Geometria Espacial 01
Prof. Valdir
F: número de faces
A: número de arestas
I. POLIEDROS
1. DEFINIÇÃO
São sólidos geométricos com faces planas e poligonais.
2. Relação de Euler
V+F=A+2
Sendo:
V: número de vértices
F: número de faces
A: número de arestas
Exemplo: figura ao lado
Cubo: 8 vértices triédricos
F=8
n = 3 arestas por vértice
Assim:
A=
Generalizando, teremos:
Exemplo: Na figura a seguir, observe a relação:
V = 10
F= 7
A = 15
V ×m 8 × 3
=
= 12 arestas.
2
2
A=
Sendo:
V1, V2, V3, ... número de vértices de cada tipo
m1, m2, m3, ... número de vértice por face
A: número de arestas
Assim: 10 + 7 = 15 + 2
2. Número de faces e de arestas por face
A=
F×n
2
Sendo:
n: número de arestas por face
F: número de faces
A: número de arestas
Exemplo: figura ao lado
Cubo: 6 faces quadradas
F=6
n = 4 arestas por face
A=
V1 × m1 + V2 × m2 + V3 × m3 L
2
F×n 6 × 4
=
= 12 arestas
2
2
Generalizando, teremos:
Exemplo: Seja o poliedro que possui:
1 vértice pentaédrico
5 vértices tetraédricos
5 vértices triédricos
Assim
A=
1×5+ 5× 4 + 5×3
= 20 arestas
2
4. Soma dos ângulos internos das faces
S = (V – 2).360°
Sendo:
V: número de vértices do poliedro
S: Soma dos ângulos internos de todas as faces
Exemplo: Calcule a soma dos ângulos das faces do poliedro da figura.
F ×n +F ×n +F ×n L
A= 1 1 2 2 3 3
2
Sendo:
F1, F2, F3, ... número de faces de cada tipo
n1, n2, n3, ... número de arestas por face
A: número de arestas
Exemplo: Seja o poliedro que possui:
5 faces quadrangulares
2 faces pentagonais
Resolução:
S = (V – 2).360° = (10 – 2).360° = 8.360° = 2.880°
Assim:
A=
5 × 4 + 2 × 5 30
=
= 15 arestas
2
2
3. Número de vértices e de arestas por vértice
A=
V ×m
2
Sendo:
m: número de arestas por vértice
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1
5. Poliedros de Platão
São poliedros que satisfazem as duas condições a seguir:
Obs.: Poliedros Regulares
São poliedros de Platão cujas faces são polígonos regulares.
1) Faces do mesmo tipo
2) Vértices do mesmo tipo
São cinco os tipos de Poliedros de Platão:
• T – Tetraedro
- 4 faces triangulares
• H – Hexaedro
- 6 faces quadrangulares
• O – Octaedro
- 8 faces triangulares
• D – Dodecaedro - 12 faces pentagonais
• I – Icosaedro
- 20 faces triangulares
1º) Tetraedro de Platão – 4 faces triangulares
6. A bola de futebol
2º) Hexaedro de Platão – 6 faces quadrangulares
3°) Octaedro de Platão – 8 faces triangulares
4º) Dodecaedro de Platão – 12 faces pentagonais
A bola de futebol é obtida a partir da secção de pirâmides
pentagonais nos vértices de um icosaedro regular. Como o icosaedro
possui 12 vértices, então, após seccionar uma pirâmide em cada
vértice, teremos 12 faces pentagonais. Observando que cada face
triangular do icosaedro se tornou um hexágono após a secção, então
teremos 20 faces hexagonais. Assim, o total de arestas da bola de
futebol será:
A=
12 × 5 + 20 × 6
= 90 arestas
2
Assim, o número de vértice será:
5º) Icosaedro de Platão – 20 faces triangulares
V = A + 2 – F ⇒ V = 60 vértices
7. Cálculo do número de diagonais de um poliedro
C V,2 = A + dfaces + dpoliedro
Sendo:
CV,2 = número de segmentos ligando todos os vértices
A = segmentos que são arestas
dfaces = segmentos que são diagonais das faces
dpoliedro = segmentos que são diagonais do poliedro
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2
Exemplo: Calcule o número de diagonais do dodecaedro de Platão:
Observações:
a) Um prisma é dito reto quando suas arestas laterais são
perpendiculares ao plano da base. Neste caso, a medida da
altura do prisma é o comprimento de uma aresta lateral.
b)
Um prisma é dito regular quando for reto e a base for um
polígono regular.
c)
Um prisma é dito oblíquo quando as arestas laterais forem
oblíquas aos planos das bases.
