FUNÇÃO EXPONENCIAL
Definição: Dado um número real a, com a > 0 e a ≠ 1 , chamamos função exponencial de base
a a função f de R → R que associa a cada x real o número ax .
Podemos escrever, também:
f: R → R
x → ax
Exemplos de funções exponenciais em R:
a) f(x) = 2x
1 
2
d) f(x) = e-x
x
b) f(x) =  
e) f(x) = 10x
c) f(x) = ex
Gráfico: O gráfico de f(x) = ax tem o seguinte aspecto:
1) Se a > 1
2) Se 0 < a < 1
função crescente
função decrescente
Observamos que nos dois casos, a imagem da função exponencial é: Im = R+*.
Dizemos, ainda, que a função f(x) = ax , corta o eixo y no ponto (0, 1).
Equações exponenciais
Definição: Equações exponenciais são equações com incógnita no expoente.
Exemplos
a) 2x = 64
b)
( 3 )x = 3 81
c) 4x – 2x = 2
Para resolvermos essas equações, devemos reduzir ambos os membros em potências de
mesma base, usando para isso as propriedades de potência.
Pelo fato da função exponencial f(x) = ax ser injetora, podemos concluir que potências iguais e
de mesma base têm os expoentes iguais, ou seja:
ab = ac ⇔ b = c
(a > 0 e a ≠ 1 )
Exemplos
a) 2x = 64
b)
( 3 )x = 3 81
2x = 26
(3 )
x=6
1
x
32
V = {6}
1
4
x
2
3
= 33
1 /2 x
=
c) 4x – 2x = 2
= (81)1 / 3
22x – 2x – 2 = 0
1
4 3
(3 )
fazendo 2x = t
t2 – t – 2 = 0
1
4
x=
2
3
x=
temos que t = – 1 ou t = 2
8
3
V={
2x = – 1 ou 2x = 2
8
}
3
∃/ x / 2x = – 1
2x = 21
x=1
V = {1}
LOGARITMOS
Definição: Seja b ≠ 1 um número real positivo. Dado um número positivo x qualquer,
existe um único número real y tal que x = b y . Este número y é chamado logaritmo do
número x na base b e será denotado por y = log b x .
Temos, então, a igualdade:
y = log b x ⇔ x = b y
Exemplos:
1) Calcule log 3 9 .
Da igualdade acima temos:
y = log 3 9 ⇔ 9 = 3 y ⇔ 3 2 = 3 y ⇔ y = 2 .
Logo, log 3 9 = 2
2) Calcule log 4 2 .
Da igualdade acima temos:
1
y = log 4 2 ⇔ 2 = 4 y ⇔ 2 = 22 y ⇔ 2y = 1 ⇔ y = .
2
Logo, log 4 2 =
1
2
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Para cada número real positivo b ≠ 1 , definimos a função logarítmica, na base b, como sendo a
função f : ( 0, + ∞ ) → R , que a cada número real positivo x associa o número real f (x ) = log b x
Gráficos
A função logaritmo de x na base b, pode ser representada graficamente de duas maneiras
diferentes, dependendo do valor de b, como figura abaixo:
b>1
0<b<1
Como se vê nos gráficos acima, a função logarítmica é crescente se b > 1 e é decrescente se
0 < b < 1. O domínio da função logarítmica é o conjunto dos números reais positivos e sua
imagem é o conjunto de todos os números reais, ou seja, logb : R + → R .
Propriedades
Sejam b > 0 e b ≠ 1 , M > 0, N > 0 e r números reais, então:
a) log b (M N) = log b M + log b N
d) log b b = 1
 M
b) log b   = log b M − log b N
 N
e) log b 1 = 0
c) log b (M)r = r ⋅ log b M
Mudança de base
Sejam a e b números reais positivos com a ≠ 1 e b ≠ 1 , para qualquer número real positivo M
temos a igualdade:
log b M =
log a M
log a b
Exemplo
Escreva a seguinte expressão log 6 x + 2 log 6 y − 3 log 6 z com um único logaritmo.
xy 2
Solução: log 6 x + 2 log 6 y − 3 log 6 z = log 6 x + log 6 y 2 − log 6 z 3 = log 6
z3
Logaritmos especiais
Dois logaritmos possuem notações próprias que são:
•
f (x ) = log10 x , que será denotado simplesmente por f (x ) = log x e será chamado
logaritmo decimal (na base 10).
•
f (x ) = log e x , que será denotado simplesmente por f (x ) = ln x e será chamado logaritmo
natural (ou Neperiano), onde e representa o número de Napier, base da função
exponencial g( x ) = e x , cujo valor aproximado é e = 2,7182...
Relação entre função logarítmica e função exponencial:
As funções f (x ) = log b x e g( y ) = b y são funções inversas, uma da outra, pois pela própria
definição de logaritmo temos, log b x = y ⇔ x = b y e, assim,
g(f ( x )) = g(log b x ) = blog b x = x e
( )
f (g( y )) = f b y = log b (b y ) = y
Exemplo
Durante quanto tempo devemos investir R$ 900,00 a uma taxa de 10% ao ano, no sistema de
juros compostos, para resgatar R$ 1.500,00?
Solução:
Da fórmula de juros composto, PF = PV(1 + i) t , onde PF é o valor a ser resgatado, PV é o
valor aplicado, i é a taxa e t é o tempo de aplicação, temos que:
t
10 
5

