AGRADECIMENTOS
À professora Leonor Santos pela disponibilidade que sempre demonstrou e pelas
aprendizagens que me tem proporcionado
Ao Rui, por ter sido um super marido, pondo a cumplicidade que nos une ao serviço
deste meu sonho e abdicando de muita coisa para me permitir concretizá-lo
Aos meus pais, Augusta e Virgílio, por me terem ensinado que aprender é importante
À minha amiga Ana Sofia por me ter influenciado a entrar nesta aventura e não me ter
deixado desistir; ao Mário por ter colaborado com muitos jantares…; ao meu afilhado
Miguel pela alegria que trouxe à fase final do trabalho
Aos colegas do Projecto AREA pelos incentivos constantes e pelas sugestões
apresentadas
À Susana Domingues pela disponibilidade para me ajudar em momentos difíceis
Aos amigos da “minha” Escola que me ajudaram a crescer enquanto professora e me
despertaram o interesse pela temática da avaliação
À Albertina, ao Manuel, ao Ricardo e ao Tiago pela sua disponibilidade para serem
participantes neste estudo
ÍNDICE
Página
INTRODUÇÃO ..............................................................................................................
1
Motivações pessoais para a realização deste estudo...........................................
1
Problema e questões da investigação .................................................................
2
Pertinência da investigação ................................................................................
2
Organização e apresentação da investigação ......................................................
4
CAPÍTULO 1 – FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ................................................................
7
A Integração da Avaliação no Currículo de Matemática: um percurso de vinte
anos .....................................................................................................................
7
A avaliação das aprendizagens à luz do paradigma sócio-construtivista ...........
22
A avaliação formativa das aprendizagens ..........................................................
27
O feedback: um conceito central na avaliação formativa ...................................
32
CAPÍTULO 2 – METODOLOGIA ....................................................................................
41
Método e design de investigação ........................................................................
41
Participantes no estudo .......................................................................................
45
Recolha de dados ................................................................................................
47
Documentação .............................................................................................
47
Entrevistas ...................................................................................................
48
Observação participante ..............................................................................
49
Análise de dados .................................................................................................
50
CAPÍTULO 3 – CONTEXTO PEDAGÓGICO .....................................................................
53
Especificidades da escola onde foi realizado o estudo .......................................
53
Apresentação da turma de pertença dos alunos participantes neste estudo ........
54
Apresentação das oito tarefas .............................................................................
55
Duas pesquisas bibliográficas .....................................................................
55
Dois testes....................................................................................................
56
Dois relatórios .............................................................................................
57
Dois problemas ............................................................................................
60
CAPÍTULO 4 – APRESENTAÇÃO E DISCUSSÃO DE DADOS .............................................
63
Trabalho realizado individualmente ...................................................................
63
Albertina ......................................................................................................
63
i
Concepção face à Matemática .......................................................
63
Concepção face à disciplina de Matemática .................................
64
Concepção face à avaliação na disciplina de Matemática ............
65
Testes ....................................................................................................
67
Primeira fase da actividade ...........................................................
67
Segunda fase da actividade ...........................................................
68
Evolução no segundo momento ....................................................
71
Síntese ...........................................................................................
71
Problemas .............................................................................................
72
Primeira fase da actividade “A altura da torre e a altura da Joana” 72
Segunda fase da actividade“A altura da torre e a altura da Joana”
74
Evolução no segundo momento “A conferência internacional” ...
76
Síntese ...........................................................................................
78
Manuel .........................................................................................................
79
Concepção face à Matemática .......................................................
80
Concepção face à disciplina de Matemática .................................
81
Concepção face à avaliação na disciplina de Matemática ............
83
Testes ....................................................................................................
84
Primeira fase da actividade ...........................................................
84
Segunda fase da actividade ...........................................................
85
Evolução no segundo momento ....................................................
88
Síntese ...........................................................................................
88
Problemas .............................................................................................
89
Primeira fase da actividade “A altura da torre e a altura da Joana” 89
Segunda fase da actividade“A altura da torre e a altura da Joana”
91
Evolução no segundo momento “A conferência internacional” ...
92
Síntese ...........................................................................................
94
Ricardo ........................................................................................................
95
Concepção face à Matemática .......................................................
96
Concepção face à disciplina de Matemática .................................
96
Concepção face à avaliação na disciplina de Matemática ............
97
Testes ....................................................................................................
99
Primeira fase da actividade ...........................................................