2. ÁREAS E VOLUME DE UM PRISMA RETO
Resolução:
SUPERFÍCIE LATERAL
Como o dodecaedro de Platão tem 12 faces pentagonais, então:
BASE
F × n 12 × 5
=
= 30 arestas
2
2
• V + F = A + 2 ⇒ V = 20 vértices
• CV,2 = A + dfaces + dpoliedro ⇒ C20,2 = 30 + 12×5 + dpoliedro
• A=
⇒
h
Assim, o número de diagonais do dodecaedro de Platão é igual a 100.
a
b
c
e
d
2.1. ÁREA LATERAL DO PRISMA
II – PRISMAS
AL = 2p. h
1. ELEMENTOS E CLASSIFICAÇÃO
Demonstração:
AL = (a + b + c + ...).h ⇒ AL = 2p.h
Sendo:
2p = a + b + c + ... o perímetro da base do prisma
h: a altura do prisma.
B
A
C
E
D
h
B’
C’
A’
E’
D’
ELEMENTOS:
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
ABCDE... e A’B’C’D’E’ – bases do prisma – são polígonos
congruentes e paralelos
AB, BC, CD, ... A’B’, B’C’, C’D’,... – arestas da base, sendo AB =
A’B’, BC = C’D’, ...
AA’, BB’, CC’, ... – arestas laterais, sendo AA’ = BB’ = CC’ = ...
ABA’B’, BCB’C’, ... – faces laterais – são todas com a forma de
um paralelogramo.
h = Altura é a distância entre os planos que contêm as bases do
prima.
CLASSIFICAÇÃO:
Os prismas são designados de acordo com o número de lados dos
polígonos das bases.
Exemplo: base triangular ⇒ prisma triangular
base quadrangular ⇒ prisma quadrangular
base pentagonal ⇒ prisma pentagonal.
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2.2. ÁREA DA BASE
O cálculo da área da base depende de cada polígono. O assunto é
visto em Geometria Plana no capítulo de áreas.
A seguir, faremos uma pequena recordação das áreas dos
principais polígonos regulares.
x
x
O
O
x
M
O
M
M
OM: apótema do polígono – é o segmento de reta que liga o centro
do polígono ao ponto médio do lado.(Obs.: o apótema é
perpendicular ao lado).
x: medida do lado do polígono.
triângulo eqüilátero:
OM =
x. 3
,
6
ÁREA =
x2 3
4
3
3.2.1. Diagonal da face:
quadrado:
x
OM = ,
2
ÁREA = x 2
hexágono regular:
x. 3
OM =
,
2
 x 2 3 

ÁREA = 6. 
 4 
d = a. 2
3.2.2. Diagonal do cubo:
D = a.
2.3. VOLUME DO PRISMA
O volume do prisma é dado pelo produto da área da base pela
altura do prisma.
3
3.2.3. Área total do cubo:
2
A(total) = 6.a
V = A(BASE) . h
3.2.4. Volume do cubo:
V=a
3
3. PRISMAS ESPECIAIS
3.1. PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO
O paralelepípedo retângulo é o prisma que tem seis faces
retangulares paralelas e congruentes duas a duas.
c
c
D
b
d
III. PIRÂMIDE
1. DEFINIÇÃO E ELEMENTOS
A pirâmide é o poliedro que tem uma base poligonal e as outras
faces são triangulares sendo que todas têm um ponto comum
chamado vértice da pirâmide.
b
a
a, b, c: dimensões do paralelepípedo
d: diagonal de uma das faces
D: diagonal do paralelepípedo
3.1.1. Cálculo de d:
d² = a² + b²
Uma pirâmide é dita regular quando sua base é um polígono
regular e a projeção ortogonal do vértice na base coincide com o
centro desta.
3.1.2. Cálculo de D:
D² = a² + b² + c²
Numa pirâmide regular as faces laterais são triângulos isósceles
congruentes entre si. As figuras abaixo representam uma pirâmide
quadrangular regular e a outra hexagonal regular.
