Mecânica dos Fluidos
Análise Dimensional e
Semelhança Dinâmica
Análise Dimensional
É
um meio para simplificação
de um problema físico
empregando a homogeneidade
dimensional para reduzir o
número das variáveis de
análise;
Análise Dimensional
A análise dimensional é particularmente útil
para:
Apresentar
e interpretar dados
experimentais;
Resolver problemas difíceis de atacar com
solução analítica;
Estabelecer a importância relativa de um
determinado fenômeno;
Modelagem física.
Análise Dimensional

Dimensões Primárias:

Dimensões de Grandezas Derivadas:
Geometria
Grandeza
Símbolo
Dimensão
Área
A
L2
Volume
V
L3
U
LT-1
ω
T-1
Q
L3T-1
m
MT-1
F
MLT-2
T
ML2T-2
E
ML2T-2
P
ML2T-3
Pressão
p
ML-1T-2
Densidade
ρ
ML-3
Viscosidade
µ
ML-1T-1
Viscosidade Cinemática
v
L2T-1
Tensão superficial
Condutividade Térmica
σ
k
MT-2
MLT-3θ
Calor Específico
C ,C
L2T-2 θ-1
 Dimensões de grandezas
Cinemática
Velocidade
Velocidade Angular
Vazão
Fluxo de massa
Dinâmica
Força
Torque
Energia
Potência
Propriedades
dos Fluidos
derivadas:
Análise Dimensional

Parâmetros Adimensionais:


São extremamente importantes na
correlação de dados experimentais;
São cinco:
 Coeficiente de Pressão;
 Número de Reynolds;
 Número de Froude;
 Número de Weber;
 Número de Mach.
Análise Dimensional

Coeficiente de Pressão:

Relação entre Pressão estática e
Pressão Dinâmica
Análise Dimensional

Número de Reynolds:

Relação entre Forças de Inércia e Forças
Viscosas;

Um número de Reynolds “crítico” diferencia
os regimes de escoamento laminar e
turbulento em condutos na camada limite ou
ao redor de corpos submersos;
Análise Dimensional

Número de Froude:



Relação entre Forças de Inércia e Peso;
Nos escoamentos com superfície livre a
natureza do escoamento (torrencial ou
fluvial) depende do número de Froude
ser maior ou menor que a unidade;
É útil nos cálculos de ressalto
hidráulico, no projeto de estruturas
hidráulicas e no projeto de navios;
Análise Dimensional

Número de Weber:


Relação entre Forças de Inércia e
Forças de Tensão Superficial;
É importante no estudo das interfaces
gás-líquido ou líquido-líquido e também
onde essas interfaces estão em contato
com um contorno sólido;
Análise Dimensional

Número de Mach:



Relação entre Forças de Inércia e
Forças Elásticas;
É uma medida da relação entre a
energia cinética do escoamento e a
energia interna do fluido;
É o parâmetro mais importante quando
as velocidades são próximas ou
superiores à do som;
Semelhança
Problemas em Engenharia (principalmente na
área de Térmica e Fluidos) dificilmente são
resolvidos aplicando-se exclusivamente análise
teórica;

Utilizam-se
com freqüência estudos
experimentais;
Muito
do trabalho experimental é feito com o
próprio equipamento ou com réplicas exatas;
Porém,
a maior parte das aplicações em
Engenharia são realizadas utilizando-se modelos
em escala.
Semelhança

Sem planejamento e organização, os
procedimentos experimentais podem:



Consumir muito tempo;
Não ter objetividade;
Custarem muito.
Semelhança

Utilização de Modelos em escala:
Vantagens econômicas (tempo e
dinheiro);
 Podem ser utilizados fluidos diferentes
dos fluidos de trabalho;
 Os resultados podem ser extrapolados;
 Podem ser utilizados modelos reduzidos
ou expandidos (dependendo da
conveniência);

Semelhança
 Para ser possível esta comparação entre o
modelo e a realidade, é indispensável que os
conjuntos de condições sejam FISICAMENTE
SEMELHANTES;
O termo SEMELHANÇA FÍSICA é um termo geral
que envolve uma variedade de tipos de
semelhança:
 Semelhança
Geométrica
 Semelhança Cinemática
 Semelhança Dinâmica
Semelhança

Semelhança Geométrica
Semelhança de forma;
 A propriedade característica dos
sistemas geometricamente
semelhantes é que a razão entre
qualquer comprimento no modelo e o
seu comprimento correspondente é
constante;
 Esta razão é conhecida como FATOR DE
ESCALA.