99
Segunda fase da actividade ........................................................... 100
ii
Evolução no segundo momento .................................................... 102
Síntese ........................................................................................... 103
Problemas ............................................................................................. 103
Primeira fase da actividade “A altura da torre e a altura da Joana” 103
Segunda fase da actividade “A altura da torre e a altura da Joana” 105
Evolução no segundo momento “A conferência internacional” ... 107
Síntese ........................................................................................... 110
Tiago ............................................................................................................ 110
Concepção face à Matemática ....................................................... 111
Concepção face à disciplina de Matemática ................................. 112
Concepção face à avaliação na disciplina de Matemática ............ 114
Testes .................................................................................................... 115
Primeira fase da actividade ........................................................... 115
Segunda fase da actividade ........................................................... 116
Evolução no segundo momento .................................................... 117
Síntese ........................................................................................... 118
Problemas ............................................................................................. 118
Primeira fase da actividade “A altura da torre e a altura da Joana” 118
Segunda fase da actividade “A altura da torre e a altura da Joana” 123
Evolução no segundo momento “A conferência internacional” ... 124
Síntese ........................................................................................... 126
Trabalho realizado em grupo .............................................................................. 127
Pesquisas Bibliográficas .............................................................................. 127
Primeira fase da actividade “Pitágoras” ............................................... 127
Segunda fase da actividade “Pitágoras” ............................................... 128
Evolução no segundo momento “Diofanto”......................................... 138
Síntese .................................................................................................. 140
Relatórios..................................................................................................... 141
Primeira fase da actividade “Influência de k e b na representação gráfica
de funções do tipo y = kx + b com k e b números racionais”.................................... 141
Segunda fase da actividade “Influência de k e b na representação gráfica
de funções do tipo y = kx + b com k e b números racionais”.................................... 142
Evolução no segundo momento “Divisões por 11” ............................. 155
Síntese .................................................................................................. 160
iii
O feedback quanto ao seu conteúdo ................................................................... 131
Incidência .................................................................................................... 162
Tarefa – Aluno ..................................................................................... 162
Processo – Produto Final ...................................................................... 163
Natureza....................................................................................................... 168
Descritiva – Avaliativa ......................................................................... 168
Forma........................................................................................................... 177
Afirmativa – Interrogativa – Mista....................................................... 177
Quantidade................................................................................................... 180
Comentário curto – Comentário Longo ............................................... 180
CAPÍTULO 5 – CONCLUSÕES ....................................................................................... 183
Síntese do estudo ................................................................................................ 183
Apresentação e discussão de resultados ............................................................. 188
Alunos ......................................................................................................... 188
Albertina ............................................................................................... 188
Manuel .................................................................................................. 190
Ricardo ................................................................................................. 193
Tiago..................................................................................................... 195
A concluir ............................................................................................. 198
Tarefas ......................................................................................................... 200
Testes .................................................................................................... 201
Problemas ............................................................................................. 202
Pesquisas bibliográficas ....................................................................... 203
Relatórios ............................................................................................. 204
A concluir ............................................................................................. 205
Feedback ...................................................................................................... 207
A concluir ............................................................................................. 210
Reflexão Final .................................................................................................... 211
Limitações do estudo .......................................................................................... 213
Recomendações .................................................................................................. 213
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................. 215
ANEXOS ...................................................................................................................... 221
iv
ÍNDICE DE FIGURAS
Página
Figura 1: 1ª Fase – Resolução da pergunta 1 do 1º teste ..........................................
67
Figura 2: 1ª Fase – Resolução da pergunta 2 do 1º teste ..........................................
68
Figura 3: 1ª Fase – Resolução de parte da pergunta 4 do 1º teste ............................
68
Figura 4: 2ª Fase – Resolução da pergunta 1 do 1º teste ..........................................
69
Figura 5: 2ª Fase – Resolução da pergunta 2 do 1º teste ..........................................
69
Figura 6: 2ª Fase – Resolução de parte da pergunta 4 do 1º teste ............................
71
Figura 7:1ª Fase – Resolução do1º problema ...........................................................
72
Figura 8: Feedback dado à 1ª fase da resolução do 1º problema .............................
73
Figura 9: 2ª Fase – Resolução do1º problema ..........................................................
74
Figura 10: Excerto do feedback dado à 1ª fase do 1º problema ...............................
75
Figura 11: 1ª Fase – 1ª tentativa de resolução do 2º problema ................................
