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MATEMÁTICA – XX
FUNÇÕES POLINOMIAIS
TRIGONOMETRIA
1. (Uerj 2011)
O gráfico acima representa uma função polinomial P de variável real, que possui duas raízes
inteiras e é definida por:
4
3
2
P(x) = x - 3x + 2x + 16x + m
Determine o valor da constante representada por m e as quatro raízes desse polinômio.
2. (Ita 2011) – Entre duas superposições consecutivas dos ponteiros das horas e dos minutos
de um relógio, o ponteiro dos minutos varre um ângulo cuja medida, em radianos, é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
23
.
11
16
.
6
24
.
11
25
.
11
7
.
3
3. (Uel 2011) – Um relógio marca que faltam 20 minutos para o meio-dia. Então, o menor
ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos é:
a) 90°
b) 100°
c) 110°
d) 115°
e) 125°
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TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
O gráfico a seguir representa uma função polinomial do quarto grau p(x), tal que p(0) = 1.
4. (Insper 2011) Dos gráficos abaixo, aquele que melhor representa o gráfico de
a)
b)
c)
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d)
e)
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
Como o gráfico intersecta o eixo dos x nos pontos de abscissa 2 e 1, segue que:
P( 2)  P(1)  0  14  3  13  2  12  16  1  m  0
 m  16.
Assim, P(x)  x 4  3x3  2x2  16x  16.
Como 2 e 1 são raízes de P, temos que P é divisível por (x  2)(x  1). Aplicando o
dispositivo prático de Briot-Ruffini, vem:
2 1 3 2 16 16
1 1 5 12 8 0
1 4 8 0
Daí,
x  2
ou
2
P(x)  (x  2)(x  1)(x  4x  8)  0  x  1
ou
.
x 2  4x  8  0
Mas
x 2  4x  8  0  (x  2)2  4  0
 x  2  2i
 x  2  2i.
Portanto, m  16 e as quatro raízes de P são 2, 1, 2  2i e 2  2i.
Resposta da questão 2:
[C]
Velocidade do ponteiro dos minutos 2 rad/h.

Velocidade do ponteiro das horas. rad / h
6

11
Velocidade relativa 2 rad/h - rad / h 
rad / h .
6
6
Os ponteiros voltarão a se sobrepor quando:
11
12
k.
 2  k 
6
11
12
24
.2 
rad
11
11
Resposta da questão 3:
[C]
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Considere α a medida do ângulo procurado e calculando x, temos :
ponteiro das horas
ponteiro dos minutos
30o
x
60 min
40 min
Por tan to, x  20o
Logo, α  90o  20o  110o
Resposta da questão 4:
[A]
Do gráfico, segue que as raízes de p(x) são 3,  1, 1 e 2.
Como p(x) é do quarto grau, segue que
p(x)  a  (x  3)  (x  1)  (x  1)  (x  2), a 

.
Além disso, como p(0)  1, temos
1
1  a  3  2  (1)  (2)  a  .
6
Desse modo,
f(x)  x  p(x) 
1
 x  (x  3)  (x  1)  (x  1)  (x  2).
6
Por conseguinte, além das raízes de p, x  0 também é raiz de f.
1
Tomando arbitrariamente x  , obtemos
2
 1 1 1  1
 1  1  1

f        3     1    1    2   0,
2 6 2 2
 2  2  2

o que nos leva a concluir que a alternativa (A) contém o gráfico que melhor representa o
gráfico de f.
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