3.1.3. Cálculo da área total do paralelepípedo
V
V
A(total) = 2.(a.b + b.c + a.c)
3.1.4 – Cálculo do volume do paralelepípedo
V = a.b.c
g
h
3.2. CUBO
O cubo é um paralelepípedo retângulo que possui todas as seis
faces quadradas. Neste caso as dimensões serão iguais ⇒ a = b = c.
h
D
g
E
F
C
O
A
a
M
A
O
D
a
M
B
B
C
Alguns elementos:
a
D
d
a
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a
•
•
•
•
•
AB, BC, CD, ... – arestas da base;
VA, VB, VC, ... – arestas laterais;
VO = h – altura da pirâmide;
OM = a – apótema da base da pirâmide;
VM = g – apótema da pirâmide.
4
Observe que no ∇ VOM, temos: g = a + h
2
2
2
3. TETRAEDRO REGULAR
Cosideremos um tetraedro regular ABCD de aresta x. Sendo O o
centro da base (ABC) e também o seu baricentro, teremos:
2. ÁREAS e VOLUME
D
2.1. ÁREA DA BASE
O cálculo da área da base depende de cada polígono. O assunto é
visto em Geometria Plana no capítulo de áreas.
A seguir, faremos uma pequena recordação das áreas dos
principais polígonos regulares.
x
g
O
x
O
x 3
x 3
⇒ a = OM =
2
6
C
h
g = CM =
x
x
x
CM =
x
O
a O
A
x 3
2
x
M
M
M
B
M
Cálculo da altura em função da aresta x:
OM: apótema do polígono – é o segmento de reta que liga o centro
do polígono ao ponto médio do lado.(Obs.: o apótema é
perpendicular ao lado).
2
x 3
x 3
∆ODM ⇒ g 2 = h2 + a2 ⇒ 
= h2 + 
 2 
 6 




2
⇒ h=
x 6
3
x: medida do lado do polígono.
Cálculo do volume do tetradro em função da aresta x:
a) Triângulo equilátero:
Apótema: OM =
ÁREA =
x. 3
6
x2 3
4
x2 3 x 6
⋅
3
4
3 ⇒ V=x 2
3
12
Área total da superfície do tetraedro em função da aresta x:
b) Quadrado:
x
Apótema: OM =
2
ÁREA = x 2
c) Hexágono regular:
x. 3
Apótema: OM =
2
 x 2 3 

ÁREA = 6. 
 4 
2.2. ÁREA LATERAL DA PIRÂMIDE REGULAR
Sendo as faces laterais triângulo isósceles de base x e altura
igual a g, onde x é a aresta da base e g o apótema da pirâmide (altura
da face lateral), teremos:
n.x.g
ALATERAL =
2
Sendo:
n – número de faces laterais,
x – medida da aresta da base;
g – altura da face lateral.
2.3. ÁREA TOTAL DA PIRÂMIDE
A TOTAL = ABASE + ALATERAL
2.4. VOLUME DA PIRÂMIDE
V=
A .h
V = BASE ⇒ V =
3
 x2 3 
A TOTAL = 4.AFACE ⇒ A t = 4. 
 4 


Exercícios resolvidos:
01. Colocando-se em planos perpendiculares os triângulos de
cartolina ABC e BDC e, depois, acrescentando-se outras faces,
construímos uma pirâmide de base triangular conforme se vê na
B
figura a seguir. Calcule o volume dessa pirâmide.
4 cm
A
3 cm
C
3 cm
3 2 cm
D
Resolução:
Considerando o triângulo ACD (retângulo) a base da pirâmide, e
BC a altura, pois BC é perpendiculoar ao plano da base, teremos:
3.3
.4
ABASE .h
3
V=
⇒ V= 2
⇒ V = 6 cm .
3
3
3
Resposta: 6 cm
02. No cubo ABCDEFGH, M o ponto médio da aresta BC. Sabe-se que
3
o volume da pirâmide ABMF é igual a 18 cm . Calcule a área total do
cubo.
ABASE .h
3
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5
Resolução:
Fazendo a aresta do cubo igual a x, teremos:
BM = x/2, BF = x e AB = x.
Volume V2 da pirâmide original:
Considerando o triângulo retângulo BMF a base da pirâmide ABFM, e
AB a altura, teremos:
ABASE .h
122.24
3
⇒ V=
⇒ V = 1152 m .
