Matemática I
Prof. Gerson
Lachtermacher, Ph.D.
Conteúdos da Seção

2
Limites

Teoremas

Limites Unilaterais

Exercícios

Continuidade

Assíntotas

Horizontais

Verticais
Limites
Introdução

Considere a função...
f ( x) = 6 x  2

3
f (x) é definida no domínio
x 
Limites
Introdução

4
Na proximidade esquerda de x = 2, temos...
x
f (x)
1
8
1,5
11
1,9
13,4
1,99
13,94
1,999
13,994
1,9999
13,9994
2
14
f ( x) = 6 x  2
Limites
Introdução

5
Na proximidade direita de x = 2, temos...
x
f (x)
3
20
2,5
17
2,1
14,6
2,01
14,06
2,001
14,006
2,0001
14,0006
2
14
f ( x) = 6 x  2
Limites
Teorema
f ( x) = 6 x  2
f (2)  14
6
Limites
Definição

Dizemos que a função...
f ( x) = 6 x  2
tem limite 14 quando x se aproxima de 2, por
números maiores ou menores que 2...
lim 6 x  2  14
x2
7
e
f (2)  14
Limites
Introdução

Considere a função...
(3 x + 4)( x  2)
f ( x) =
( x  2)

8
f (x) é definida no domínio
x 
| x  2
Limites
Introdução

9
Na proximidade esquerda de x = 2, temos:
x
f(x)
1
7
1,5
8,5
1,9
9,7
1,99
9,97
1,999
9,997
1,9999
9,9997
(3x+ 4)( x  2)
f ( x) =
( x  2)
Limites
Introdução

10
Na proximidade direita de x = 2, temos...
x
f(x)
3
13
2,5
11,5
2,1
10,3
2,01
10,03
2,001
10,003
2,0001
10,0003
(3x+ 4)( x  2)
f ( x) =
( x  2)
Limites
Teorema
(3x+ 4)( x  2)
f ( x) =
( x  2)
11
Limites
Definição

Dizemos que a função...
(3x+ 4)( x  2)
f ( x) =
( x  2)
tem limite 10 quando x se aproxima de 2, por
números maiores ou menores que 2...
(3 x + 4)( x - 2)
lim
 10
x2
( x - 2)
12
Limites
Definição


Dizemos que a função f (x) tem limite L quando x se
aproxima de a, se podemos fazer o valor de f (x) tão
próximo do número L quanto quisermos, tomando x
suficientemente próximo (mas não igual) a a.
Denotamos esse fato por...
lim f ( x)  L
xa

13
Também costumamos dizer que “L é o limite de f(x)
quando x tende para a”.
Limites
Utilização em Administração
14

Determinação de valores máximos e mínimos.

Auxílio na confecção de gráficos.

Determinação do custo e receitas marginais.
Limites
Teorema

Se r é um número inteiro positivo qualquer, então,
1
lim r  0
x  x

Exemplo:
1
lim 3  0
x  x
15
e
1
lim
0
x  x r
1
lim
0
x  x 3
Limites
Teorema: Exemplos
1
lim 2  0 
x  x
1
lim 2  0 
x  x
1
lim 3  0
x  x
16
lim
x 
1


0
x3
Limites
Teorema

Se r é um número inteiro positivo, então...
1
(i ) lim r  
x 0 x
1   , se r é ímpar
(ii ) lim r  
x 0 x
  , se r é par
17
Limites
Teorema: Exemplos
1
lim 3  -
x  0 x
1
lim 2  
x  0 x
18
1
lim 2  
x  0 x
1
lim 3  
x  0 x
Limites
Exemplo
x4
lim
 
2
x 0
x
19
Limite
Exemplo
x4
lim
 
2
x 0  x
20
Limites
Exercícios Propostos
1.
2.
3.
21
 x2  2x  1 
lim 

x 1
x

1


 4 x 2
lim 

x 0
x


t


lim  3

2
t 1  t  2t  2t  3 
Limites
Exercícios Propostos
4.
5.
6.
22
 2 
lim 

x 5  x  5 
 1 

lim 
x  0  1  21 x 
 x3  2 x  4 
lim 

4
x 
 x 3 
Limites
Exercícios Propostos
7.
8.
9.
23
 3x 2  6 x  4 
lim 

2
x 
x


 x3  2 x 2  x 
lim 

5
3
x 
x

x


 4x 1 
lim 

x 
 3x  2 
Limites
Exercícios Propostos: Solução 1
 x2  2x  1 
lim 


x 1
 x 1 
  x  1 .  x  1 
 lim 

x 1
x 1


 lim x  1  2
x 1
24
Limites
Exercícios Propostos: Solução 2

 4 x 2
lim 
  lim 
x 0
x

 x 0 



 4  x 2   2 2 

 lim 

x 0
 x 4 x 2 




4

x

4

 lim 
x 0  x
4 x 2 


1
1


 lim 


x 0 
4
4 x 2

25



x



4 x 2 


4 x 2

4 x 2

Limites
Exercícios Propostos: Solução 3




t
t



 lim 
lim  3

2
t 1  t  2t  2t  3 
t 1   2
3
t
t

2
t

2


 
t






 1
1
 lim 
   verificar limites laterais
3
t 1
 t 2  2t  2   0
t






 1

 1
1
1
lim 
      lim 
    
3
3
t 1
t 1  2
 t 2  2t  2   0
t  2t  2   0
t
t


26
Limites
Exercícios Propostos: Solução 3
t


lim  3

2
t 1  t  2t  2t  3 
não existe
27
Limites
Exercícios Propostos: Solução 4
 2  2
lim 
    