76
Figura 12: 1ª Fase – Explicação do raciocínio .........................................................
76
Figura 13: Feedback dado à 1ª fase da resolução do 2º problema ...........................
77
Figura 14: Excerto da 2ª fase da resolução do 2º problema .....................................
77
Figura 15: 1ª Fase – Resolução da pergunta 2 do 1º teste ........................................
84
Figura 16: 1ª Fase – Resolução da pergunta 3 do 1º teste ........................................
85
Figura 17: 1ª Fase – Resolução de parte da pergunta 4 do 1º teste ..........................
85
Figura 18: 2ª Fase – Resolução de parte da pergunta 4 do 1º teste ..........................
86
Figura 19: 1ª Fase – Resolução do 1º problema .......................................................
89
Figura 20: Feedback dado à 1ª fase da resolução do 1º problema ...........................
90
Figura 21: 2ª Fase – Resolução do1º problema ........................................................
91
Figura 22: 1ª Fase – 1ª Tentativa de resolução do 2º problema ...............................
93
Figura 23: 1ª Fase – Feedback dado à resolução do 2º problema ............................
93
Figura 24: 1ª Fase – Resolução da pergunta 2 do 1º teste ....................................... 100
Figura 25: 1ª Fase – Resolução da pergunta 3 do 1º teste ........................................ 100
Figura 26: 2ª Fase – Resolução da pergunta 2 do 1º teste ........................................ 101
Figura 27: 2ª Fase – Resolução da pergunta 3 do 1º teste ........................................ 102
Figura 28: 1ª Fase – Resolução do 1º problema ....................................................... 104
Figura 29: Feedback dado à 1ª fase da resolução do 1º problema ........................... 105
Figura 30: 2ª Fase – Resolução do1º problema ........................................................ 105
Figura 31: 1ª Fase – Excerto da resolução do 2º problema ...................................... 108
v
Figura 31a: 1ª Fase – Continuação da resolução do 2º problema ............................ 109
Figura 32: 1ª Fase – Resolução da pergunta 2 do 1º teste ........................................ 115
Figura 33: 1ª Fase – Resolução da pergunta 3 do 1º teste ........................................ 116
Figura 34: 2ª Fase – Resolução da pergunta 2 do 1º teste ........................................ 116
Figura 35: 2ª Fase – Resolução da pergunta 3 do 1º teste ........................................ 117
Figura 36: 1ª Fase – Resolução do1º problema ........................................................ 119
Figura 37: Feedback dado à 1ª fase da resolução do 1º problema ........................... 120
Figura 38: 2ª Fase – Resolução do 1º problema ....................................................... 123
Figura 39: 1ª Fase – Resolução do 2º problema ....................................................... 125
Figura 40: Feedback dado à 1ª fase da resolução do 2º problema ........................... 125
Figura 41: 2ª Fase – Resolução do 2º problema ....................................................... 126
Figura 42: 1ª Fase – Slide 2 ...................................................................................... 129
Figura 43: 2ª Fase – Slide 2 ...................................................................................... 130
Figura 44: 1ª Fase – Slide 4 ...................................................................................... 131
Figura 45: 1ª Fase – Slide 5 ...................................................................................... 135
Figura 46: 1ª Fase – Slide 6 ...................................................................................... 136
Figura 47: 1ª Fase – Slide 1 ...................................................................................... 137
Figura 48: 1ª Fase – Resolução do exemplo ............................................................ 143
Figura 49: 2ª Fase – Resolução do exemplo ............................................................ 144
Figura 50: 1ª Fase – Resolução da pergunta 5 ......................................................... 147
Figura 50a: 1ª Fase – Resolução da pergunta 5 (continuação) ................................ 147
Figura 51: 2ª Fase – Resolução da pergunta 5 ......................................................... 148
Figura 52: 1ª Fase – Resolução da pergunta 7.3 ...................................................... 151
Figura 53: 2ª Fase – Resolução da pergunta 7.3 ...................................................... 151
Figura 54: 1ª Fase – Resolução da pergunta 8 ......................................................... 152
Figura 55: 2ª Fase – Resolução da pergunta 8 ......................................................... 153
Figura 55a: 2ª Fase – Resolução da pergunta 8 (continuação) ................................ 155
Figura 56: Visor de uma calculadora com
15
escrito na forma de dízima ............. 156
11
Figura 57: Utilização do algoritmo da divisão para determinar
15
........................ 156
11
Figura 58: 1ª Fase – Excerto do 2º relatório ............................................................. 158