3
3
Volume V1 da pirâmide menor (corte):
x
.x
2 .x
ABASE .h
V=
⇒ 18 = 2
⇒ x = 6 cm
3
3
3
3
 18 
 3
V1 h3
V1
= 3 ⇒
=   ⇒ V1 = 1152.  
 4 

V2 H
1152  24 
1152.27
3
⇒ V1 = 486 cm .
64
O volume do tronco será:
VTRONCO = V2 - V1 ⇒ VTRONCO = 1152 − 486 ⇒
V1 =
Assim, a área total do cubo será:
2
V=
2
ATOTAL = 6.x ⇒ ATOTAL = 6.6 ⇒ ATOTAL = 216 cm
2
3
VTRONCO = 666 cm .
2
Resposta: 216 cm
03. Em uma indústria de velas, a parafina é armazenada em caixas
cúbicas, cujo lado mede a. Depois de derretida, a parafina é
derramada em moldes em formato de pirâmides de base quadrada,
cuja altura e cuja aresta da base medem, cada uma, a/2.
Considerando-se essas informações, calcule o número total de
moldes que podem ser enchido com a parafina armazenada.
2
Resposta: 666 cm .
Resolução:
Cálculo do volume de uma vela:
IV. CILINDRO CIRCULAR RETO
1. DEFINIÇÃO
É o sólido geométrico que possui duas bases circulares paralelas e
congruentes. A linha que liga os centros das bases (eixo do cilindro) é
perpendicular aos planos que as contém.
a/2
r
O
a/2
a a a
. .
ABASE .h
a3
2
VVELA =
⇒ VVELA = 2 2 ⇒ VVELA =
3
3
24
Como a aresta do cubo mede a, seu volume será:
h
r – raio da base
h – altura do prisma
r
3
VCUBO = a
2. ÁREAS E VOLUME
Assim, a parafina armazenada no cubo preecherá 24 moldes para a
confecção das velas.
2.1. ÁREA DA BASE
A(BASE) = π.r²
Resposta: C
04. Considere uma pirâmide regular, de altura 24 m e base quadrada
de lado 12 m. Seccionando essa pirâmide por um plano paralelo à
base, à distância de 6 m desta, obtém-se um tronco de pirâmide.
Calcule o volume do tronco.
2.2 – ÁREA LATERAL
A(LATERAL) = 2.π
π.r.h
Resolução:
2.3 – VOLUME
V1
18
V2
24
V = A(BASE) . h
6
O
12
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6
3. OBSERVAÇÕES
3.1. CILINDRO EQUILÁTERO – são cilindros cuja seção meridiana é
um quadrado, ou seja, h = 2.r.
r
SECÇÃO MERIDIANA
⇒ O – centro da base do cone;
⇒ AO = R – raio da base;
⇒ VO = h – altura do cone;
⇒ VA = g – geratriz do cone.
Observe que no ∇ VAO, temos: g = R + h
2
2
2
h
2. ÁREA DA BASE DO CONE
r
ABASE = π . R2
R
3.2. TRONCO DE CILINDRO
É o sólido obtido através da secção de um cilindro por um plano
inclinado em relação ao seu eixo.
hm – altura média
hm
hm =
h+H
2
3. ÁREA LATERAL DO CONE CIRCULAR RETO
A planificação da superfície lateral do cone circular reto
resulta em um setor circular, como mostra a figura abaixo.
V
V
α
3.2.1. ÁREA LATERAL DO TRONCO
⇒
π.r.hm
A (LATERAL) = 2.π
g
g
3.2.2. VOLUME DO TRONCO
SUPERFÍCIE
LATERAL
A
B
V (TRONCO) = π.r². hm
A
2π
πR
B
Da figura, podemos ter:
V. CONE CIRCULAR RETO
2.π .R = α . g ⇒ α =
2πR
g
1. DEFINIÇÃO E ELEMENTOS
A área lateral será:
O cone circular reto (ou de revolução) tem base circular
(somente uma base) e o eixo (linha reta que passa pelo vértice e pelo
centro da base) é perpendicular ao plano da base.
