MATEMÁTICA
1ª QUESTÃO
2
A superfície de um reservatório de água para abastecimento público tem 320.000 m de área, formato
retangular e um dos seus lados mede o dobro do outro. Essa superfície é representada pela região
hachurada na ilustração abaixo. De acordo com o Código Florestal, é necessário manter ao redor do
reservatório uma faixa de terra livre, denominada Área de Proteção Permanente (APP), como ilustra a figura
abaixo. Essa faixa deve ter largura constante e igual a 100m, medidos a partir da borda do reservatório.
a)
b)
Calcule a área da faixa de terra denominada APP nesse caso.
–t
Suponha que a água do reservatório diminui de acordo com a expressão V(t) = V 02 , em que V0 é o
volume inicial e t é o tempo decorrido em meses. Qual é o tempo necessário para que o volume se
reduza a 10% do volume inicial? Utilize, se necessário, log10 2 0,30.
Resolução:
a) Um dos lados mede 400m e o outro 800m. São dois retângulos 400X100, dois triângulos 800X100 e 4
quartos de um círculo de r=100m, logo:
4 2
(40000 . 2) + (80000 . 2) + 10000 = (24+π). 10 m
4
2
(24 + ) 10 m
–t
b) V(t) = V02
–t
0,1 V0=V02
–t
2 =0,1
Aplicando log aos dois membros da igualdade:
T= 3,3333meses
3 meses e 10 dias.
2ª QUESTÃO
Na construção de uma estrada retilínea, foi necessário escavar um túnel cilíndrico para atravessar um
morro. Esse túnel tem seção transversal na forma de um círculo de raio R seccionado pela corda AB e
altura máxima h, relativa à corda, conforme figura.
Sabendo que a extensão do túnel é de 2 000 m, que AB 4 3 m e que h 3R 6m , determine o volume
2
3
aproximado de terra, em m , que foi retirado para a construção do túnel.
Dados:
3
1,05 e
3
1,7.
1
Resolução:
O volume pedido é a área da base (segmento circular que é a entrada do túnel) multiplicado pela altura
(2000 m). Observe a figura abaixo
4m
120o
4m
A
B
A área da base é 2/3 do círculo adicionados à área do triângulo.
3
Assim, a resposta será80.800 m .
3ª QUESTÃO
Responda.
a) Maria fez uma aplicação em um investimento que deu prejuízo de 10% e resgatou R$ 45.000,00. Qual
foi o valor da aplicação?
b) João aplicou R$ 5.000,00 em um investimento que rendeu 10%, mas sobre o rendimento foi cobrada
uma taxa de 15%. Qual foi o valor líquido que João resgatou?
c) Pedro aplicou R$ 70.000,00, parte no investimento A e parte no investimento B, e no final não teve lucro
nem prejuízo. O investimento A rendeu 12%, e o investimento B deu prejuízo de 3%. Qual foi o valor
que Pedro aplicou no investimento A? Qual foi o valor que Pedro aplicou no investimento B?
d) Janaína comprou um eletrodoméstico financiado, com taxa de 10% ao mês, em três prestações
mensais iguais de R$132,00 cada, devendo a primeira prestação ser paga um mês após a compra.
e) Ela deseja quitar sua dívida na data do vencimento da segunda prestação, pagando a primeira
prestação atrasada, a segunda na data correta e a terceira prestação adiantada. Quanto ela deverá
pagar ao todo neste momento?
Resolução:
a) Se v foi o valor aplicado por Maria, então
0,9 v 45000
v R$ 50.000,00.
b) O valor líquido que João resgatou é dado por
5000 (1 0,1 0,85) R$ 5.425,00.
c) Se c foi o valor aplicado no investimento A, então o valor aplicado no investimento B foi 70000 c. Dessa
forma, encontramos
2100
0,12 c 0,03 (70000 c)
c
0,15
c R$ 14.000,00.
Portanto, o valor aplicado no investimento A foi R$ 14.000,00, e o valor aplicado no investimento B foi
70000 14000 R$ 56.000,00.
d) 132.(1,10) + 132/(1,10) + 132 = 397,20.
4ª QUESTÃO
Em JUTILÂNDIA/ES, comunidade de agricultores localizada no distrito de Garrafão (no município de Santa
Maria de Jetibá-ES) houve uma grande festa no dia das crianças em 2013. Como na referida comunidade
só habitam seis famílias, a quantidade de crianças que compareceu à festa foi de apenas.
Num determinado momento da festa, foi realizada a distribuição de 12 presentes distintos entre as 4
crianças presentes.
2
a) De quantas maneiras distintas os 12 presentes poderiam ter sido distribuídos às 4 crianças,
respeitando-se a restrição de que cada criança recebesse pelo menos 2 presentes?
b) De quantas maneiras distintas os 12 presentes NÃO poderiam ter sido distribuídos entre as 4 crianças,
ou seja, a distribuição dos referidos presentes não respeitaria à restrição imposta no item (a) anterior?
c) Determine, apresentando o desenvolvimento algébrico utilizado, o número de soluções inteiras não
negativas da inequação: x + y + z < 5.
Resolução:
a) Considerando as quantidades A, B, C e D referentes ao número de presentes a ser recebido por cada
criança,
A
B
C
D 12 ..... ( 1 )
A