Figura 59: 1ª Fase – Feedback dado ao 2º relatório ................................................. 159
Figura 60: 2ª Fase – Excerto do 2º relatório ............................................................. 160
vi
Figura 61: Exemplos de feedback tipo i. – indico informação pouco explícita ....... 164
Figura 62: Exemplos de feedback tipo v. – coloco questões em aspectos
incorrectos ................................................................................................................. 165
Figura 63: Exemplos de feedback de tipo vi – comentei os erros dos alunos, utilizando
sempre que possível os seus exemplos ...................................................................... 166
Figura 64: Comentário integrando feedback de tipos iv. – indico o que já está bem feito
e ix – explicito informação do enunciado .................................................................. 169
Figura 65: Exemplo de feedback tipo iv. – indico o que já está bem feito .............. 171
Figura 66: Exemplo de feedback tipo ix. – explicito informação do enunciado ...... 171
Figura 67: Exemplo de feedback tipo ix. – explicito informação do enunciado ...... 172
Figura 68: Exemplo de feedback tipo vii. – forneço pistas utilizando exemplos meus ou
contextualizando o enunciado ................................................................................... 173
Figura 69: Exemplo de feedback tipo vii. – forneço pistas utilizando exemplos meus ou
contextualizando o enunciado ................................................................................... 174
Figura 70: Exemplo de feedback tipo x. – incito a continuar ................................... 174
Figura 71: Exemplo de feedback tipo viii. – forneço pistas de conceitos
matemáticos ............................................................................................................... 175
Figura 72: Exemplo de feedback tipo viii. – forneço pistas de conceitos
matemáticos ............................................................................................................... 176
Figura 73: Exemplo de feedback tipo viii. – forneço pistas de conceitos
matemáticos ............................................................................................................... 175
Figura 74: Exemplo de feedback na forma afirmativa ............................................. 177
Figura 75: Exemplo de feedback na forma interrogativa ......................................... 178
Figura 76: Exemplo de feedback na forma interrogativa ......................................... 178
Figura 77: Exemplo de feedback na forma interrogativa ......................................... 179
Figura 78: Exemplo de feedback na forma interrogativa ......................................... 179
Figura 79: Exemplo de feedback na forma interrogativa ......................................... 179
Figura 80: Exemplo de feedback na forma mista ..................................................... 180
vii
ÍNDICE DE QUADROS
Página
Quadro 1: Calendarização das entrevistas e tarefas .................................................
49
Quadro 2: Calendarização das duas fases das tarefas ..............................................
61
viii
ÍNDICE DE ANEXOS
Página
Anexo I: Pedido de autorização dos Encarregados de Educação ............................. 221
Anexo II: Informação e pedido de autorização ao Conselho Pedagógico ................ 222
Anexo III: Guião da 1ª Entrevista – Outubro de 2007 ............................................. 223
Anexo IV: Guião da 2ª Entrevista – Março de 2008 (Albertina) .............................. 224
Anexo V: Guião da 2ª Entrevista – Março de 2008 (Manuel) .................................. 228
Anexo VI: Guião da 2ª Entrevista – Março de 2008 (Ricardo) ................................ 230
Anexo VII: Guião da 2ª Entrevista – Março de 2008 (Tiago) .................................. 232
Anexo VIII: Guião da 3ª Entrevista – Junho de 2008 (Albertina, Ricardo, Tiago) . 234
Anexo IX: Guião da 3ª Entrevista – Junho de 2008 (Manuel) ................................. 235
Anexo X: 1ª Pesquisa Bibliográfica – Pitágoras ....................................................... 237
Anexo XI: 2ª Pesquisa Bibliográfica – Diofanto ...................................................... 238
Anexo XII: 1º Teste – Teorema de Pitágoras e Funções .......................................... 239
Anexo XIII: 2º Teste – Sequências, mmc, Regras da Potenciação,
Notação Científica ..................................................................................................... 241
Anexo XIV: 1º Relatório – Influência de k e b na representação gráfica de funções do
tipo y = kx + b, com k e b números racionais............................................................ 244
Anexo XV: 1º Relatório – Divisões por 11 ............................................................... 249
Anexo XVI: 1º Problema – A altura da torre e a altura da Joana ............................. 250
Anexo XVII: 2º Problema – A conferência internacional ........................................ 251
ix
0