Fenômenos de Transporte
ANÁLISE DIMENSIONAL
E
SEMELHANÇA
Prof. Carlos Ruberto Fragoso Jr.
Análise Dimensional e Semelhança
 A maioria dos problemas na mecânica dos fluidos não podem ser
resolvidos
com
procedimentos
analíticos,
apenas
utilizando
procedimentos experimentais;
 Muitos problemas são resolvidos utilizando abordagem experimental e
analítica;
 Um objetivo de qualquer experimento é obter resultados amplamente
aplicáveis (medidas obtidas num sistema em laboratório podem ser
utilizadas para descrever o comportamento de um sistema similar);
Para isso é necessário estabelecer a relação que existe entre o modelo
de laboratório e o “outro” sistema.
Análise Dimensional e Semelhança
Estudaremos os aspectos dimensionais do escoamento, fazendo
uso do princípio de homogeneidade dimensional, aplicado às equações e
leis de conservação.
O desenvolvimento da Mecânica dos Fluidos depende de :
 análise teórica
 resultados experimentais (numéricos e/ou de laboratório)
Em certas situações são conhecidas as variáveis envolvidas no
fenômeno físico, mas não a relação funcional entre elas.
A análise
adimensionais.
dimensional
permite
associar
variáveis
em
grupos
Quando o teste experimental em um protótipo em tamanho real é impossível ou
caro, utiliza-se modelos reduzidos representativos.
Pelo procedimento chamado análise dimensional, o
fenômeno pode ser formulado como uma relação entre um
conjunto de grupos adimensionais das variáveis.
Quando se realiza um trabalho de laboratório, desejamos :
 o maior número de informações
 o menor número de ensaios
Análise dimensional

Parâmetros adimensionais
(apresentação resumida em gráficos)
Os fenômenos em Mecânica dos Fluidos dependem :
 parâmetros geométricos
 parâmetros do escoamento
Exemplo : Força de arraste F sobre uma esfera lisa, de diâmetro D, estacionária, imersa
em um escoamento uniforme de velocidade V.
Que experiências serão necessárias para determinar a força de arraste F sobre a
esfera ?
Sabemos que F = f(D, V, ρ, μ)
desconsiderando a rugosidade superficial.
[mas, esta hipótese é razoável?]
Formulação do problema por grandezas controladas e medidas em laboratório.
Depois de construída a estrutura experimental, iniciamos os ensaios.
Faremos 10 ensaios para cada variável:
Curva F vs. V com parâmetros D, ρ, μ
Curva F vs. D com parâmetros V, ρ, μ
Curva F vs. r com parâmetros D, V, m
Curva F vs. m com parâmetros D, V, r




10 ensaios
10 ensaios
10 ensaios
10 ensaios
TOTAL : 104 ensaios
Se cada ensaio leva 0,5 hora  8 horas/dia  2,5 anos para completar o trabalho ! !
Existirá uma enorme dificuldade na apresentação dos resultados.
Exemplo : Considere o escoamento em regime permanente, incompressível de um
fluido Newtoniano num tubo longo, horizontal e que apresenta parede lisa.
Que experiências serão necessárias para determinar a diferença de pressão por unidade
de comprimento do tubo Δp1?
Sabemos que Δp1 = f(D, V, ρ, μ) desconsiderando a rugosidade superficial.
Formulação do problema por grandezas controladas e medidas em laboratório.
Depois de construída a estrutura experimental, iniciamos os ensaios.
Faremos 10 ensaios para cada variável:
Curva Δp1 vs. V com parâmetros D, ρ, μ
Curva Δp1 vs. D com parâmetros V, ρ, μ
Curva Δp1 vs. r com parâmetros D, V, m
Curva Δp1 vs. m com parâmetros D, V, r




5 ensaios
5 ensaios
5 ensaios
5 ensaios
TOTAL : 104 ensaios
.
Δp1
Δp1
μ
v
Δp1
Δp1
ρ
D
Podemos agrupar as variáveis em duas combinações
adimensionais (denominados grupos adimensionais) de
modo que:
 rVD 
Dp1

  
2
rV
 m 
Assim nós podemos trabalhar com dois grupos
adimensionais em vez de trabalhar com 5 variáveis.
Dp1
rV 2
rVD
m
Instrumentos da Análise Dimensional
Para prever as relações entre grandezas em um dado fenômeno, temos:
 o teorema de Bridgman
 o teorema de Buckingham
Teorema de Bridgman
O teorema de Bridgman estabelece que toda grandeza secundária ou dependente
pode ser expressa por um produto de grandezas primárias.
Exemplo:

E=Cm
E = f(m, V)
onde C = cte.
V2,
Teorema de Buckingham
O teorema dos p de Buckingham fornece as relações entre os parâmetros
dimensionais, para obter os parâmetros adimensionais.
Teorema dos p de Buckingham
Dado um problema físico onde a variável dependente é função de n-1 variáveis
independentes, para o qual sabemos que existe uma relação do tipo :
q1 = f(q2, q3, ... qn)
ou também: g (q1, q2, q3, ... qn) = 0.
variáveis
independentes
variável
dependente
O teorema p estabelece que :
relação
funcional
(desconhecida)
Dada uma relação entre n variáveis da forma
g (q1, q2, q3, ... qn) = 0
estas n variáveis podem ser agrupadas em n-m razões adimensionais
independentes, ou parâmetros p, expressados sob a forma funcional :
G (p1, p2, ..., pn-m) = 0
ou
p1  H(p2, ..., pn-m)
O número m é usualmente igual ao menor número de grandezas
independentes (M, L, t, etc.) necessárias para especificar as
dimensões das variáveis q1, q2, q3, ... qn.
NOTA : O teorema não prevê a forma funcional de G ou H. Ela
pode ser determinada experimentalmente.
Determinação dos grupos p (6 passos)
• 1º Passo – Liste todos os parâmetros envolvidos
– Se nem todos os parâmetros pertinentes forem incluídos, uma
relação será obtidas, mas não fornecerá a história completa.
• 2º Passo – Selecione um conjunto de dimensões
fundamentais (primárias)
– P.ex. M, L, t
• 3º Passo – Liste as dimensões de todos os parâmetros os
parâmetros em termos das dimensões primárias
• 4º Passo – Selecione da lista um número de parâmetros que
se repetem, igual ao número de dimensões primárias, e
incluindo todas as dimensões primárias
• 5º Passo – Estabeleça equações dimensionais combinando
os parâmetros selecionados no passo 4 com cada um dos
outros parâmetros a fim de formar grupos adimensionais
(Haverá n-m equações)
• 6º Passo – Verifique, a fim de assegurar que cada grupo
obtido é adimensional.
Símbolos e Dimensões em Mec. Flu.
Quantidade
Comprimento
Tempo
Massa
Força
Velocidade
Aceleração
Freqüência
Gravidade
Área
Símbolo
l
Dimensões
L
t
m
F
V
a
T
M
ML/T2
L/T
L/T2
T-1
L/T2
L2
w
g
A
Símbolos e Dimensões em Mec. Flu.
Quantidade
Vazão
Fluxo de massa
Pressão
Tensão
Massa específica
Peso específico
Viscosidade
Viscosidade cinemática
Símbolo
Q
Dimensões
L3/T

m
M/T
M/LT2
M/LT2
M/L3
M/L2T2
M/LT
L2/T
p
t
r
g
m
n
Símbolos e Dimensões em Mec. Flu.
Quantidade
Trabalho
Potencia, fluxo de calor
Tensão superficial
Módulo da elasticidade
volumétrica
Símbolo
W

 ,Q
W
Dimensões
ML2/T2
s
B
M/T2
ML2/T3
M/LT2
Força de arrasto
• Força de arrasto é a força que faz resistência ao movimento
de um objeto sólido através de um fluido (um líquido ou
gás).
• O arrasto é feito de forças de fricção (atrito), que agem em
direção paralela à superfície do objeto (primariamente pelos
seus lados, já que as forças de fricção da frente e de trás se
anulam), e de forças de pressão, que atuam em uma direção
perpendicular à superfície do objeto (primariamente na
frente e atrás, já que as forças de pressão se cancelam nas
laterais do objeto).
A força de arrasto
arrasto Fa
1
Fa  Ca r A V 2
2
r = densidade do meio
A = área “frontal”
Ca = coeficiente de arrasto
velocidade V
O coeficiente de arrasto
• rAV2 tem dimensão de força
Ca = Fa / (½ rAV2) é adimensional
Ca só pode depender de
quantidades sem dimensão
• Em um fluido incompressível (V<<Vsom) a única
quantidade adimensional é o número de Reynolds:
rDV
Re 
m
Ca = f (Re)
D = dimensão característica (diâmetro da bola),
μ = viscosidade do meio
Como foi obtido o Coeficiente de
Arrasto?
Análise dimensional
Usando a análise dimensional, chegamos à relação :
 rVD 
F
  f1(Re )
CA  2 2  f1
rV D
 m 
onde f1 pode ser determinada experimentalmente e Re é um parâmetro chamado número
de Reynolds.
Variando o número de Reynolds Re = rVD/m N vezes, obtemos N pontos da relação
anterior, variando só, por exemplo, a velocidade. As outras variáveis não são alteradas (r,
D e m constantes).
Parâmetros Adimensionais Comuns
 Vrl V 2 V lw V 2rl 
p

 f1
, , , ,
2
rV
 m lg c V s 
Número de Euler, Eu 
p
rV 2
Número de Reynolds,Re 
Número de Froude, Fr 
Número de Mach, M 
Vrl
m
V
lg
V
c
lw
V
V 2rl
Número de Weber, We 
s
Número de Strouhal, St 
Significado Físico
forçade pressão
Eu 
forçainercial
forçainercial
Re 
forçaviscosa
forçainercial
Fr 
forçada gravidade
Escoamento nos quais a queda
pressão é significativa
Escoamento influenciados por
efeitos viscosos
Escoamento influenciados pela
gravidade:escoamento de
superfície livre
Significado Físico
forçainercial
M
forçade compressibilidade
forçacentrífuga
St 
forçainercial
Compressibilidade
importante V >0,3c
Componente não permanente se
repete periodicamente
forçainercial
We 
forçade tensão superficial
A tensão superficial
influencia o
escoamento
Escoamentos Semelhantes
Estudos em Modelos
Para que haja similaridade entre o protótipo e o modelo devem ser atendidas as
seguintes condições
Semelhança geométrica
Semelhança cinemática
Semelhança dinâmica
Semelhança
 Semelhança geométrica
Semelhança
 Semelhança cinemática
Semelhança
 Semelhança dinâmica