Trabalho sobre Espaços Vetoriais
Para verificar se um conjunto V, com as operações de adição e multiplicação por escalar é um
espaço vetorial, precisamos mostrar que as oito propriedades são válidas. Para isto:
1.
A primeira atenção deve ser para a forma dos elementos que estamos trabalhando:
são vetores do plano, espaço, ℝ𝑛 , matrizes, funções? Qual a característica desses
elementos? Respondidas estas perguntas, escreve-se de forma genérica três
elementos (que são os necessários para realizarmos as demonstrações das 8
propriedades). Assim para os exemplos propostos teremos
Exemplo 10.3: elementos de V são pontos do plano, então escrevemos 𝑢 = (𝑥1 , 𝑦1 ),
𝑣 = (𝑥2 , 𝑦2 ), 𝑤 = (𝑥3 , 𝑦3 ).
Exemplo 10.4: Façam apenas para o ℝ𝑛 : elementos de V são n-uplas ordenadas, então
escrevemos 𝑢 = (𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛 ), 𝑣 = (𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 ), 𝑤 = (𝑤1 , 𝑤2 , … , 𝑤𝑛 ).
Exemplo 10.5: os elementos de V são matrizes de ordem m x n, então escrevemos
𝑢11 ⋯ 𝑢1𝑛
𝑤11 ⋯ 𝑤1𝑛
𝑣11 ⋯ 𝑣1𝑛
⋮
⋱
⋮
⋮
⋱
⋮
⋱
⋮ ).
𝒖=(
),𝒗 = (
), 𝒘= ( ⋮
𝑢𝑚1 ⋯ 𝑢𝑚𝑛
𝑣𝑚1 ⋯ 𝑣𝑚𝑛
𝑤𝑚1 ⋯ 𝑤𝑚𝑛
Exemplo 10.6: os elementos de V são polinômios, então escrevemos
𝑢 = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 1 + 𝑎0 , 𝑣 = 𝑏𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑏𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑏1 𝑥1 + 𝑏0
e 𝑤 = 𝑐𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑐𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑐1 𝑥1 + 𝑐0 .
Exemplo 10.7: os elementos de V são pontos do ℝ2 , mas com a característica de que a
segunda coordenada deve ser o quadrado da primeira, ou seja, 𝑦 = 𝑥 2, assim
percebemos que estamos trabalhando com pontos que pertencem a uma parábola
com vértice na origem e concavidade voltada para cima. Escrevemos três pontos
genéricos dessa parábola: 𝑢 = (𝑥1 , 𝑥1 2 ), 𝑣 = (𝑥2 , 𝑥2 2 ), 𝑤 = (𝑥3 , 𝑥3 2 ).
2. Agora o próximo passo é entender bem como realizamos as operações de adição e
multiplicação com estes elementos genéricos, a partir das definições apresentadas no
exercício. Se não houver a definição das operações nos exercícios, significa que
utilizaremos as operações usuais. No exemplo 10.6, teremos
𝑢 + 𝑣 = (𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 1 + 𝑎0 ) + (𝑏𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑏𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑏1 𝑥 1 +
𝑏0 ) = (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛) 𝑥 𝑛 + (𝑎𝑛−1 + 𝑏𝑛−1) 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + (𝑎1 + 𝑏1) 𝑥 1 + (𝑎0 + 𝑏0 )
3. Depois de treinar as operações, comece a escrever e demonstrar cada uma das oito
propriedades de produto vetorial.
Bom trabalho!
Entrega dia 28 de novembro de 2015.