Universidade Federal do Rio de Janeiro
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
Departamento de Métodos Matemáticos
Gabarito da 1a Prova de Geometria I - Matemática - Monica
08/05/2013
1a Questão: (3 pontos) Dê uma prova ou um contra-exemplo:
1. Existe um exemplo de uma ”geometria” com 10 pontos, em que são válidos os dois
axiomas de incidência e em que todas as retas tenham exatamente quatro pontos.
Solução
Como toda reta tem exatamente 4 pontos e o conjunto tem 10 pontos, com certeza
esta ”geometria” vai satisfazer o primeiro axioma de incidência, pois existem pontos
que pertencem à reta e pontos que não pertencem.
A fim de satisfazer o segundo axioma de incidência, temos que construir retas contendo 4 pontos de tal modo que dados 2 pontos, exista uma única reta contendo-os.
Por exemplo, dado o conjunto de pontos {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J}, a primeira
reta pode ser {A, B, C, D}. Criamos então as retas {A, E, F, G} e {A, H, I, J}, o que
nos dá uma única reta contendo A e cada um dos outros pontos.
Voltando nossa atenção para o ponto B, verificamos que já existe uma reta contendo
B e os pontos A,C e D. Devemos construir retas contendo B e os pontos E, F , G,
H, I e J. A próxima reta não pode conter os pares (E, F ), (E, G), (F, G), (H, I),
(H, J) e (I, J). Assim, ela pode conter por exemplo, os pontos B, E, H, mas fica
faltando um ponto para que esta reta tenha 4 pontos.
Logo, um exemplo de uma ”geometria” deste tipo, não pode ser construı́do.
2. Na geometria do motorista de taxi, onde a distância entre dois pontos (x1 , y1 ) e
(x1 , y1 ) do plano cartesiano é calculada por |x1 − x2 | + |y1 − y2 |, o cı́rculo centrado
no ponto (0, 0) e raio de comprimento igual a 1 é ”redondo”.
Solução
O cı́rculo centrado no ponto (0, 0) e raio de comprimento igual a 1, tem equação:
|x1 − 0| + |y1 − 0| = 1.
Um esboço do cı́rculo pode ser visto a seguir e não é ”redondo”.
Um quadrilátero ABCD é uma figura formada pela sequência de pontos A, B, C e
D (chamados vértices do quadrilátero) e pelos segmentos AB, BC, CD e DA (chamados lados do quadrilátero), tais que os lados se interceptam somente nos vértices e
dois lados com mesma extremidade não pertencem a uma mesma reta.
Sejam r(A, B), r(B, C), r(C, D) e r(A, D) as retas que contém os lados do quadrilátero.
O quadrilátero é convexo se está contido em um dos semi-planos determinados pelas
retas r(A, B), r(B, C), r(C, D) e r(A, D).
3. Se ABCD e ABDC são ambos, quadriláteros, então ABCD e ABDC são convexos.
Solução 1
Um exemplo de dois quadriláteros ABCD e ABDC não convexos pode ser visto
a seguir:
Solução 2
Se ABCD é quadrilátero convexo, então ABDC nem é um quadrilátero (pois BD e
AC são diagonais que se intersectam no quadrilátero ABCD).
2a Questão: (3 pontos)
1. Se um quadrilátero ABCD não é convexo, prove que AB ∩ r(C, D) 6= Ø ou
BC ∩ r(A, D) 6= Ø ou CD ∩ r(A, B) 6= Ø ou AD ∩ r(B, C) 6= Ø.
Solução
Se o quadrilátero ABCD não é convexo, existe pelo menos uma reta r(A, B), r(B, C),
r(C, D) ou r(A, D), digamos (sem perda de generalidade) a reta r(A, B), tal que
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ABCD não está contido em um dos semi-planos determinados por r(A, B). Portanto,
os vértices C e D pertencem a semi-planos distintos determinados por r(A, B), o que
implica que CD ∩ r(A, B) 6= Ø.
2. Se ABCD é um quadrilátero convexo, prove que o ponto P do plano para o qual
a soma P A + P B + P C + P D é mı́nima e igual a AC + BD é o ponto de encontro
das diagonais AC e BD.
(Sugestão: aplique a desigualdade triangular aos triângulos P AC e P BD.)
Solução
Seja P um ponto do plano. Seguiremos a sugestão.
