TRABALHO DE MATEMÁTICA II
2o Trimestre / 2012
Prof. Sérgio Tambellini
2o Azul
GRUPO 1
Questão 04
(FUVEST2010) Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta bancária. Nessa senha, somente os
algarismos 1 , 2 , 3 , 4 , 5 podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de uma vez. Contudo,
supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha o número 13, isto é, o algarismo 1 seguido
imediatamente pelo algarismo 3. De quantas maneiras distintas Maria pode escolher sua senha?
01) 551 02) 552 03) 553 04) 554 05) 555
RESOLUÇÃO:
Número de casos possíveis: 5= 625
Número de casos favoráveis a que o algarismo 1 apareça seguido imediatamente do número 3:
I)
UM
C
D
U
Nº de casos possíveis
1
3
1
1,2,4,5
1x1x1x4=4
1
3
2,3,4 ou 5
1,2,3,4 ou 5
1x1x4x5=20
UM
C
D
U
Nº de casos possíveis
1,2,3,4,5
1
3
1,2,3,4 ou 5
5x1x1x5= 25
II)
III)
UM
C
D
U
Nº de casos possíveis
1
3
1
3
1
1
2,3,4,5
1,2,4,5
1,2,3,4,5
1
1
3
3
1x4x1x1=4
4x5x1x1=20
Num total de 74 casos favoráveis .
Logo Maria pode escolher a sua senha de (625 – 74) = 551
Questão 31
(PUC RIO 2011) Em uma caixa há 3 meias azuis 5 meias pretas e 7 meias brancas. Qual o numero mínimo de meias que devemos
retirar para garantir que tenhamos retirado pelo menos um par de meias da mesma cor?
(A) 2
(B) 4
(C) 6
(D) 8
(E) 13
Resposta: (B) 4
RESOLUÇÃO
Com três meias podemos ter uma de cada cor, mas com quatro haverá obrigatoriamente uma das três cores
para a qual teremos pegado pelo menos duas meias.
GRUPO 2
Questão 08-(PUC MINAS 2009)
As portas de acesso de todos os apartamentos de certo hotel são identificadas por meio de números ímpares
formados com 3 elementos do conjunto M = {3, 4, 6, 7, 8}. Nessas condições, é correto afirmar que o
número máximo de apartamentos desse hotel é:
a) 24
b) 36
c) 44
d) 50
Para o número ser ímpar, o algarismo das unidades só poderá ser 3 ou 7)
Então,
Com o final sendo 3, restam 2 casas à serem preenchidas e 5 números. Então 5*5 = 25
Agora com o final valendo 7, restam 2 casas também, portanto 5*5 = 25
Somando as 2 possibilidades, 25 + 25 = 50
Obs: O exercício não fala de algarismos distintos, por isso os números podem repetir .
Questão 20- (UFJF 2009)
De quantas maneiras podemos escolher 3 números naturais distintos dentre os inteiros
de 1 a 20, de modo que a soma dos números escolhidos seja ímpar?
a) 100
b) 360
c) 570
d) 720
e) 1140
de 1 a 20 ==> 10 números pares, 10, ímpares.
para a soma de 3 números seja ímpar, a soma desses números devem ser:
(par + par + ímpar) ou (ímpar + ímpar + ímpar)
escolhemos três números impares.
1+3+5= 5+3+1 é igual, portanto, não precisa de ordem.
então é uma combinação.
"par + par + ímpar" ==> C10,2 * C10,1 = 450
"ímpar + ímpar + ímpar" ==> C10,3 = 120
logo, há 450 + 120 = 570 maneira
GRUPO 3
Questão 11- (UFMG 2010)
Para montar a programação de uma emissora de rádio, o Programador musical conta com 10 músicas
distintas, de diferentes estilos, assim agrupadas: 4 de MPB, 3 de Rock,3 de Pop. Sem tempo para fazer essa
programação, ele decide que em cada um dos programas da emissora, serão tocadas, de forma aleatória, todas
as 10 músicas. Assim sendo, é CORRETO afirmar que o número de programas distintos em que as músicas
vão ser tocadas, agrupadas por estilo, é dado por:
a)
b)
c)
d)
Resolução:
Alternativa a)
Temos 3 estilos de música, 3 grupos: MPB, Rock, Pop.
