Matemática e suas
Tecnologias - Matemática
Ensino Fundamental, 7º Ano
Proporção: grandezas diretamente
proporcionais
MATEMÁTICA, Ensino Fundamental, 7° Ano.
Proporção: grandezas diretamente proporcionais
Imagem: G.Wienand / GNU Free
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Olá, pessoal!
Eu sou a Corujinha da
Sabedoria e sempre estarei
trazendo
dicas
e
curiosidades para você!
Nesse sentido, iremos juntos
aprender muito!
Vamos lá?
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Proporção: grandezas diretamente proporcionais
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Você sabe qual será nosso
conteúdo a ser estudado?
Ainda não? Vamos ver?
Iremos juntos discutir sobre
proporção e, principalmente,
sobre
as
grandezas
diretamente proporcionais!
Você já ouviu falar?
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Proporção: grandezas diretamente proporcionais
Antes de conceituarmos,
que tal pensarmos em
algumas situações que nos
lembrem sobre o conteúdo
da semana?
Discuta com seus colegas o
que
vocês
têm
de
conhecimento
sobre
proporção,
fazendo
anotações em seu caderno.
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Proporção: grandezas diretamente proporcionais
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Imagem: U.S. Department of Agriculture / Creative
Commons Attribution 2.0 Generic
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Commons - Atribuição 2.0 Genérica
Agora pare e pense um pouco, junto com seus
colegas!
1) Existem proporções, quando as merendeiras de
sua escola fazem sua merenda? Justifique.
2) Existem proporções quando pedreiros estão
“traçando” a massa de cimento? Justifique.
E agora você conseguiu perceber as
proporcionalidades em seu dia a dia?
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Proporção: grandezas diretamente proporcionais
Vamos pensar em um exemplo?
Imagine você uma receita de um bolo que dá para
10 pessoas. Se uma dona de casa quer fazer 2
bolos, será preciso dobrar toda a receita ou apenas
alguns ingredientes?
Ingredientes:
2 xícaras (chá) de leite.
1 e ½ xícara (chá) de fubá.
1 vidro de leite de coco (200ml).
3 ovos.
2 colheres (sopa) de margarina.
100 g de queijo parmesão ralado.
1 lata de leite condensado.
1 e ½ xícara (chá) de açúcar.
100 g de coco ralado.
1 colher (sopa) de fermento em pó.
Imagem: David.Monniaux / GNU Free Documentation License
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Tópico:Proporção: grandezas diretamente proporcionais.
Pensando em um exemplo de um grupo de pedreiros.
Imagine que para preparar uma massa de cimento para um determinado
serviço, os pedreiros utilizam:
1 lata de cimento
5 latas de areia
2 latas de brita
3 latas de água
Imagem: Brice Blondel for HDPTCAR / Creative
Commons - Atribuição 2.0 Genérica
A partir destas informações, para realizar este trabalho os pedreiros
precisarão repetir 5 vezes este preparo de massa.
Qual será a quantidade de cada produto para fazer 5 vezes a mais? Este
exemplo é um caso de grandezas proporcionais? Justifique a partir de
uma discussão com seus colegas e professor(a).
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Proporção: grandezas diretamente proporcionais
Vamos a uma curiosidade?
A proporcionalidade não é apenas algo a
ser referenciado ao nosso dia a dia. Na
história da humanidade a necessidade de
comparar e mediar sempre existiu. Observe
a figura de como se calculava a altura das
pirâmides, que através da proporcionalidade
se media a sombra da mesma e de uma
estaca (vara) ao chão. Esta observação
partiu-se de Thales de Mileto, que fazia as
medidas sem ter que subir as pirâmides
altas. Percebeu na história a necessidade
de medir alturas é antiga, e através das
proporções começou a analisar o que antes
era impossível?
Quer saber mais sobre Thales de Mileto?
Acesse o link:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Thales_de_Mileto
Imagem: Khephren Pyramid, Egypt / SveMir (Svetlana i Mirko) /
Domínio Público
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Proporção: grandezas diretamente proporcionais
Agora que observamos alguns exemplo, vamos definir?
Segundo o Wikipédia, a proporcionalidade, para a matemática, a química
e a física, é a mais simples e comum relação entre grandezas. A
proporcionalidade direta é um conceito matemático amplamente
difundido na população leiga pois é bastante útil e de fácil resolução
através da "regra de três". Quando existe proporcionalidade direta, a
razão (divisão) entre os correspondentes valores das duas grandezas
relacionadas é uma constante, e a esta constante dá-se o nome de
constante de proporcionalidade.
Podemos observar também o conceito que o dicionário web, traz sobre a
proporcionalidade: “estado das quantidades proporcionais entre si.”