Semelhança

Semelhança Geométrica
Deve-se lembrar que não só a forma global
do modelo tem que ser semelhante como
também a rugosidade das superfícies deveria
ser geometricamente semelhante;

Muitas vezes, a rugosidade de um modelo
em escala reduzida não pode ser obtida de
acordo com o fator de escala – problema de
construção/de material/de acabamento das
superfícies do modelo.

Semelhança

Semelhança Cinemática
Semelhança cinemática é a semelhança do
movimento, o que implica necessariamente
semelhança de comprimentos (semelhança
geométrica) e semelhança de intervalos de tempo;

Exemplo de semelhança cinemática: Planetário. O
firmamento é reproduzido de acordo com um certo
fator de escala de comprimento e, ao copiar os
movimentos dos planetas, utiliza-se uma razão fixa de
intervalos de tempo e, portanto, de velocidades e
acelerações.

Semelhança


Semelhança Dinâmica
É a semelhança das forças;
Dois sistemas são dinamicamente
semelhantes quando os valores
absolutos das forças, em pontos
equivalentes dos dois sistemas,
estão numa razão fixa;

Semelhança Dinâmica
Origens das Forças que determinam o
comportamento dos Fluidos:







Forças devido à diferenças de Pressão;
Forças resultantes da ação da viscosidade;
Forças devido à tensão superficial;
Forças elásticas;
Forças de inércia;
Forças devido à atração gravitacional.
Semelhança Dinâmica
Grupo
Nome
Adimensional
Razão das Forças
representadas
Símbolo
habitual
UL

Número de
Reynolds
Força de Inércia
Força Viscosa
Re
_U_
(Lg)1/2
Número de
Froude
Força de Inércia
Força da gravidade
Fr
Número de
Weber
Força de Inércia
Força de Tensão Superficial
We
Número de
Mach
Força de Inércia
Força Elástica
M
U L

U
C
1/2
Semelhança Dinâmica






Exemplos de estudos em modelos
Ensaios em túneis aero e hidrodinâmicos
Escoamento em condutos;
Estruturas hidráulicas livres;
Resistência ao avanço de embarcações;
Máquinas hidráulicas;
Exercício 1
Verificar a homogeneidade dimensional da equação que
exprime o teorema de Bernoulli aplicável a fluidos reais ao longo
de uma trajetória:
em que p é a pressão a que se processa o escoamento, ν é a
sua velocidade, z é a cota geométrica, g é a aceleração da
gravidade, γ é o peso volumétrico do fluido, t é o tempo e J é o
trabalho das forças resistentes por unidade de peso de fluido e
por unidade de percurso.
Exercício 2
Para o ensaio em modelo reduzido de um fenômeno que
dependa exclusivamente da gravidade, utilizando-se o mesmo
líquido no modelo e no protótipo, determine as escalas das
seguintes grandezas, em função da escala dos comprimentos:
a) velocidade;
b) tempo;
c) aceleração;
d) caudal;
e) massa;
f) força;
g) energia;
h) potência.
Exercício 3
A lei de resistência ao escoamento de água sob pressão em
regime turbulento, no interior de uma tubagem circular, pode ser
expressa pela fórmula de Manning-Strickler:
Os valores de n, dependentes da rugosidade da tubagem,
encontram-se numa tabela, devendo, para a sua aplicação, as
grandezas da fórmula de Manning-Strickler ser expressas em
unidades inglesas.
Apresente esta fórmula de forma a manter-se válida para
um sistema genérico, em que as unidades de comprimento e de
tempo sejam respectivamente l e t, continuando a utilizar os
valores de n da tabela referida. Particularize para o caso de
aquelas unidades serem o metro e o segundo.
Exercício 4
Efetuaram-se experiências em laboratório para obter as
características de resistência de um navio em relação à onda
(depende somente da gravidade) que se vai opôr ao seu
deslocamento.
Calcule:
a) a que velocidade se deverá fazer o ensaio no modelo à escala
geométrica 1/25 para que a velocidade real correspondente seja
de 40 kmh-1;
b) a resistência para o protótipo se, no modelo reduzido, for
medido o valor de 5 N;
c) o período da vaga no protótipo sendo o seu valor de 3 s no
modelo.
Exercício 5
Para estudar um escoamento variável construiu-se um
modelo à escala geométrica de 1/10.
Usa-se água no protótipo e sabe-se que as forças de
viscosidade são dominantes. Determine a escala dos tempos e
das forças em condições de semelhança hidráulica se:
a) usar água no modelo;
b) usar um óleo cinco vezes mais viscoso que a água e cuja
massa volumétrica é 80% da água.