Dentro de cada grupo, podemos ordenar as músicas de MPB 4! maneiras diferentes, as de Rock 3! diferentes
e as de Pop 3! diferentes:
Além disso, podemos permutar a ordem dos estilos de 3! Maneiras:
Questão 27-(UEMG 2010)
Observe a tirinha abaixo:
A Mônica desafia seus amigos, numa brincadeira de “cabo de guerra”.
Supondo que a posição da Mônica pode ser substituída por qualquer um de seus amigos, e que ela pode
ocupar o outro lado, junto com os demais, mantendo-se em qualquer posição, o número de maneiras distintas
que podem ocorrer nessa brincadeira será igual a
a) 60.
b) 150.
c) 600.
d) 120.
Resolução:
No enunciado, entende-se que qualquer um dos amigos pode ocupar qualquer posição. Logo:
P5 = 5! = 120
(5 amigos em 5 posições)
GRUPO 4
Questão 13 – (UFRN 2010)
A figura ao lado mostra um quadro com sete lâmpadas fluorescentes, as quais podem estar
acesas ou apagadas, independentemente umas das outras. Cada uma das situações possíveis
corresponde a um sinal de um código. Nesse caso, o número total de sinais possíveis é
a) 21
b) 42
c)128
d) 256
Resolução:
2n = 27 = 2.2.2.2.2.2.2 = 128
Questão 40 – (UERJ 2010)
Um cofre eletrônico possui um painel com dez teclas numéricas e pode ser aberto por meio
da digitação, em qualquer ordem, de três teclas distintas dentre seis habilitadas previamente
pelo fabricante. Considere n o número máximo de conjuntos distintos de três teclas que
abrem o cofre. Na figura em destaque, as teclas azuis representam as habilitadas previamente.
Se o fabricante reduzisse para cinco o número de teclas habilitadas, haveria entre elas um
total de m conjuntos distintos de três teclas distintas para abrir o cofre.
Calcule o valor de n – m.
Resolução:
Combinação simples
Cn,p= An,p/ Pp
C6,3= A6,3/ P3
C6,3= 6x5x4/3x2x1
C6,3= 20
Cm,p= Am,p/ Pp
C5,3= A5,3/ P3
C5,3= 5x4x3/3x2x1
C5,3= 10
Cn,p – Cm,p
20-10 = 10
GRUPO 5
Questão 16 (PUC-RS 2009)
Em uma sala existem 10 pessoas, sendo 8 mulheres e 2 homens. O número de possibilidades de formar, com
essas 10 pessoas, um grupo que contenha exatamente 3 mulheres e 2 homens é
A) C8,3
B) C10,5
C) 2C8,3
D) A10,5
E) A8,3
Resolução
MULHERES
HOMENS
TOTAL
C8,3 = n!/ p!(n-p)!
C8,3 = 8!/ 3!(8-3)!
C8,3 = 8.7.6.5!/ 6.5!
C8,3 = 8.7
C8,3 = 56
C2,2 = n!/ p!(n-p)!
C2,2 = 2!/ 2!(2-2)!
C2,2 = 2/ 2. 0!
C2,2 = 1
56x1 =
56 =
C8,3
RESPOSTA: letra A
Questão 22 (ENEM 2010)
João mora na cidade A e precisa visitar cinco clientes, localizados em cidades diferentes da sua. Cada trajeto
possível pode ser representado por uma sequência de 7 letras. Por exemplo, o trajeto ABCDEFA, informa
que ele sairá da cidade A, visitando as cidades B, C, D, E e F nesta ordem, voltando para a cidade A. Além
disso, o número indicado entre as letras informa o custo do deslocamento entre as cidades. A figura mostra o
custo de deslocamento entre cada uma das cidades.
Como João quer economizar, ele precisa determinar qual o trajeto de menor custo para visitar os cinco
clientes. Examinando a figura, percebe que precisa considerar somente parte das sequências, pois os trajetos
ABCDEFA e AFEDCBA têm o mesmo custo. Ele gasta 1min30s para examinar uma sequência e descartar
sua simétrica, conforme apresentado.
O tempo mínimo necessário para João verificar todas as sequências possíveis no problema é de
A) 60 min.
B) 90 min.
C) 120 min.
D) 180 min.
E) 360 min.
Resolução
O número de sequências possíveis para visitar as 5 cidades é 5! = 120. Do enunciado, cada sequência possui
uma única simétrica, que não precisa ser examinada. Assim, o número de sequências que João precisa
verificar é
120/2 = 60.
Desse modo, o tempo necessário é 1,5 ⋅ 60 = 90 minutos. Resposta = letra B
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