DIDATIKA
Vestibulares
Nome: ______________________________________________ Sala: _________
Nota: _________
Com as letras x, y, z e w podemos formar monômios de grau k, isto é, expressões do tipo xpyqwrzs, onde p, q, r e
s são inteiros não-negativos, tais que p + q + r + s = k. Quando um ou mais desses expoentes é igual a zero, dizemos
que o monômio é formado pelas demais letras. Por exemplo, y3z4 é um monômio de grau 7 formado pelas letras y e z
[nesse caso, p = s = 0].
a) Quantos monômios de grau 4 podem ser formados com, no máximo, 4 letras? (2 pontos)
b) Escolhendo-se ao acaso um desses monômios do item (a), qual a probabilidade dele ser formado por exatamente
duas das 4 letras? (3 pontos)
RESOLUÇÃO ESPERADA 1
a) A quantidade de monômios de grau 4 é o número de soluções inteiras não negativas da equação p + q + r + s = 4.
Representando cada unidade por
Solução:
(1, 1, 1, 1)
(2, 1, 0, 1)
(4, 0, 0, 0)
• , temos:
Representação:
+ + +
• • • •
• •+•++•
• • • •+++
Note que o número de soluções é igual ao número de permutações da sequência
4
• e 3 +)
Sendo assim, temos
• • • • + + + ( 7 símbolos, sendo
7!
= 35 soluções.
4! 3!
Resposta: Podem ser formados 35 monômios de grau 4 com, no máximo, 4 letras.
b) O número de casos possíveis é 35 (item a).
Número de casos favoráveis:
4.3
= 6 modos de escolher 2 dos quatro números p, q, r e s para serem iguais a zero. Para o par
2!
restante ter grau quatro há apenas 3 possibilidades: (1,3), (2,2) e (3,1). Assim, o número de casos favoráveis é 6.3 = 18.
Inicialmente, temos
Logo, a probabilidade pedida é P =
Resposta:
18
35
18
35
COMENTÁRIO:
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Com as letras x, y, z e w podemos formar monômios de grau k, isto é, expressões do tipo xpyqwrzs, onde p, q, r e
s são inteiros não-negativos, tais que p + q + r + s = k. Quando um ou mais desses expoentes é igual a zero, dizemos
que o monômio é formado pelas demais letras. Por exemplo, y3z4 é um monômio de grau 7 formado pelas letras y e z
[nesse caso, p = s = 0].
a) Quantos monômios de grau 4 podem ser formados com, no máximo, 4 letras?
b Escolhendo-se ao acaso um desses monômios do item (a), qual a probabilidade dele ser formado por exatamente
duas das 4 letras?
RESOLUÇÃO ESPERADA 2
a) A quantidade de monômios de grau 4 é o número de soluções inteiras não negativas da equação p + q + r + s = 4.
Temos as seguintes possibilidades:
Solução
Nº de permutações
1) (4, 0, 0, 0)
4!
=4
3!
2) (3, 1, 0, 0)
4!
= 12
2!
3) (2, 2, 0, 0)
4!
=6
2! 2!
5) (2, 1, 1, 0)
6) (1, 1, 1, 1)
4!
= 12
2!
1
Total = 4 + 12 + 6 +12 + 1 = 35
Assim, podem ser formados 35 monômios de grau 4 com, no máximo, 4 letras.
b) O número de casos possíveis é 35 (item a).
Número de casos favoráveis:
Para haver somente duas letras, é necessário que exatamente dois dos quatro expoentes sejam iguais a zero. Aproveitando a resolução apresentada no item a, verificamos que isso ocorre nos casos 2 e 3, que tem, respectivamente,
12 e 6 possibilidades.
Portanto o número de casos favoráveis é 12 + 6 = 18
Logo, a probabilidade pedida é P =
18
35
COMENTÁRIO:
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