a
B

2
a
a
b
2
b
b
C

c
c
d
I
Exemplos :
2
d
c
D

d
12
2
12 8
4 ..... ( 2 )
I
I
III
1, 1, 1, 1 ;
4 , 0 , 0 , 0 , ...
Utilizando o tradicional esquema “Traço-Bola”, o número total de maneiras “ T ”
distintas que atende à equação (2) será:
3,4
T P7
T
7!
3! 4!
T
7 6 5
3 21
T 35 .
Consequentemente, T 35 corresponde, também, ao número total de maneiras
distintas que atende à equação (1), ou seja, ao enunciado do item (a) da questão.
b) O número total de maneiras distintas “ N “ que atende à equação (1) SEM RESTRIÇÕES será:
A
B
C
D 12 ..... ( 1 )
III
3 , 12
N P15
N
15 !
N
3! 12 !
15 14 13
3 21
N 455
Assim, o número total de maneiras distintas “ Q “ com as quais os presentes NÃO poderiam ser entregues
às 4 crianças será: Q N T , ou seja,
Q 420 .
Q N T
Q 455 35
c) Como são soluções inteiras não negativas:
2, 4
1º caso: x + y + z = 4;
T1
P6
2º caso: x + y + z = 3;
T2
P5
3º caso: x + y + z = 2;
T3
P4
4º caso: x + y + z = 1;
T4
P32
T4
5º caso: x + y + z = 0.
T5
P22
T5
2,3
2,2
Assim, a quantidade que atende ao enunciado será: T T1 T2
Portanto, T = 35.
Respostas:
a) 35 maneiras distintas.
T3
b) 420 maneiras distintas.
3
T1
T2
T3
T4
6!
2! 4!
5!
2!3!
4!
2! 2 !
3!
2!1!
2!
2!0!
6 5
2 1
T1
T1
15
T2
5 4
2 1
T2
10
T3
4 3
2 1
T3
6
T4
3
T5
1
T5 .
c) 35 soluções distintas.
5ª QUESTÃO
De uma praia, um topógrafo observa uma pequena escarpa sobre a qual foi colocada, na vertical, uma
régua de 2 m de comprimento. Usando seu teodolito, o topógrafo constatou que o ângulo formado entre a
reta vertical que passa pelo teodolito e o segmento de reta que une o teodolito ao topo da régua é de 60°,
enquanto o ângulo formado entre a mesma reta vertical e o segmento que une o teodolito à base da régua é
de 75°. Sabendo que o teodolito está a uma altura de 1,6m do nível da base da escarpa, responda às
questões a seguir.
a) Qual a distância horizontal entre a reta vertical que passa pelo teodolito e a régua sobre a escarpa?
b) Qual a altura da escarpa?
Resolução:
Seja Ab, em metros, a distância entre a reta vertical que passa pelo teodolito e a régua sobre a escarpa.
No triângulo retângulo ABC, AB/ CD = sen 60º =
/2.
Como AD é bissetriz interna, temos:
Pelo teorema da bissetriz interna: AC/CD = AB/BD
Logo: BD =
No triângulo ABC,
TG 30º = CB/AB =
/3
Portanto, AB = 2
a) AB = 2
b) altura da escarpa: 1,6 +
4