VETORES LISTA 2
1.
Os vetores u e v, representados na figura a seguir, têm módulos, respectivamente,
iguais a 8 e 4, e o ângulo θ mede 120°.
Qual é o módulo do vetor | u  v |,
a) 3 3
b) 4 3
c) 5 3
d) 3 5
e) 4 5
2.
Durante um passeio, uma pessoa fez o seguinte trajeto: partindo de um certo ponto,
caminhou 3 km no sentido norte, em seguida 4 km para o oeste, depois 1 km no sentido norte
novamente, e então caminhou 2 km no sentido oeste. Após esse percurso, a que distância a
pessoa se encontra do ponto de onde iniciou o trajeto?
3.
Um foguete foi lançado do marco zero de uma estação e após alguns segundos atingiu
a posição (6, 6, 7) no espaço, conforme mostra a figura. As distâncias são medidas em
quilômetros.
Considerando que o foguete continuou sua trajetória, mas se deslocou 2 km para frente
na direção do eixo-x, 3 km para trás na direção do eixo-y, e 11 km para frente, na direção do
eixo-z, então o foguete atingiu a posição
a) (17, 3, 9).
b) (8, 3, 18).
c) (6, 18, 3).
d) (4, 9, - 4).
e) (3, 8, 18).
4.
O vento constante de uma determinada região faz com que um barco pequeno à deriva
seja empurrado para o leste a uma velocidade de 2,5 milhas por hora (m/h). Um barco grande
com o mesmo vento, também para leste, é carregado a uma velocidade de 1 m/h. Caso não se
considere o vento, o barco grande navegará a uma velocidade constante de 3 m/h, e o
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pequeno a 1 m/h. Os barcos partem juntos de um mesmo ponto da região em direção norte.
Levando em consideração também o vento, calcule a distância entre os barcos após 2
horas da partida deles.
5.
A tabela a seguir apresenta os preços unitários de três tipos de frutas e os números de
unidades vendidas de cada uma delas em um dia de feira.
A arrecadação obtida com a venda desses produtos pode ser calculada pelo produto
escalar de v = (1, 2, 3) por ω = (x, y, z).
Determine:
a) o valor arrecadado, em reais, com a venda de dez mamões, quinze abacaxis e vinte melões;
b) o cosseno do ângulo formado pelos vetores v e ω , sabendo que x, y e z são
respectivamente proporcionais a 3, 2 e 1.
6.
A Bíblia nos conta sobre a viagem de Abraão à Terra Prometida. Abraão saiu da cidade
de Ur, na Mesopotâmia (atual Iraque) e caminhou até a cidade de Harã. Depois, caminhou até
Canaã, a Terra prometida (atual Israel).
Fixando um sistema de coordenadas cartesianas retangulares, em um mapa do Mundo
Antigo, considere a cidade de Canaã localizada no ponto O = (0,0), a cidade de Harã localizada
no ponto H = (2, 7/2), a cidade de Ur localizada no ponto U e o vetor ⃗⃗⃗⃗⃗ = (- 1/2, 11/2) .
Nesse sistema de coordenadas, pode-se afirmar que o ponto U é:
a) (5/2, -2)
b) (2, -2/5)
c) (-2, 2/5)
d) (-2/5, 5/2)
e) (5, 2/5)
7.
Um projeto bem diferente deveria ser desenvolvido pelos candidatos inscritos em um
concurso para arquiteto. O vencedor dessa modalidade foi aquele que determinou a área da
região triangular cujos vértices representaram-se pelos pontos A = (-2, 1, 1); B = (-1, 2, 0) e
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C = (1, 0, 1).
Determine a área correta encontrada pelo arquiteto.
8.
Considere os vetores ⃗ = (-1, 2, -3) e
que esses vetores sejam colineares.
a) -2
b) -1
c) 0
d) 2
e) 6
⃗ = (x, y, 6). Determine o valor de x + y, de modo
9.
Considere um cubo de vértices A, B, C, D, E, F, G, H (como mostra a figura) e os
vetores ⃗ , ⃗ , ⃗ dados por ⃗ = AB, ⃗ = AE, ⃗ = AD
Sejam P o ponto médio do segmento AG e Q o ponto do segmento DB tal que QB =
2DQ. Determine os números a, b e c tais que
PQ = a⃗ + b⃗ + c ⃗
10.
Considere um vetor v anteriormente representado. Sabendo-se que o módulo de v é 4
e que Θ =
π
, determine:
3
a) as coordenadas cartesianas de v ;
b) um vetor ortogonal ao vetor v e de mesmo módulo que v .
11.
Considere os vetores a = (0, -2) e v = (-1, 0).
Determine um vetor unitário g tal que os valores (a + g) e (v + g) sejam
perpendiculares.
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12.
Em um retângulo ABCD, M e N são, respectivamente, os pontos médios dos lados AB e
CD . Tem-se que o vetor BM = ( 3 ,1) e o vetor BN = (2 3 ,-2).
Determine o perímetro do retângulo.
13.
Considere os vetores
+⃗ -
⃗ ⃗
⃗⃗ anteriormente representados. O vetor ⃗ tal que ⃗ =
1
⃗
2
1
⃗⃗ é:
4


