Função polinomial de segundo grau
Em matemática, uma função quadrática, polinômio quadrático, polinômio de grau 2 ou
polinômio de segundo grau, é uma função polinomial em uma ou mais variáveis em que o termo de
maior grau tem grau igual a dois. Estudaremos aqui apenas as funções quadráticas em uma
variável. Uma função quadrática em uma variável tem a forma
𝑓 (𝑥 ) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐,
𝑎 ≠ 0.
na variável 𝑥 . O gráfico de uma função quadrática em uma variável é uma parábola, cujo eixo de
simetria é paralelo ao eixo 𝑜𝑦.
Se a função quadrática é igualada a zero, o resultado é uma equação quadrática, cujas
soluções são chamadas de raízes da função, ou zeros da função, e são as interceptações do
gráfico da função com o eixo 𝑜𝑥 .
As raízes da função quadrática são os valores de 𝑥 cuja imagem é 0, ou seja, em que o gráfico
“corta” o eixo 𝑜𝑥 . O número de raízes depende do valor do discriminante, geralmente denotado
pela letra grega delta, definido por ∆= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐.
As duas raízes da função quadrática 0 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, na qual 𝑎 ≠ 0, são:
𝑥=
−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
Essa fórmula é chamada de Fórmula Quadrática. Dado
.
Para ∆> 0, a função terá duas raízes reais distintas; para ∆= 0, a função terá duas raízes reais
iguais; para ∆< 0, a função não terá raízes reais (terá duas raízes complexas, sendo elas: 𝑧 e 𝑧̅
(conjugado de 𝑧), onde 𝑧 tem a forma 𝛼 + 𝛽𝑖).
Efetuando
𝑟1 =
−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
e 𝑟2
=
−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
, é possível fatorar 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 como
𝑎(𝑥 − 𝑟1 )(𝑥 − 𝑟2 ).
A concavidade é a abertura da parábola, que ora está voltada para cima e ora está voltada
para baixo. O sentido da concavidade depende do coeficiente 𝑎. Se 𝑎 > 0, ela é voltada para cima;
se 𝑎 < 0, ela é voltada para baixo.
O vértice da parábola corresponde ao ponto mais extremo dela e é definido pelas seguintes
coordenadas: (𝑥𝑣 , 𝑦𝑣 ) = (
−𝑏 −∆
𝑎
,
4𝑎
).
Uma função quadrática pode ser expressa em três formatos, são eles: a forma padrão, forma
geral, forma desenvolvida ou forma polinomial, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, a forma fatorada 𝑓(𝑥) =
𝑎(𝑥 − 𝑟1 )(𝑥 − 𝑟2 ), e a forma vértice, ou forma canônica, 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘 , onde ℎ e 𝑘 são as
coordenadas 𝑥 e 𝑦 do vértice, respectivamente.
O coeficiente 𝑎 controla a velocidade de aumento ou diminuição da função quadrática a partir
do vértice. Números positivos grandes para 𝑎 fazem a imagem de 𝑥 aumentar mais rápido,
fazendo com que a parábola fique mais fechada, mais "magra". Os coeficientes 𝑏 e 𝑎 , juntos,
controlam o eixo de simetria da parábola (e também a coordenada 𝑥 do vértice). O
coeficiente 𝑏 , sozinho,
representa
a
declividade
da
parábola
ao
cortar
o
eixo 𝑜𝑦.
O
coeficiente 𝑐 representa o ponto onde a parábola corta o eixo 𝑜𝑦.
REFERÊNCIAS
WIKIPÉDIA, a enciclopédia livre. Função quadrática. Flórida: Wikimedia Foundation, 2015.
Disponível
em:
<
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Fun%C3%A7%C3%A3o_quadr%C3%A1tica&oldid=43779
488 >. Acesso em 19 de novembro de 2015.
𝑨𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