E agora, qual conceito você daria para a proporcionalidade?
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Proporção: grandezas diretamente proporcionais
E o conceito de grandeza? Como você definiria? Vamos observar a
definição que o site “passeiweb¹” nos traz?
Segundo o site, grandeza é uma relação numérica estabelecida com
um objeto. Assim, a altura de uma árvore, o volume de um tanque, o
peso de um corpo, a quantidade pães, entre outros, são grandezas.
Também podemos recorrer à definição que o “dicionário online”² nos
traz, afirmando que Grandeza é tudo que você pode contar, medir,
pesar, enfim, enumerar.
______________________________________________________________________________________________
1.Fonte: http://www.passeiweb.com/na_ponta_lingua/sala_de_aula/matematica/algebra/grandeza/grandeza_razao_proporcao
2.Fonte: http://www.dicionarioweb.com.br/grandeza.html
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Proporção: grandezas diretamente proporcionais
Podemos perceber que já analisamos sobre proporção
através de suas aplicações, assim como grandezas. Vamos
agora conceituar Grandezas Diretamente Proporcionais
(G.D.P.)?
Você se lembra do exemplo do bolo que já estudamos?
À medida que aumentamos os ingredientes de um bolo ,
maior será a quantidade (fatias) deste bolo. Percebeu?
Então, podemos definir as grandezas diretamente
proporcional com este exemplo. À medida que aumenta
uma grandeza, irá também aumentar a segunda grandeza.
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Proporção: grandezas diretamente proporcionais
Agora chegou a sua vez de completar os
espaços, de modo que seja uma grandeza
proporcional direta. Vamos lá?
Lata de areia
Lata de cimento
5
1
10
15
20
25
30
Imagem: Brice Blondel for HDPTCAR / Creative
Commons - Atribuição 2.0 Genérica
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Proporção: grandezas diretamente proporcionais
Agora, continuando a ver proporcionalidade, será
que em ½ e ¼ de bolo, teremos proporcionalidade
direta?
Bolo
Fatias
1
16
2
3
10
Imagem: David.Monniaux / GNU Free Documentation License
1/2
1/4
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Proporção: grandezas diretamente proporcionais
Agora chegou a sua vez!
1)O que você percebeu à medida que aumentou a
quantidade de bolos? Aumentará a quantidade
de fatias?
E à medida que diminuiu a
quantidade de bolo, o que acontecerá com as
fatias?
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Proporção: grandezas diretamente proporcionais
Agora que já estudamos sobre as proporções
diretamente
proporcionais,
que
tal
discutirmos sobre “Regra da Sociedade” que
também refere-se à proporcionalidade? Você
já ouviu falar? Ainda não? Vamos a ela?
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Proporção: grandezas diretamente proporcionais
Vamos a um exemplo prático de Regra da Sociedade?
Três sócios devem dividir, proporcionalmente, o lucro
de R$ 30.000,00. O sócio “A” investiu R$ 60.000,00, o
sócio “B”, R$ 40.000,00 e o sócio “C”, R$ 50.000,00.
Qual a parte correspondente de cada um?
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Proporção: grandezas diretamente proporcionais
Solução
Ao somarmos os valores que cada um receberá, devemos
constituir o lucro de R$ 30.000,00. Como não sabemos o
valor que cada um receberá, vamos considerar que:
A=x
B=y
C=z
Vamos relacionar os x, y e z aos investimentos de cada
um, através de uma razão:
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Proporção: grandezas diretamente proporcionais
x +
y + z =
x+y+z
= 30.000 =0,2
60.000 40.000 50.000 60.000+40.000+50.000 150.000
x =0,2
60.000
y =0,2
40.000
x=60.000*0,2 y=40.00*0,2
x=12.000
y=8000
z =0,2
50.000
z=50.000*0,2
z=10.000
Logo, os sócios receberão as seguintes quantias:
A= R$12.000
B= R$ 8.000
C= R$ 10.000
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Tópico:Proporção: grandezas diretamente proporcionais.
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Perceberam o quanto as
grandezas diretamente
proporcionais estão em nosso dia
a dia? E que inclusive as Regras
da Sociedade fazem parte das
grandezas?
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Tópico:Proporção: grandezas diretamente proporcionais.
Que tal agora assistirmos a um vídeo que nos
ajudará a entender melhor nosso conteúdo de
grandezas diretamente proporcionais? Será que
grandezas serão apenas com números? Depois
de assistir ao vídeo, discuta com seus colegas.
Acessem o link:
http://www.youtube.com/watch?v=deR2HdCTm04
Imagem: G.Wienand / GNU Free
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Você irá perceber que o vídeo trabalha sobre
grandezas diretamente proporcionais, resgatando
o conceito de Razão. Vamos conferir?
