Conjuntos numéricos
01. (UNESP) Sejam a e b números naturais assim
06. (UNICAMP)
relacionados: a = 1 + b£. Se b é impar, provar que a
a)
é par.
a = 3¤, b = (-2)¤, c = 3£ e d = (-2)¤.
02. (UNESP) A soma de n números é igual a 2000. Se
Calcule
as
seguintes
potências:
b) Escreva os números a, b, c, d em ordem
a cada um deles acrescentarmos 20 e somarmos os
crescente.
resultados assim obtidos, a nova soma será 5000.
Determine o número n de parcelas.
07. (UNICAMP) Um número inteiro positivo de três
algarismos termina em 7. Se este último algarismo
03. (UNICAMP) Qual o menor número inteiro de voltas
for colocado antes dos outros dois, o novo número
que deve dar a roda c da engrenagem da figura
assim formado excede de 21 o dobro do número
adiante, para que a roda A dê um número inteiro de
original. Qual é o número inicial? Justifique sua
voltas?
resposta.
08. (FUVEST) O número de divisores do número 40 é:
(A) 8.
(B) 6.
(D) 2.
(E) 20.
(C) 4.
09. (FUVEST) No alto de uma torre de uma emissora
de televisão duas luzes "piscam" com freqüências
04. (UNICAMP) Mostre que 3 divide n¤ - n qualquer que
diferentes.
seja o número natural n.
A primeira "pisca" 15 vezes por minuto e a segunda
05. (UNICAMP) Considere duas circunferências, uma
"pisca" 10 vezes por minuto. Se num certo instante
delas tendo o raio com medida racional e a outra
as luzes piscam simultaneamente, após quantos
com
segundos elas voltarão a piscar simultaneamente?
medida
irracional.
Suponha
que
essas
circunferências têm centros fixos e estão se tocando
de modo que a rotação de uma delas produz uma
(A) 12
(B) 10
rotação na outra, sem deslizamento. Mostre que os
(D) 15
(E) 30
(C) 20
dois pontos (um de cada circunferência) que
10. (FUVEST) Se -4 < x < -1 e 1 < y < 2 então xy e 2/x
coincidem no início da rotação, nunca mais voltarão
estão no intervalo:
a se encontrar.
(A) ] - 8, - 1 [
(B) ] - 2, - 1/2 [
(C) ] - 2, - 1 [
(D) ] - 8, - 1/2 [
(E) ] - 1, - 1/2 [
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Conjuntos numéricos
11. (FUVEST) Os números x e y são tais que 5 ´ x ´ 10
16. (UEL) Seja o número inteiro AB, onde A e B são
e 20 ´ y ´ 30. O maior valor possível de x/y é
algarismos
das
dezenas
e
das
unidades,
respectivamente. Invertendo-se a posição dos
(A) 1/6
(B) 1/4 (C) 1/3
algarismos A e B, obtém-se um número que excede
(D) 1/2
(E) 1
AB em 27 unidades. Se A + B é um quadrado
perfeito, então B é igual a:
12. (FUVEST) Dividir um número por 0,0125 equivale a
multiplicá-lo por:
(A) 1/125.
(B) 1/8. (C) 8.
(D) 12,5.
(E) 80.
(A) 3
(B) 4
(D) 6
(E) 7
(C) 5
17. (UFMG) O MENOR número inteiro positivo que, ao
ser dividido por qualquer um dos números, dois,
13. (FUVEST) O produto de dois números inteiros
três, cinco ou sete, deixa RESTO UM, é:
positivos, que não são primos entre si, é igual a
825. Então o máximo divisor comum desses dois
(A) 106
(B) 210 (C) 211
números é:
(D) 420
(E) 421
(A) 1.
(B) 3.
(D) 11.
(E) 15.
(C) 5.
18. (UFMG) De uma praça partem, às 6 horas da
manhã, dois ônibus A e B. Sabe-se que o ônibus A
volta ao ponto de partida a cada 50 minutos, e o
14. (FUVEST) Qual, dos cinco números relacionados a
ônibus B, a cada 45 minutos.
seguir, não é um divisor de 10¢¦ ?
O primeiro horário, após as 6 horas, em que os
ônibus partirão juntos é:
(A) 25
(B) 50
(D) 75
(E) 250
(C) 64
(A) 7 horas e 35 minutos.
(B) 11 horas e 35 minutos.
15. (UEL) São dadas as sentenças:
(C) 11 horas e 50 minutos.
(D) 13 horas e 30 minutos.
I.
O número 1 tem infinitos múltiplos.
II.
O número 0 tem infinitos divisores.
(E) 13 horas e 50 minutos.
III. O número 161 é primo.
19. (UNESP) Sejam x e y dois números reais não nulos
e distintos entre si. Das alternativas a seguir, a
É correto afirmar que SOMENTE:
única necessariamente verdadeira é:
(A) I é verdadeira.
(B) II é verdadeira.
(A) - x < y.
(B) x < x + y.
(C) III é verdadeira.
(D) I e II são verdadeiras.
(C) y < xy.
(D) x£ · y£.
(E) II e III são verdadeiras.
(E) x£ - 2xy + y£ > 0.
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Conjuntos numéricos
20. (UNESP) Um determinado CD (compact disc)
06.
contém apenas três músicas gravadas. Segundo a
a) a = 27, b = -8, c = 1/9 e d = -1/8
ficha desse CD, os tempos de duração das três
b) Como -8 < -1/8 < 1/9 < 27, temos b < d <
gravações são, respectivamente, 16:42 (dezesseis
c < a.
minutos e quarenta e dois segundos), 13:34 e
07. O número é 357.
21:50. O tempo total de gravação é:
08. (A)
09. (A)
(A) 51:06.
(B) 51:26.
(D) 52:06.
(E) 53:06.
(C) 51:56.
10. (D)
11. (D)
12. (E)
GABARITO:
13. (C)
14. (D)
01. Temos: a = 1+b£ e b = 2k+1
15. (D)
a = 1 + (2k + 1)£ = 1 + 4k£ + 4k + 1 =
16. (D)
= 2(2k£ + 2k + 1), portanto, a é par.
17. (C)
02. n = 150
18. (D)
03. O nº mínimo de voltas da roda c é 5.
19. (E)
04. n¤ - n = (n + 1) n(n - 1), onde n é natural.
20. (D)
Logo, n¤ - n pode ser decomposto em um produto
de três números consecutivos dos quais pelo menos
um e necessariamente divisível por 3, pois na
divisão de n+1 por 3, obtemos um quociente q e um
resto r, r ∈ {0,1,2}. Logo n+1 = 3q + r
Se r = 0, n+1 = 3q ⇔ n+1 é n múltiplo de 3.
Se r = 1, n+1 = 3q+ 1⇔ n é múltiplo de 3.
Se r = 2, n+1 = 3q + 2⇔ n - 1 é múltiplo de 3
05. Sejam r ÆQ e s Æ(IR - Q) os raios das
circunferências.
Sendo n (n ÆIN) o nº de voltas dadas pela
circunferência de raio r racional e m (m ÆIN) o nº de
voltas dadas pela circunferência de raio s irracional,
para dois pontos voltarem a se encontrar, deve-se
ter:
n 2™r = m 2™s ë s = n.r/m, onde n/m Æ Q e r Æ Q
Isto implicaria que s ÆQ, o que é absurdo.
Portanto os pontos nunca mais voltarão a se
encontrar.
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