7
4 
a)  6,
b) (-2, 3)
 7 
, 6
 4 
7

d)  ,  6 
4

7

e)  6,  
4

c)  
14.
Considere os vetores
pelos vetores
5
1


   3,  e v    3,  . A secante do ângulo formado
2
2


  v e   v é:
a) 2
b)
2
c)
2 3
3
d) 1 / 2
e) -2
15.
Os vetores a = (2, 1, 0), v = (0, 1, 2) e ω = (x, y,z) são tais que a  v é perpendicular a
ω . A relação entre x, y e z é:
a) 2x + y - z = 0
b) 2x - 2y + z = 0
c) x - 2y + z = 0
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d) x + 2y - 2z = 0
e) x - 2y - z = 0
O ângulo formado pelos vetores ⃗ = (3, 0) e
16.
⃗ = (-2, 2 3 ) mede:
°
a) 210
°
b) 150
°
c) 120
°
d) 60
°
e) 30
17.
Determine se os pontos A(5, -1, 0), B (0, 2, 4), C(-3, 0, 6) e D (5, 2, 6) são coplanares
ou não. Justifique a sua resposta.
3
18.
A figura do R a seguir representa uma pirâmide de base quadrada ABCD em que as
coordenadas são A (0,0,0), B (4,2,4) e C (0,6,6), e o vértice V é equidistante dos demais.
A partir da análise dos dados fornecidos, determine:
a) as coordenadas do vértice D e a medida de cada aresta de base;
b) as coordenadas cartesianas do ponto V, considerando que o volume da pirâmide é igual a
72.
19.
O menor valor do parâmetro K para o qual os vetores
(3, 1, - 4K) são coplanares é:
a) -1
b) -1/2
c) 0
d) 1/2
e) 1
20.
Os vetores
a) -3/2
b) -2/3
c) 2/5
d) 2/3
e) 3/2
21.
⃗ = (2, 1, 0), ⃗ = (1, K, 4) e ⃗ =
a = (x, 2x - 1) e v = (- 2, 4) são ortogonais. Então o valor de x é igual a:
Se: │a  v│ 7 e│a  v│= 5, o valor do produto escalar a . v é:
a) 8
b) 7
c) 6
d) 5
e) 4
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22.
°
a) 0
°
b) 30
°
c) 45
°
d) 60
°
e) 90
O ângulo entre os vetores
⃗ = 3i + j e ⃗ = i + 2j é igual a:
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Gabarito:
1: B
2: √
3: [B]
4: 5 milhas
5: a) 100 reais.
b)
5
7
6: [A]
26
u.a.
2
8: [A]
7:
1
1
1
, b=- e c= .
2
6
6
10: a) v(2, 3)
9: a=-
b) ( 2 3, 2) ou (2 3,  2)
11: g = (-3/5, 4/5) ou g = (1, 0)
12: Perímetro = 8+4 3 u.c.
13: [C]
14: [A]
15: [C]
16: [C]
17: Não
18: a) D = (-4, 4, 2). Medida de cada lado = 6
b) V = (-2, -4, 4) ou V = (2, 4, -4)
19: [B]
20: [D]
21: [C]
22: [C]
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