Geometria I Aula 9.1 Curso Licenciatura Plena em Matemática Aula 9.1 Tempo Estratégia 18:10 / 18:15 5’ Vh Abertura 18:15 / 18:50 35’ P1 – Iêda 1 Turno Noturno Disciplina Geometria I Carga Horária 90h Período 2.0 Data 11/12/2006 – 2ª. feira Planejamento Descrição (Arte) Unidade IV: Relações métricas Tema 21: Teorema de Tales Objetivo: Mostrar as aplicações do teorema de Tales. (4) Tales Mileto Principais contribuições Círculo – diâmetro (5) Tales Mileto Principais contribuições Triângulo isósceles – bases congruentes (6) Tales Mileto Principais contribuições Retas que se cortam formam ângulos iguais. (7) Tales Mileto Principais contribuições Congruência de triângulos (9) Teorema de Tales Conceito Um feixe de retas paralelas determina sobre duas transversais segmentos proporcionais. A B C R S T Geometria I Aula 9.1 2 (10) Teorema de Tales A R B S C AB = BC AB RS ST = AC BC T RS RT = ST AC RT (11) Aplicação Encontre o valor de x na figura. A 4 B C R x S 6 5 (12) Solução 4 6 10 = ⇒ 6 x = 20 ⇒ x = x 5 3 (13) Aplicação Este mapa mostra quatro estradas paralelas que são cortadas por três vias transversais. Algumas das distâncias entre os cruzamentos dessas vias e estradas estão indicadas no mapa (em km), mas as outras precisam ser calculadas. Complete o mapa com as distâncias que faltam. Geometria I Aula 9.1 3 (14) Solução x 12 2 = = 15 18 3 3x = 15 . 2 3x = 30 X = 10 km y 2 20 = = 10 15 1 Y = 2. 15 Y = 30 km 10 15 2 = = 15 z 3 2.z = 15 . 3 2.z = 45 45 = 2 Z = 22,5 km Z= (15) Teorema Bissetriz interna Uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos (aditivos) proporcionais aos lados adjacentes. x y = c b (16) Aplicação AS é bissetriz interna do ângulo Â. Calcule o valor de x. (17) Solução x 2x + 3 = 3 7 7x = 3( 2x + 3 ) 7x = 6x + 9 7x - 6x = 9 X=9 (18) Teorema Geometria I Aula 9.1 4 Bissetriz externa Se a bissetriz externa de um triângulo intercepta a reta suporte do lado oposto, ela divide este em segmentos proporcionais. x y = c b (19) Aplicação Se AP é bissetriz do ângulo externo em A, determine x. (20) Solução 6 8 = ⇒ 12 + x = 16 ⇒ x = 4 12 12 + x 18:50 / 19:15 25’ P1/DL Iêda (21) Dinâmica Local 19:15 / 19:20 5’ Retorno DL (22) Solução Calcule x e y no triângulo, sabendo que AD é bissetriz do ângulo  e x + y = 22 . y 18 y + x 18 + 15 22 33 = ⇒ = ⇒ = x 15 x x 15 15 ⇒ x = 10 e y = 12 Geometria I Aula 9.3 Licenciatura em Matemática Geometria I Aula 9.2 Tempo 19:20 / 19:55 35’ Estratégia P2 – Vítor Descrição (Arte) Unidade IV: Relações métricas Tema 22: Semelhança de triângulos Objetivo: Identificar triângulos semelhantes e resolver problemas. (2) Triângulos Semelhantes Definição Dos triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos correspondentes congruentes e os lados homólogos proporcionais. ΔABC ~ ΔDEF ⇔  ≡ Dˆ , Bˆ ≡ Eˆ a b c Cˆ ≡ Fˆ e = = = k , k ∈ IR+* d e f (3) Triângulos Semelhantes Teorema fundamental Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois lados em pontos distintos, então o triângulo determinado pela reta é semelhante ao primeiro. (4) Teorema fundamental Demonstração Dado Hipótese: r // BC Tese: ΔABC ~ ΔADE (5) Teorema fundamental Demonstração ABˆ C ≡ ADˆ E e ACˆ B ≡ AEˆ D Geometria I Aula 9.3 AD DE AE = = AB BC AC ΔABC ~ ΔADE (6) Aplicação Calcule x e y no triângulo ABC y y + 21 = ⇒ 2 y + 42 = 5 y ⇒ y = 14 8 20 14 35 = ⇒ 84 + 7 x = 210 ⇒ x = 18 12 12 + x (7) Semelhança de triângulos 1º Caso (A.A.) Se dois triângulos têm dois ângulos congruentes, então eles são semelhantes. Hipótese: Tese: ΔDEF ~ ΔABC (8) 1º Caso (A.A.) Demonstração Tome o ponto P ∈ AC , onde PC ≡ DF , por ele trace a reta r // DE . ΔPQC ≡ ΔDEF (LAAo) ΔPQC ~ ΔABC (Teorema Fundamental) Geometria I Aula 9.3 ΔDEF ~ ΔABC (9) Semelhança de triângulos 2º Caso (L.A.L.) Se dois triângulos têm dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos compreendidos entre eles congruentes, então eles são semelhantes. a d = e Cˆ ≡ Fˆ b e ΔABC ~ ΔDEF (10) 2º Caso (L.A.L.) Exemplo Dados os triângulos , calcule x. 20 15 5 = = 12 9 3 24 x = ⇒ x = 18 12 9 (11) Semelhança de triângulos 3º Caso (L.L.L.) Se dois triângulos têm os lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes. a b c = = d e f ΔABC ~ ΔDEF (12) Semelhança de triângulos Cevianas homólogas Se a razão de semelhança de dois triângulos é k, então a razão entre duas cevianas homólogas é k; e os ângulos homólogos são congruentes. Geometria I Aula 9.3 (13) Aplicação (14) Solução 15 10 20 5 = = = 6 4 8 2 25 x 5 = ⇒x= 5 2 2 19:55 / 20:20 25’ P2 /DL Vítor (15) Dinâmica Local 1. Calculando x na figura dos quadrados abaixo, encontramos: (16) Dinâmica Local 2. Num triângulo isósceles de 20 cm de altura e 50 cm de base 3 está inscrito um retângulo de 8 cm de altura com base na base do triângulo. Calcule a medida da base do retângulo. 20:20 / 20:25 5’ Retorno DL (17) Solução 1 3 6− x = ⇒ 3 x = 36 − 6 x ⇒ 9 x = 36 ⇒ x = 4 x 6 (18) Solução 2 Geometria I Aula 9.3 50 20 50 = 3 ⇒ 20 x = 12. ⇒ 2 x = 4.5 ⇒ x = 10 12 x 3 20:25 / 20:45 20’ Intervalo Licenciatura em Matemática Geometria I Aula 9.3 Tempo 20:45 / 21:20 35’ Estratégia P3 – Clício Descrição (Arte) Unidade IV: Tema 23: Relações métricas no triângulo retângulo Objetivo: Estudar os principais casos de relações métricas no triângulo retângulo, bem como as suas aplicações no cotidiano. (1) Relações métricas Definição b c h n m a a : hipotenusa b, c : catetos h : altura relativa à hipotenusa m, n : projeções dos catetos (2) Relações métricas no triângulo retângulo 1.º Caso b c h m h n c m h = = b h n bm = ch bh = cn h2 = mn (3) Relações métricas no triângulo retângulo 2.º Caso Geometria I Aula 9.3 b c c h m a c b a = = m h c bm = ch bc = ah h2 = am (4) Relações métricas no triângulo retângulo 3.º Caso b c b h n a c b a = = h n b cn = bh bc = ah b2 = an (5) Relações métricas Resumo b c h n m a b2 = a.n c2 = a.m b.c = a.h b.m = c.h c.n = b.h h2 = m.n • (6) Teorema de Pitágoras (8) Teorema de Pitágoras c2 = a.m e b2 = a.n b2 + c2 = a.(m + n) → a = m + n b2 + c2 = a. a b c b2 + c2 = a2 a Geometria I Aula 9.3 (9) Aplicação 01 Determine o valor de x na figura. 13 m 5 m x (10) Solução 13 5 x 132 = 52 + x2 x2 =169 – 25 x2 =144 x = 12 (11) Aplicação 02 Determine o valor de x na figura. 6 x 12 (12) Solução (passo a passo) 6 x 12 62 = x . 12 36 = 12x x=3 • (13) Aplicação 03 Determine o comprimento da circunferência na figura. Geometria I Aula 9.3 4 12 (14) Solução 4 r 6 r2 = 42 + 62 r2 = 16 + 36 r2 = 52 r = 2 13 (15) Aplicação 04 A altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo mede 12cm. Se a hipotenusa mede 25cm, calcular os catetos. (16) Solução (passo a passo) 12 25 b² + c² = 25² b.c = 25. 12 b² + c² = 625 b.c = 300 2 ⎛ 300 ⎞ b² + ⎜ ⎟ = 625 ⎝ b ⎠ 4 b – 625b² + 90000 = 0 b² = x x² – 625x + 90000 = 0 b² = 200 → b = 10 2 → c = 15 2 b² = 450 → b = 15 2 → b = 10 2 Geometria I 21:20 / 21:45 25’ Aula 9.3 P3 /DL Clício (17) Dinâmica Local Determine o valor de x na figura 4 5 4 x 21:45 / 21:50 5’ Retorno DL (18) Solução 4 5 4 x (4 5 ) = 4² + y² 80 = 16 +y² 64 = y² y=8 4² = xy 16 = 8x x=2 21:50 / 22:00 10’ Tira Dúvidas