 é mínimo, o que ocorre para
m = 0.
Questão 11
Um triângulo retângulo de vértices A, B e C é
tal que AC = 6 cm, AB = 8 cm e BC = 10 cm.
Os segmentos AC, AB e BC também são lados de quadrados construídos externamente
ao triângulo ABC. Seja O o centro da circunferência que circunscreve o triângulo e sejam
D, E e F os centros dos quadrados com lados
BC, AC e AB, respectivamente.
a) Calcule os comprimentos dos segmentos
DO, EO e FO.
b) Calcule os comprimentos dos lados do
triângulo de vértices D, E e F.
matemática 6
Resposta
Consideremos a figura a seguir:
(FD) 2 = (FO) 2 + (DO) 2 − 2 ⋅ (FO) ⋅ (DO) ⋅ cos(90 o + α )
(ED) 2 = (EO) 2 + (DO) 2 − 2 ⋅ (EO) ⋅ (DO) ⋅ cos(90 o + β)
⇔
(FD) 2 = 7 2 + 5 2 − 2 ⋅ 7 ⋅ 5 ⋅ ( −senα)
(ED) 2 = 7 2 + 5 2 − 2 ⋅ 7 ⋅ 5 ⋅ ( −senβ)
⇔
⇔
⎛ 4⎞
(FD) 2 = 74 − 2 ⋅ 7 ⋅ 5 ⋅ ⎜ − ⎟
⎝ 5⎠
⇔
⇔
⎛ 3⎞
2
(ED) = 74 − 2 ⋅ 7 ⋅ 5 ⋅ ⎜ − ⎟
⎝ 5⎠
⇔
FD = 130 cm
ED = 2 29 cm
Assim os comprimentos dos lados do triângulo
DEF são FE = 7 2 cm, FD = 130 cm e
ED = 2 29 cm.
Questão 12
a) Como o triângulo ABC é retângulo em A, o centro O da circunferência a ele circunscrita é o ponto
médio da hipotenusa BC.
Já que D, E e F são os centros dos quadrados de
lados BC, AC e AB e OA = OB = OC, podemos
afirmar que EO e AC são perpendiculares e também FO e AB. Sendo G o ponto médio de AC e H
BC
o ponto médio de AB, DO =
= 5 cm,
2
AC
AB
EG =
= 3 cm e FH =
= 4 cm.
2
2
AB
Pelo teorema da base média, GO =
= 4 cm
2
AC
e analogamente HO =
= 3 cm.
2
Assim EO = EG + GO = 3 + 4 = 7 cm e
FO = FH + HO = 4 + 3 = 7 cm.
$ e HOB
$ eβ
b) Sendo α a medida dos ângulos ACB
$
$
a medida dos ângulos ABC e GOC , como
$
α + β = 90o , temos m (FOE)
= 180o − 90o = 90o .
Portanto o triângulo OFE é retângulo em O e
(FE) 2 = (FO) 2 + (EO) 2 ⇔ (FE) 2 = 7 2 + 7 2 ⇔
⇔ FE = 7 2 cm.
Aplicando-se a lei dos co-senos aos triângulos
$
FOD e EOD, como as medidas dos ângulos FOD
o
o
$
e EOD são respectivamente 90 + α e 90 + β, temos:
As três raízes da equação x 3 − 3 x 2 + 12 x − q =
= 0, onde q é um parâmetro real, formam
uma progressão aritmética.
a) Determine q.
b) Utilizando o valor de q determinado no
item (a), encontre as raízes (reais e complexas) da equação.
Resposta
a) Sejam a − r , a e a + r as raízes da equação,
a, r ∈ C.
Pelas relações entre coeficientes e raízes,
−3
(a − r) + a + (a + r) = −
⇔ a = 1.
1
Assim, uma das raízes da equação é 1. Utilizando
Briot-Ruffini, obtemos:
1
1
−3
12
−q
1
−2
10
10 − q
Logo10 − q = 0 ⇔ q = 10.
b) x 3 − 3x 2 + 12x − q = 0 ⇔ x = 1 ou
x 2 − 2x + 10 = 0 ⇔ x = 1 ou x = 1 + 3i ou
x = 1 − 3i .
Logo as raízes da equação são 1,1 + 3i e1 − 3i .