01 / 08 / 12
Prof.: André Luiz
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FUNÇÃO QUADRÁTICA
Resumo
1. Definição
Função do 2º grau ou função quadrática é a função f: R→R definida por f(x) = ax² + bx + c, com a, b, c
reais e a ≠ 0. Em que a é o coeficiente de x²; b é o coeficiente de x; c é o termo independente. Quando a
função é completa, os coeficientes a, b e c não são nulos, e função incompleta aquela em que os
coeficientes b ou c ou ambos são nulos.
Observe os exemplos:
1) f(x) = 3x² + 5x +2 -> é função quadrática completa onde a=3, b= 5 e c=2
2) y= x² - 25 -> é função quadrática incompleta onde a=1 b=0 c=-25
1.1 Raízes ou zeros da função quadrática
Analogamente à função do 1º grau, para encontrar as raízes da função quadrática, devemos igualar
f(x) a zero. Teremos então:
ax² + bx + c
A expressão assim obtida denomina-se equação do 2º grau. As raízes da equação são determinadas
utilizando-se a fórmula resolutiva.
(Letra grega: delta) é chamado de discriminante da equação. Observe que o discriminante terá um
valor numérico, do qual temos de extrair a raiz quadrada. Neste caso, temos três casos a considerar:
Exemplos:
1-Resolva as equações do 2º grau:
a) -7x² + 6x + 1 = 0
2-Determine os zeros das funções reais a seguir:
a) x² + 3x + 5 =0
3-Determine o valor de p r para que a função y = px² + 2x – 1
a) tenha duas raízes reais e distintas. b) tenha duas raízes reais e iguais. c) não tenha raízes
reais.
a) para que a função tenha duas raízes reais e distintas, o discriminante deve ser um número
positivo.
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b) para que a função tenha duas raízes reais e iguais, o discriminante
c) para que a função não tenha duas raízes, o discriminante
deve ser igual a zero.
deve ser negativo.
1.2 Gráfico da função quadrática
O gráfico, de uma função quadrática é uma curva denominada parábola. O sinal do coeficiente
“a” determina a concavidade dessa parábola. Dada a função y= ax² + bx + c, cujo gráfico se
define:
Resumindo:
 O termo independente
Na função y =ax² + bx + c, se x = 0 temos y = c. Os pontos em que x = 0 estão no eixo y, isto significa
que o ponto (0, c) é onde a parábola “corta” o eixo y.
1.3 Vértice da parábola – Máximos e mínimos da função
É o ponto da curva correspondente à ordenada (yv) máxima ou mínima. Observe os vértices nos
gráficos abaixo:
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 Coordenadas do vértice
As coordenadas do vértice da parábola são dadas por:
1.4 Conjunto Imagem
Conhecendo a ordenada do vértice da parábola é possível determinar o conjunto imagem da
função. Em a, a parábola tem concavidade voltada para cima, portanto o vértice é o ponto mínimo
da função. Se projetarmos qualquer ponto da parábola sobre o eixo y, obteremos valores de y
maiores ou iguais a -1, conforme mostra a figura I; neste caso, o conjunto imagem é:
Figura I:
Na figura II, a parábola tem concavidade voltada para baixo, então o vértice é o ponto máximo da
função. Ao projetarmos qualquer ponto sobre o eixo y, teremos valores de y menores ou iguais a 2.
O conjunto imagem será:
Figura II:
Resumindo:
Se a função f(x)= ax² + bx + c com a>0, temos como conjunto imagem:
Se a função f(x)= ax² + bx + c com a<0, temos como conjunto imagem:
Exemplo 1:
Construa os gráficos da função f(x) = 2x² - 3x + 1, determinando o respectivo conjunto imagem:
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Determinando as raízes da função, igualando-a a zero função, ou seja, f(x)=0.
Encontrando o valor do discriminante:
Utilizando a fórmula resolutiva do 2º Grau:
Agora determinamos as coordenadas do vértice da parábola.
Para x = 0, temos que o ponto em que a parábola corta o eixo y é c = 1.
Exemplo2:
Considere a função
, determine as raízes, a sua representação gráfica, o conjunto
imagem o valor de máximo ou de mínimo.