Aplicando a desigualdade triangular aos pontos P , A e C, temos
AC ≤ P A + P C,
onde a igualdade ocorre se e somente se os três pontos são colineares e P está entre
A e C.
Aplicando a desigualdade triangular aos pontos P , B e D, temos
BD ≤ P B + P D,
onde a igualdade ocorre se e somente se os três pontos são colineares e P está entre
B e D.
Logo
P A + P B + P C + P D ≥ AC + BD,
onde a igualdade (mı́nimo) ocorre se e somente se P está entre A e C e P está entre
B e D, isto é, o ponto P pertence às duas diagonais AC e BD.
3a Questão: (4 pontos) Complete a demonstração do teorema, justificando os passos da prova
a seguir:
Teorema: ”Se as retas r(B, C) e r(A, D) não se intersectam então o quadrilátero ABCD
é convexo.”
prova.
1. O segmento BC está contido num dos semi-planos determinados por r(A, D)
e o segmento AD está contido num dos semi-planos determinados por
r(B, C).
Solução
Uma reta divide um plano em dois semi-planos. Se as retas r(B, C) e r(A, D) não
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se intersectam, qualquer segmento contido numa das retas estará contido em um dos
semi-planos formado pela outra reta.
2. Supomos que AB não está contido num dos semi-planos determinados por r(C, D).
Seja H o semi-plano determinado pela reta r(B, C) que contém A e seja H ∗ o semiplano determinado pela reta r(A, D) que contém B.
Logo AB ∩ r(C, D) ⊂ H ∩ H ∗ ∩ r(C, D) = CD.
Solução
Como H contém r(B, C) e A, então contém o segmento AB.
Como H ∗ contém r(A, D) e B, então contém o segmento AB.
Portanto AB ⊂ H ∩ H ∗ e
AB ∩ r(C, D) ⊂ H ∩ H ∗ ∩ r(C, D).
Como D ∈ H, SCD ⊂ H e H ∩ r(C, D) = SCD .
Como C ∈ H ∗ , SDC ⊂ H ∗ e H ∗ ∩ r(C, D) = SDC .
Portanto
H ∩ H ∗ ∩ r(C, D) = SDC ∩ SDC = CD,
como querı́amos mostrar.
3. Absurdo!
Solução
Se AB ∩ r(C, D) ⊂ CD, temos que os segmentos AB e CD se intersectam, o que
é um absurdo, pois ABCD não seria um quadrilátero.
4. Como, de modo similar se prova que CD está contido num dos semi-planos determinados por r(A, B), então o quadrilátero ABCD é convexo.
Solução
No item 1, provamos que BC está contido num dos semi-planos determinados por
r(A, D) e AD está contido num dos semi-planos determinados por r(B, C). Nos
itens 2 e 3, que AB está contido num dos semi-planos determinados por r(C, D).
E, finalmente, que CD está contido num dos semi-planos determinados por r(A, B).
Portanto, o quadrilátero está contido em um dos semi-planos determinados por todas
as retas r(A, B), r(B, C), r(C, D) e r(A, D), o que mostra que é convexo.
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Comentários:
• Na 2a Questão, item 1, provar
”Se um quadrilátero ABCD não é convexo, então AB ∩ r(C, D) 6= Ø ou
BC ∩ r(A, D) 6= Ø ou CD ∩ r(A, B) 6= Ø ou AD ∩ r(B, C) 6= Ø.”
é equivalente a provar
”Se AB ∩ r(C, D) = Ø e BC ∩ r(A, D) = Ø e CD ∩ r(A, B) = Ø e AD ∩ r(B, C) = Ø
então o quadrilátero ABCD é convexo.”
• Mas, na 2a Questão, item 1, quem provou
”Se AB ∩ r(C, D) 6= Ø então o quadrilátero ABCD não é convexo.”
estava trabalhando uma outra proposição, não pedida na questão.
• Sempre que se oferece uma sugestão, é aconselhável segui-la...
• Quando mencionamos um quadrilátero, não desenhe um retângulo, pois seu argumento deixará completamente de ser geral...
• Cuidado com a notação.
• Cuidado ao ler o texto da prova. Por exemplo, na 3a Questão, item 3, muitos usaram
que AB ∩ r(C, D) = CD, e não era o que estava escrito no item anterior.
• E, NÃO USE A CONCLUSÃO PARA PROVAR A CONCLUSÃO!
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