12.49 A haste compõe-se de dois eixos para os quais o momento de inércia de AB é
I e de BC é 2I. Determinar a inclinação e a deflexão máximas da haste devido ao
carregamento. O módulo de elasticidade é E.
Solução:
Vamos encontrar as equações de momento fletor:
L
M 1 = − Px ⇒ 0 ≤ x ≤
2
L
M 2 = − Px ⇒
≤x≤L
2
Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho):
L
EI y1 ' ' ( x ) = Px ⇒ 0 ≤ x ≤
2
L
2EI y 2 ' ' ( x ) = Px ⇒
≤x≤L
2
E, assim, resolvê-las através de duas integrações.
Primeira integração:
x2
L
EI y1 ' ( x ) = P
+ C1 ⇒ 0 ≤ x ≤
2
2
2
x
L
2EI y 2 ' ( x ) = P
+ C2 ⇒
≤x≤L
2
2
Segunda integração:
x3
L
EI y1 ( x ) = P
+ C1 x + C 3 ⇒ 0 ≤ x ≤
6
2
3
x
L
2EI y 2 ( x ) = P
+ C2 x + C4 ⇒
≤x≤L
6
2
As condições de contorno para a viga são:
PL2
y ' 2 ( L) = 0 ⇒ C 2 = −
2
3
PL
y 2 ( L) = 0 ⇒ C 4 =
3
5PL2
L
L
y'1   = y' 2   ⇒ C1 = −
16
2
2
3PL3
L
L
y1   = y 2   ⇒ C 3 =
16
2
2
A inclinação máxima (extremidade livre, x=0) é:
x 2 5PL2
0 2 5PL2
5PL2
EI y1 ' ( x ) = P
−
⇒ EI y1 ' (0) = P −
=−
2
16
2
16
16
2
5PL
∴ y1 ' (0) = θ max = −
16EI
O deslocamento máximo (extremidade livre, x=0) é:
x 3 5PL2
3PL3
0 3 5PL2
3PL3 3PL3
EI y1 ( x ) = P
x+
0+
=
−
⇒ EI y1 (0) = P −
6
16
16
6
16
16
16
3
3PL
∴ y1 (0) = y max =
16EI
Obs.: o eixo y positivo foi adotado para baixo.