0
x 5  x  5 
 2  2
lim 
    

0
x 5  x  5 
Daí,
 2 
 não existe
lim 

x 5  x  5 
28
Limites
Exercícios Propostos: Solução 5
 1
lim 
1x

1

2
x 0 
29
1

 1 

0
  lim 
1x 

 x  0  1  2  1  2
Limites
Exercícios Propostos: Solução 6
 x3  2 x  4 
 x3 
 2x 
 4 



lim 
lim
lim
lim
 x   4
 x   4
 x   4

4
x 
x

3
x

3
x

3
x

3
















x3
2x
 4 




 lim
 lim
 lim
x   3 
3   x    3 3   x   x 4  3 
 x  x  x3  
 x  x  x3  


 
 

 1
 lim 
x 
 x  33
x

30






1
 4 




0
lim  4
 lim

 x    x3  3   x   x  3 
3 


x



Limites
Exercícios Propostos: Solução 6
x3  2 x  4
f ( x) 
x4  3
31
Limites
Exercícios Propostos: Solução 7
 3x 2  6 x  4 
3x 2
6x
4
 lim 2  lim 2  lim 2  3
lim 

2
x 
x  x
x  x
x

 x  x
32
Limites
Exercícios Propostos: Solução 8
 x3  2 x 2  x 
 x( x 2  2 x  1) 


( x  1) 2
 lim 
 lim  2

lim 



5
3
3
2
x 
 x x
 x   x ( x  1)  x   x ( x  1)( x  1) 
1 

x
(1

)

 ( x  1) 
x 
 lim  2

lim


 x  2
x   x ( x  1) 
 x ( x  1) 


1 

(1

)

x  1 0
 lim 

x  x ( x  1)

 


33
Limites
Exercícios Propostos: Solução 9
1/2
 4x 1 
 4x 1 
 4x 1 
lim 
  lim 
  lim 

x 
x

x

3
x

2
3
x

2


 3x  2 


1/2
  4 x  1 
  x 
  lim 

x  3 x  2
 

  x  
1/2
  4 x  1 
  lim 

x

3
x

2

 
1/2
  4 
 
 lim
x

  3 
34
1/2
4
 
3
2 2


3
3 3
 
1 
4

 

x
  lim 

2
x 
  3  
 
x  
1/2

Limites
Exercícios Propostos: Solução 9
4x 1
4x 1
f ( x) 

3x  2
3x  2
35
Continuidade
Conceito


36
Em essência, dizemos que uma função é contínua, se
podemos passar um lápis sobre todo o seu gráfico, e
somente sobre ele, sem tirá-lo uma única vez do papel.
Essa noção intuitiva é muito difícil de se aplicar fora do
conjuntos R2 ou R3.
Continuidade
Conceito

Dizemos que uma função f é contínua em um número a, se e
somente se...
(i ) existe f ( a)
(ii ) existe lim f ( x)
xa
(iii ) lim f ( x)  f (a )
xa
37
Descontinuidade
Tipos de Descontinuidade

Descontinuidade Infinita
Uma função tem descontinuidade infinita em x = a, se f (x)
tende para infinito (positivo ou negativo) nesse ponto.

Descontinuidade de Salto
Quando f (x) varia abruptamente em um ponto x = a.

Descontinuidade Removível
, mas f (x) não está definida em a.
Quando existe
lim f ( x)
xa
38
Descontinuidade Infinita Exemplo
f ( x) 
39
1
x
Descontinuidade de Salto Exemplo
 2 x  3, x  3
f ( x)  
2 x  10, x  3
40
Descontinuidade Removível
Exemplo
x2  5x  6
f  x 
x3
41
Assíntota Horizontal

Dizemos que a reta y = b (b constante) é uma assíntota
horizontal do gráfico de uma função f, se pelo menos uma
das afirmações for verdadeira...
(i )
(ii )
42
lim f ( x)  b
x 
lim f ( x)  b
x 
Assíntota Horizontal
Exemplo

A função f (x) = 7ex tem assíntota horizontal dada pela função
f (x) = 0, pois
lim 7e-x  0
x
43
Assíntota Horizontal
Exemplo

A função f (x) = 7ex tem assíntota horizontal dada pela função
f (x) = 0, pois
lim 7e x  0
x 
44
Assíntota Vertical

Dizemos que a reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico
de uma função f, se pelo menos uma das afirmações for
verdadeira.
lim f ( x)  
(ii ) lim f ( x)  
(iii ) lim f ( x)  
(iv) lim f ( x)  
(i )
xa
xa
45
x a
x a
Assíntota Vertical
Exemplo

A função f  x  
1
 x - 2
2
tem assíntota vertical em x = 2,
pois a função não existe no ponto (divisão por zero) e os
limites laterais tendem para infinito.
1
1
lim
  
2
x  2
 x2  0
1
1
lim
  
2

x2  x  2 
0
46
Assíntota Vertical
Exemplo

A função 1/x3 tem assíntota vertical em x=0, pois a função não
existe no ponto e os limites laterais tendem para infinito.
1
lim 3  
x  0 x
1
lim 3  
x  0 x
47
Exercícios Propostos
48
Exercícios
49