Aproximação de funções pela fórmula de Taylor
Função f com domínio em R.
Informações: ponto a e f derivável até ordem n+1
f(x) = f(a) + f’(a)(x – a) + (f’’(a)(x – a)2 )/2! +(f’’’(a)(x – a )3 )/3! +
+ …..+ (fn(a)(x – a)n )/n! + (fn+1(ξ)(x – a)n+1 )/(n+1)!
termo do resto
f(x) ~ f(a) + f’(xk)(x – a) + (f’’(a)(x – a)2 )/2! +(f’’’(a)(x – a)3 )/3! +
+ …..+ (fn(a)(x – a)n )/n!
Exemplo 1: f(x) = exp(x), a = 0
Aproximação de ordem 1: (função linear)
f(x) ~ f(0) + f’(0)(x – 0) = exp(0) + exp(0)(x-0)
f(x) ~ 1 + (x – 0) = 1 + x
Aproximação de ordem 2: (polinômio de grau 2)
f(x) ~ f(0) + f’(0)(x – 0) + f’’(0)((x – 0)2)/2
= exp(0) + exp(0)(x-0) + exp(0)(x-0))2)/2
f(x) ~ 1 + x + 0.5x2
f(x) = exp(x)
Aproximação linear:
f(x) ~ 1 + x
Aproximação quadrática: f(x) ~ 1 + x + 0.5x2
x
f(x) = exp(x)
r(x) = 1 + x
q(x) = 1 + x + 0.5x2
-2
0.135334
-1.0
1.0
-1
0.367879
0.0
0.5
-0.5
0.606530
0.5
0.625
-0.2
0.818731
0.8
0.82
0
1.0
1.0
1.0
0.2
1.221402
1.2
1.22
0.5
0.606531
0.5
0.625
1.0
2.718281
2.0
2.5
2.0
7.389056
3.0
5.0
Exemplo 2: f(x) = cos(x), a = π/4
Aproximação de ordem 1: (função linear)
f(x) ~ f(π/4) + f’(π/4)(x – π/4)
f(x) ~ cos(π/4) - sen(π/4)(x - π/4)
Aproximação de ordem 2: (polinômio de grau 2)
f(x) ~ cos(π/4) - sen(π/4)(x – π/4) - cos(π/4)((x – π/4)2)/2