Albino Linhares
Setembro de 2005
Raiz quadrada
A raiz quadrada de um número positivo A é um número positivo B de modo que B2 = A.
A raiz quadrada de 9 é 3 porque 32 = 9.
Escrevemos 9  3
Não existe a raiz quadrada de um número negativo.
Suponhamos que queríamos calcular a raiz quadrada de -9. Teríamos que encontrar um número (real) que
elevado a dois desse -9. Tal número não existe porque o quadrado de qualquer número real é sempre maior ou
igual a zero.
Está errado!
Os alunos escrevem bastantes vezes:
 9  3
Isto está errado porque  32   3   3  9
Repara que…
Por vezes expressões diferentes são erradamente identificadas como se fossem a “mesma coisa”.
9   9
 9 é uma expressão sem significado no conjunto dos números reais. Não existe.
 9  3
Raiz quadrada e potências
1
Com uma máquina de calcular científica (ou gráfica) experimenta calcular a expressão 25 2 . O valor é 5. Se
experimentares elevar outros números positivos a
a
1
a2
1
verás que obténs sempre a raiz quadrada.
2
, para qualquer valor de a não negativo.
Operações com radicais quadráticos
Multiplicação:
1
1
a  b  a 2  b 2  a  b  2  a  b , a e b não negativos.
raiz quadrada do produto.
Exemplo:
1
5  20  5  20  100  10
7  7  77  7
O produto de raízes quadradas é igual à
Divisão:
1
a
b

1
a 2
  
1
b
2
a 2
b
quadrada do quociente.
Exemplo:
72
2

a
, a não negativo e b positivo. O quociente de raízes quadradas é igual à raiz
b
72
 36  6
2
Adição e subtracção:
Será que
16  4  20 ?
É fácil verificar se a expressão está ou não correcta.
16  4
Concluímos então que 16  4  20
42
20  4,47...
De um modo geral, para quaisquer números positivos,
a  b  ab
Só podemos somar ou subtrair raízes quadradas do mesmo número.
2 5  7 5  2  7  5  9 5
8 3  2 5 não se pode somar.
7 3 7 2 7 9 7
7 7




3
2
6
6
6
Simplificação de radicais quadráticos – Passar factores para fora.
Para qualquer número positivo temos:
a2  a
Exemplos:
5 2  25  5 ;
32  9  3
Nota: para números negativos esta propriedade não se verifica.
(5) 2 não é -5 mas sim 5.
Atendendo à propriedade anterior e à propriedade da multiplicação acima mencionada podemos efectuar os
seguintes procedimentos para simplificar radicais quadráticos:
Por exemplo, para simplificar 180
1º
Decompor 180 em factores primos.
180 2
90 2
45 3
15 3
5 5
1
180  2 2  3 2  5
2º
Temos então 180  2 2  32  5  2 2  3 2  5  2  3  5  6 5
Os factores cujo expoente é 2 podem passar para fora do radical “perdendo” o expoente.
Mais exemplos:
120
120 2
60 2
30 2
15 3
5 5
1
120  2 2  2  3  5  2 2  3  5  2 30
Só os factores de expoente 2 podem passar para fora do radical.
***********
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32
32
16
8
4
2
1
2
2
2
2
2
32  2 5  2 2  2 2  2  2  2  2  4 2
Racionalização de denominadores:
Normalmente não se apresentam números irracionais com radicais no denominador. Ao processo que leva à
eliminação dos radicais do denominador chama-se racionalização do denominador.
1º Caso: Denominador composto por uma só parcela
Exemplo 1
3
neste caso multiplicámos o numerador e o denominador por uma expressão que permita obter
3
de modo a eliminar o radical do denominador. Neste exemplo multiplicámos por
3
3
3 3

3 3

3 3
32

n
an  a
3 .
3 3
3
 3
 3 então,
3
3
Exemplo 2:
5
2 7
5
2 7
temos que multiplicar o denominador e o numerador por

5 7
2 7 7

5 7
2 72

5 7 5 7

27
14
então,
5
2 7

7.
5 7
14
2º Caso: Denominador composto por duas parcelas.
Exemplo 1:
3
2  10
Se o denominador é da forma a  b c multiplicámos o numerador e o denominador por a  b c de modo a
obtermos uma diferença de quadrados no denominador. Assim,
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3
2  10

2 

3 2  10


10 2  10


6  3 10
 2
2 2  10

1
6  3 10 6  3 10
 1 
10

6
2
4  10
Exemplo 2:
1 2
3 2 3
1 2
3 2 3
 1 

1  2 3  2 3   3  2
3  2 3 3  2 3 
33 2 2 2 3
 2
32  2 3

32 3 3 2 2 6 32 3 3 2 2 6


9  43
3
2
2
3 2
6
3
3
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