Calculando as raízes da função:
Como
, não existem raízes reais que satisfaçam a equação, então a parábola não intercepta o
eixo x. Observe que a= - 1/3, portanto a parábola tem concavidade voltada para baixo e estará
abaixo do eixo x. Note que a função não possui raízes reais, porém existe um gráfico para
representá-la.
Determinando as coordenadas do vértice da parábola.
Quando x = 0, temos que a
parábola corta o eixo y em
c =-9.
Determinando o conjunto imagem da função:
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1.5 Estudo do sinal de uma função do 2º grau
Estudar o sinal da função quadrática f(x) = ax² + bx + c, significa determinar os valores reais de x
para os quais: f(x) = 0, f(x) > 0 e f(x) < 0. O estudo do sinal da função quadrática depende do
coeficiente quadrática depende do coeficiente “a” e do discriminante
Dada a função f(x) = y = ax² + bx + c, para saber os sinais de y, determinamos as raízes (se
existirem) e analisamos o valor do discriminante. Poderemos ter:
Considere x1 < x2 e o discriminante positivo:
Considere x1 < x2 e o discriminante igual a zero:
Considere x1 < x2 e o discriminante menor do que zero:
Exemplo:
Estude o sinal de cada função:
Como a =1, a concavidade da parábola está voltada para cima. Temos então:
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2- Inequação do 2º grau na variável x
É toda desigualdade que pode ser escrita da seguinte forma: ax² + bx + c > 0; ax² + bx + c ≥ 0;
ax² + bx + c < 0; ax² + bx + c ≤ 0.
Veja o exemplo abaixo:
Para resolver esta inequação, devemos fazer o estudo do sinal da função e determinar os
valores de x para que a função seja menor ou igual a zero.
Exemplo 1:
Exemplo2:
x² - 4x + 3 > 0
Para resolver esta inequação, devemos fazer o
estudo do sinal da função e determinar os valores
de x para que a função seja positiva.
Exemplo 3:
3x² - x + 1 <0
2.1- Inequação Produto
Para resolvê-las, iremos fazer o estudo do sinal separadamente, transportar os sinais para um quadro,
efetuar o produto dos sinais e determinar o(s) conjunto(s) que satisfaz(em) a desigualdade pedida.
Vejamos o exercício resolvido
Encontre as raízes de cada equação e façamos o estudo de cada função separadamente:
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Transportamos os sinais obtidos para um quadro, onde a primeira linha é destinada aos sinais de f(x),
a segunda aos sinais de g(x) e a terceira ao produto dos sinais de onde será extraído o conjunto
solução da inequação. Lembre-se de que as raízes devem ser colocadas em ordem crescente e
simbolizadas com uma “bolinha preta” (intervalo) , e nesse caso esse intervalo obrigatoriamente
fechado pois a desigualdade a ser resolvida contém o sinal de igualdade ( ).
Exemplo 2:
2.1- Inequação Quociente
Observe o exemplo:
Para resolvê-las, iremos fazer o estudo do sinal separadamente, transportar os sinais para um
quadro, efetuar a divisão dos sinais e determinar o(s) conjunto(s) que satisfaz(em) a
desigualdade pedida.
Veja o exemplo a seguir:
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Exemplo 1:
Exemplo 2:
Sejam f(x) = - x² + 2x – 3 e g(x)= x² + 3x, calcule o valor de x para que
Em f(x), qualquer que seja o valor de x, a função é negativa.
Transportamos os sinais para o quadro, lembrando que, como a função g(x) está no denominador
da fração, temos de indicar as raízes de g(x) - 3 e 0 com intervalo aberto, garantindo assim que o
denominador não se anulará.
Referência:
BOSQUILHA, Alessandra.Minimanual compacto de matemática : teoria e prática. Ensino médio/ Alessandra Bosquilha, Marlene
Lima Pires Corrêa, Tânia Cristina Neto G. Viveiro. -- 2. ed. rev. -- São Paulo : Rideel, 2003.
SMOLE, Kátia C. Stocco. Matemática: Ensino Médio / Kátia Cristina Stocco e Maria Ignez de Souza V. Diniz – 6ª Ed. São Paulo:
Saraiva, 2010.
Contribuição:
Professor do Inst. Federal Farroupilha Mauricio Lutz.
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