Escola Secundária de Santa Maria da Feira
Ficha de Trabalho de Matemática A
Funções Polinomiais
10º Ano
FT-18
1. Sejam f e g funções definidas em IR, por:
2
f(x)=(x - 2)
g(x)=5(x - 2)(3x-5)
1.1. Determine, sob a forma de polinómio, a expressão da função f (x) + g(x) .
1.2. Considere k(x) = f (x) + g(x). Factorize k(x).
2. Mostre que existe um polinómio g(x) tal que:
3
2
x4- 6x + 8x – 3= (x - 1) . g(x)
2
3. Considere o polinómio P(x)= x4- 3x + 2x + (k - 2), sendo k ∈ IR.
Para que o resto da divisão do polinómio P(x) por (x + 1) seja 2, o valor de k deve ser
(A) 8
(B) -4
(C) 4
(D) -8
4. Na figura está representada parte do gráfico de uma função f, polinomial do terceiro grau.
•
2 é máximo relativo da função f.
Seja g a função, de domínio IR, definida por g(x) = f(x) - 2.
Quantos são os zeros distintos da função g?
(A) um
(B) dois
(C) três
(D) quatro
5. Na figura está representada parte do gráfico de uma função f, sendo f(x) um polinómio do 3º grau.
Qual dos seguintes valores pode ser o termo independente de x no polinómio f(x)?
(A) 0
(B)
8
3
(C) 4
(D)
32
9
6. Seja f uma função polinomial de terceiro grau, cujo gráfico se encontra parcialmente representado na figura.
Quantas são as soluções da equação f(x) = 2?
(A) uma
(B) duas
(C) três
(D) quatro
7. Considere o polinómio P(x)= 2x4+ (k-1)x3- 2x2 + 4x, sendo k ∈ IR.
7.1. Determine k ∈ IR de modo que P(x) seja divisível por x-1.
7.2. Depois de substituir k pelo valor encontrado na alínea anterior, decomponha o polinómio P(x) num produto de
polinómios do primeiro grau.
(Nota: No caso de não ter respondido à alínea 7.1., considere k =−3.)
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8. Considere a função real de variável real definida pela expressão:
f(x)= x4- 4x3 + x2 - 4x
8.1. Sabendo que f(x) admite 4 como zero, decompõe a função em polinómios do menor grau possível.
8.2. Por processos analíticos, determine os valores de x que verificam a condição f(x) ≥ 0.
8.3. Recorrendo à calculadora gráfica, determine, com aproximação às décimas, o número real positivo k, para que a
função g(x)=f(x) - k tenha três raízes reais distintas.
9. Considere a função g definida por g(x)= x3- x2 - 4x + 4.
9.1. Decomponha g(x) num produto de polinómios do primeiro grau, sabendo que é divisível por x + 2.
9.2. Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, determine, com aproximação às décimas, o conjunto-solução
da condição g(x) ≥ 4.
Reproduza, na sua folha, o gráfico de g visualizado na calculadora, depois de ter escolhido uma janela que lhe
permita visualizar os pontos relevantes para a resolução do problema proposto. Assinale esses pontos no seu gráfico.
10.Num treino de futebol um jogador, em posição frontal à baliza e a uma distância de 20 metros dela, remata a
bola.
A altura A, em metros, que a bola atinge, em função da distância d ao jogador, medida na horizontal também em
metros, é dada pela expressão: A(d) =
−
1
d (d − 28)
49
Resolva analiticamente as questões seguintes:
10.1. Determine o valor de A(0) e explique o seu significado no contexto do problema.
10.2. Qual é a altura máxima a que sobe a bola? E a que distância está do jogador?
10.3. Admita que a baliza tem uma altura de 2,4 metros. Será que a bola rematada pelo jogador entra na baliza ou
pelo contrário, passa por cima dela?
Recorrendo à calculadora gráfica responda à questão, apresentando o resultado arredondado às décimas e incluindo
os esboços dos gráficos que considerar pertinentes.
11. Considere a função f, definida por
f ( x) =
1
( x − 4 )2 + 3
8
Admita que f (x) é a distância ao solo, em metros, do ponto do fio situado a x metros à direita do 1º poste.
11.1. Calcule a altura dos postes.
11.2. Determine a distância ao 2º poste do ponto do fio que está à distância mínima do solo.
11.3. Calcule o valor de x, sabendo que o ponto do fio correspondente está a 7,5 m do solo.
12. Considere um triângulo rectângulo de catetos 4 e 6 cm. O ponto P desliza sobre a hipotenusa e vai gerando vários
rectângulos.
Mostre que a área dos rectângulos é dada em função de x pela função
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A( x) = 4 x −
2 2
x e indique e seu domínio.
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13. Num certo dia, uma localidade foi invadida por uma praga de insectos.
Verificou-se que o número de insectos N(t), em milhares, evoluiu com o tempo t em dias, até serem exterminados
de acordo com a lei:
N(t) =t 3 − 7t 2 + 8t +16
13.1. Determine o número inicial de insectos.
13.2. Ao fim de quantos dias foi exterminada a praga?
13.3. Em que dia o número de insectos passou a ser inferior a 10 000?
14. A Curva C é a representação gráfica da função real de variável real definida por um polinómio do 3º grau.
Tendo em atenção os valores registados na figura, e sabendo que um
ponto de gráfico é ( −
3
, 4) escreva a expressão de f (x) sob a forma
2
de um polinómio reduzido e ordenado.
2
15. Atendendo aos dados da figura e sabendo que h(x)= f (x)×(-x - x + 6)
indique, recorrendo a intervalos de números reais, os valores de x que
verificam a condição h(x) > 0 .
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2
16. Considere a função f (x) = x + x − 2x, representada na janela [− 3, 4].[− 5,5].
Em cada alínea, escreva a expressão da função g a partir da de f .
17. Num estudo estatístico conclui-se que a função lucro de uma empresa era dada pela expressão:
3
2
P(x)= -x + 30x - 120x- 500, 0 ≤ x ≤ 30
sendo x o número de peças produzidas e vendidas e P o lucro em milhares de euros.
17.1. Determine x de modo que a empresa não tenha prejuízo.
17.2. Determine o lucro máximo que a empresa pode ter. Quando ocorre esse valor?
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