Ao final do vídeo façam grupos e ampliem um
desenho a sua escolha e depois você deverá
discutir com os demais quais instrumentos que
utilizou e justificar o por que escolheu este seu
desenho.
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Tópico:Proporção: grandezas diretamente proporcionais.
ENEM 2011- A análise da tabela permite identificar um intervalo de
tempo no qual uma alteração na proporção de eleitores inscritos resultou
de uma luta histórica de setores da sociedade brasileira. O intervalo de
tempo e a conquista estão associados, respectivamente, em:
A) 1940-1950 — direito de voto para os ex-escravos.
B) 1950-1960 — fim do voto secreto.
C) 1960-1970 — direito de voto para as mulheres.
D) 1970-1980 — fim do voto obrigatório.
E) 1980-1996 — direito de voto para os analfabetos.
Gabarito Letra E
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Proporção: grandezas diretamente proporcionais
(ENEM-2010) Desde 2005, o Banco Central não fabrica mais a nota
de R$ 1,00 e, desde então, só produz dinheiro nesse valor em
moedas. Apesar de ser mais caro produzir uma moeda, a
durabilidade do metal é 30 vezes maior que a do papel. Fabricar uma
moeda de R$ 1,00 custa R$ 0,26, enquanto uma nota custa R$ 0,17,
entretanto, a cédula dura de oito a onze meses.
Disponível em: http://noticias.r7.com. Acesso em: 26 abr. 2010.
Com R$ 1 000,00 destinados a fabricar moedas, o Banco Central
conseguiria fabricar, aproximadamente, quantas cédulas a mais?
A)
B)
C)
D)
E)
1 667
2 036
3 846
4 300
5 882
Gabarito: Letra B
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(ENEM-2010)Nos últimos anos, a corrida de rua cresce no Brasil. Nunca se
falou tanto no assunto como hoje, e a quantidade de adeptos benefícios para a
saúde física e mental, além de ser um esporte que não exige um alto investimento
financeiro.
Disponível em:http://www.webrun.com.br. Acesso em: 28 abr. 2010.
Um corredor estipulou um plano de treinamento diário, correndo 3 quilômetros
no primeiro dia e aumentando 500 metros por dia, a partir do segundo. Contudo,
seu médico cardiologista autorizou essa atividade até que o corredor atingisse, no
máximo, 10 km de corrida em um mesmo dia de treino. Se o atleta cumprir a
recomendação médica e praticar o treinamento estipulado corretamente em dias
de treino, só poderá ser executado em, exatamente:
A
B
C
D
E
12 dias.
13 dias.
14 dias.
15 dias.
16 dias.
Gabarito: Letra D
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Proporção: grandezas diretamente proporcionais
(ENEM 2010) João tem uma loja onde fabrica e vende moedas de
chocolate com diâmetro de 4 cm e preço de R$ 1,50 a unidade. Pedro
vai a essa loja e, após comer várias moedas de chocolate, sugere ao
João que ele faça moedas com 8 cm de diâmetro e mesma espessura
e cobre R$ 3,00 a unidade. Considerando que o preço da moeda
depende apenas da quantidade de chocolate, João:
A) aceita a proposta de Pedro, pois, se dobra o diâmetro, o preço
também deve dobrar.
B) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 12,00.
C) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 7,50.
D) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 6,00.
E) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 4,50.
Gabarito: Letra D
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Proporção: grandezas diretamente proporcionais
(ENEM
2010) As Olimpíadas de 2016 serão realizadas na cidade do Rio
de Janeiro. Uma das modalidades que trazem esperanças de medalhas para
o Brasil é a natação. Aliás, a piscina olímpica merece uma atenção
especial devido as suas dimensões. Piscinas olímpicas têm 50 metros de
comprimento por 25 metros de largura. Se a piscina olímpica fosse
representada em uma escala
A)
B)
C)
D)
E)
0,5 centímetro de comprimento e 0,25 centímetro de largura.
5 centímetros de comprimento e 2,5 centímetros de largura.
50 centímetros de comprimento e 25 centímetros de largura.
500 centímetros de comprimento e 250 centímetros de largura.
200 centímetros de comprimento e 400 centímetros de largura.
Gabarito: Letra C
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Tópico:Proporção: grandezas diretamente proporcionais.
Vamos resolver algumas questões que envolvem
Sociedade”?
“Regra da
1. Dois irmãos formaram uma sociedade, entretanto, o primeiro com R$
5000,00 e o segundo com R$ 6.000,00. Ao final de um ano, registrou-se
um lucro de R$ 1400,00. Quanto do lucro cabe a cada sócio?