 5  log(5 / 3) 0,2219
t 1500
1500 = 9001 +
⇔ (1,1)t = ⇔ t = log1,1  =
=
= 5,3599
 ⇔ (1 + 0,1) =
100 
900
3
log(1,1)
0,0414

 3
EXERCÍCIOS SOBRE EXPONENCIAL E LOGARITMO
1) Esboce o gráfico das seguintes funções:
a) f(x) = 2x
1 
2
1 
2
x
x
d) f(x) =   - 3
b) f(x) =  
e) f(x) = 3.2x
c) f(x) = 2x + 2
f) f(x) = 2
x
2) Resolva as seguintes equações exponenciais:
d) (2x )x + 4 = 32
x
1 
a)   = 125
5 
e) 4x + 1 – 9.2x + 2 = 0
b) 125x = 0,04
c) 5
3x-1
 1 
=

 25 
2x + 3
3) Calcule o valor do logaritmo dado.
1
64
a) log 8 64
b) log 4 64
c) log 64 8
d) log 2
e) log 2 1
f) log 2 2
g) log 1 8
h) log 1 81
2
3
4) Determine o domínio e faça um esboço do gráfico da função dada.
a) f (x ) = log 1 x
b) f (x ) = log 2 x
c) f (x ) = ln( x + 1)
e) f (x ) = log 1 (− x )
f) f (x ) = − log 1 x
4
d) f (x ) = ln( x − 2)
2
3
5) Reduza a expressão dada em um único logaritmo.
a) 4 log x +
1
log y
2
b) 5 ln x +
c) 3 log b ( x ) + log b (2y ) − 1
6) Sendo ln a = 2, ln b = 5, ln
a) ln(ab )
2
ln y − 3 log 6 1
3
d) log 9 x + log 3 6 − 3 log 9 z
3
= −0,51 , calcule.
5
b) ln ab
c) ln(a 2 b3 )
d) ln(
3b 2
5 a
3
)
7) Resolva as seguintes equações:
a) ln x + ln 3 = ln 9
c) ln x − ln( x − 1) = ln 2 + ln( 3 − x )
b) ln (x − 2x 2 ) + ln 4 = 0
d) ln x 2 − ln x − ln 4 = 0
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DO CÁLCULO ZERO
EXPONENCIAL
1a)
1b)
1c)
1d)
1e)
1f)
 5

 7
2a) V = {-3}
2c) V = −
 2

 3
2b) V = −
2e) V = {-2; 1}
2d) V = {-5; 1}
LOGARTIMOS
3) a) 2; b) 3; c)
4)
1
; d) –6; e) 0; f) 1; g) –3; h) –4.
2
a) D f = {x ∈ R / x > 0}
b) D f = {x ∈ R / x > 0}
c) D f = {x ∈ R / x > −1}
e) D f = {x ∈ R / x < 0}
d) D f = {x ∈ R / x > 2}
f) D f = {x ∈ R / x > 0}
 x3 2y 
 ; d) log  36 x  .
5) a) log( x 4 y ) ; b) ln( x 5 3 y 2 ) ; c) log b 
9 3 
 b 
 z 


6) a) 7; b)
7)
7
; c) 19; d) 6,49.
2
a) 3; b) não existe; c) 2 ou
3
; d) 4.
2