2. Três pessoas formaram uma sociedade, entretanto cada uma delas com
o mesmo capital. A primeira, ficou na sociedade dois meses, a segunda
permaneceu por quatro meses e a terceira por oito meses. Que parte do
lucro de R$ 1700,00 caberá a cada um dos três sócios?
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Proporção: grandezas diretamente proporcionais
Como podemos perceber em exemplos anteriores a imagem de uma foto ao
ser ampliada ou reduzida deverá ser feita através de proporcionalidades.
Portanto, imagine que a dimensão desta foto é 10x15 em (cm) . Cite
tamanhos proporcionais a esta dimensão, permanecendo de forma
proporcional. Discuta depois com seus colegas.
Imagem: Muffet / Creative Commons Attribution 2.0 Generic
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Proporção: grandezas diretamente proporcionais
Imagem: G.Wienand / GNU Free
Documentation License
Gostaram de nossa aula?
Agora chegou a sua vez de formar seu
grupo e fazer uma maquete e inclusive
poderá ser a maquete de sua escola.
Que tal?
Assim, você estará percebendo que
pode estudar sobre razão e proporções
diretamente proporcionais com esta
atividade. Vamos colocar a mão na
massa? No final fale com seu professor
ou professora para fazer uma
exposição.
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Proporção: grandezas diretamente proporcionais
Créditos das Imagens:
Figura 1: http://oscandangosdf.blogspot.com.br/2009_07_01_archive.html
Figura 2: http://www.feiradesantana.ba.gov.br/noticia.asp?id=3923
Figura 3: http://www.aceav.pt/blogs/ilidiasuarez/Lists/Artigos/Post.aspx?ID=33
Figura 4:
http://www.google.com.br/imgres?q=coruja+pedagogica&num=10&hl=ptBR&sa=G&biw=1280&bih=666&tbm=isch&tbnid=DAYzjdtZBJtgM:&imgrefurl=http://interacaonapedagogia.blogspot.com/2010/11/porque-coruja.html&docid=ZgWrQ6vPRm0h5M&imgurl=http://3.bp.blogspot.com/_nuQxpycnUQ/TN38QaX4rtI/AAAAAAAAAAw/BGdza4uokE0/s1600/Coruja.png&
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ed=1t:429,r:1,s:0,i:77&tx=46&ty=73
Figura 5: http://www.oiwo.com/fotos-antigas/
MATEMÁTICA, Ensino Fundamental, 7° Ano.
Proporção: grandezas diretamente proporcionais
Referências Bibliográficas:
•BIGODE, Antonio Jose Lopes. Matemática Volume 2. Ensino Fundamental . São Paulo.
Editora: Atual, 2009.
• GIOVANNI, José Ruy. A Conquista da matemática: a + nova. São Paulo: FTD, 2002.
• IEZZI, Gelson ... [ et al] Matemática: ciência e aplicação. Ensino Fundamental. São
Paulo: Atual, 2004.
•PASSEIWEB. Disponível em:
http://www.passeiweb.com/na_ponta_lingua/sala_de_aula/matematica/algebra/grandeza/gr
andeza_razao_proporcao. Acessado em: 6 de Junho de 2012.
• WIKIPEDIA. Disponível em:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Propor%C3%A7%C3%A3o_direta. Acessado em: 6 de Junho
de 2012.
Tabela de Imagens
n° do direito da imagem como está ao lado da foto
slide
link do site onde se consegiu a informação
2, 3, 4, G.Wienand / GNU Free Documentation
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Amelie_30
5a License
0dpi.png
5b U.S. Department of Agriculture / Creative
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Commons Attribution 2.0 Generic
ng_-_Flickr_-_USDAgov.jpg
5c Brice Blondel for HDPTCAR / Creative
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Bricklayer.jpg
Commons - Atribuição 2.0 Genérica
6 David.Monniaux / GNU Free Documentation http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cake_cropp
License
ed.png
7 Brice Blondel for HDPTCAR / Creative
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Bricklayer.jpg
Commons - Atribuição 2.0 Genérica
8 Khephren Pyramid, Egypt / SveMir (Svetlana i http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Khafre%27s_Py
Mirko) / Domínio Público
ramid.jpg
12 Brice Blondel for HDPTCAR / Creative
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Bricklayer.jpg
Commons - Atribuição 2.0 Genérica
13 David.Monniaux / GNU Free Documentation http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cake_cropp
License
ed.png
19, 20 G.Wienand / GNU Free Documentation
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Amelie_30
e 28 License
0dpi.png
27 Muffet / Creative Commons Attribution 2.0 http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Morning_
Generic
mist.jpg
Data do
Acesso
20/09/2012
20/09/2012
20/09/2012
20/09/2012
20/09/2012
20/09/2012
20/09/2012
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20/09/2012
20/09/2012