ALATERAL =
V
2.π.R.g
⇒ ALATERAL = π . R. g
2
4. ÁREA TOTAL DO CONE
ATOTAL = A BASE + ALATERAL
g
h
5. VOLUME DO CONE
R
O
A
V=
A BASE .h
3
Elementos:
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7
6. SECÇÃO MERIDIANA
2. VOLUME DO TRONCO
Observando a proporcionalidade das duas figuras, teremos:
Obs.: Se a secção meridiana
for um triângulo equilátero
(g = 2R), então o cone é
denominado
CONE EQUILÁTERO.
g
h
g
h21 A b
=
H2 A B
h1 a
=
H b
h31 V1
=
H3 V2
Para determinar o volume do tronco, basta retirar da pirâmide
maior o volume da pirâmide menor. Ou seja:
VTRONCO = VPIRÂMIDE MAIOR – VPIRÂMIDE MENOR
Trabalhando a idéia acima e as proporções anteriormente
mencionadas, teremos:
R
R
h
VTRONCO = (A B + A b + A B .A b )
3
A SECÇÃO= R. h
Área da secção meridiana:
Para o tronco de cone:
g
VI. TRONCO DE PIRÂMIDE E DE CONE
r
2π
π.r
SUPERFÍCIE LATERAL DO
TRONCO DE CONE
Ab
V1
h1
V2
2.π
π .R
H
r
R
Ab = π.r² e AB = π.R²
a
h
V
R
b
Para determinar a área da superfície lateral do tronco de cone, basta
observar que a mesma é um setor de coroa. Neste caso, teremos:
 2.π.R + 2.π.r 
A LATERAL = 
.g


2
AB
.
Simplificando, teremos:
A LATERAL = π.g.(R + r)
1. ELEMENTOS
H – Altura da pirâmide(cone) maior;
h1 – altura da pirâmide(cone) menor;
h – altura do tronco de pirâmide (tronco de cone);
a – aresta da base da pirâmide menor;
b – aresta da base da pirâmide maior;
r – raio da base do cone menor;
R – raio da base do cone maior;
Ab – área da base menor;
AB – área da base maior;
V1 – volume da pirâmide (cone) menor;
V2 – volume da pirâmide (cone) maior;
V – volume do tronco de pirâmide (tronco de cone).
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8
VI. ESFERA
Outra figura:
1. DEFINIÇÃO
É o lugar geométrico do espaço formado por pontos cuja
distância a um ponto fixo (centro) é menor ou igual a uma constante
R (raio da esfera).
R
4. ÁREA DA SUPERFÍCIE DA ESFERA
Consideremos uma esfera oca de raio interno R e raio externo R + x,
onde x é a espessura da casca.
2. SECÇÃO PLANA
2
r
d
2
R =d +r
AS
2
R
R
R+x
Obs.: A secção reta de área máxima é feita passando pelo centro da
esfera e tem raio r = R, pois d = 0.
R
d
4.π.(R + x)3 4.π.(R)3
3
3
Considerando que o volume da casca seja V = AS.x, teremos:
4
AS.x = . .π.( R³ + 3.R².x + 3.R.x² + x³ – R³)
3
4
AS.x = . .π.( 3.R².x + 3.R.x² + x³)
3
4
AS = . .π.( 3.R² + 3.R.x + x²)
3
3. VOLUME DA ESFERA
d
Vcasca =
R
Como x → 0, então:
AS = 4.π.R²
R
r
R
R-d
5. CUNHA ESFÉRICA
Área = π.r²
Como R²= d² + r²,
teremos:
Área = π.(R2 – d2) (I)
θ
Área = π.R2 – π.d2
Área = π.(R2 – d2) (II)
⇒ (I) = (II)
R
Pelo princípio de Cavalière, sendo (I) = (II), o volume da esfera é
igual ao volume da região limitada pelo cilindro e a cavidade
bicônica. Neste caso, o
volume da esfera será:
R
FUSO
ESFÉRICO
VESFERA = VCILINDRO – VBI-CONE
VESFERA = π.R .2.R – 2.π.R .R/3
4
3
VESFERA = . π.R
3
2
2
A FUSO = 4.π.R².θ/360°
VCunha =
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4.πR3
θ
×
3
360°
9
Como DF e CE são alturas, então DF ⊥ MC e CE ⊥ DM. O ângulo
ˆ
CMD
é comum aos triângulos CME e DMF, DF = CE ⇒ ∆CME ≅
∆DMF.
Observa-se que CM = DM =
a. 3
e que EM = FM = CM/3 =
2
a. 3
.
6
2
a. 3
.CM ⇒ FC =
.
3
3
No ∆DMF, retângulo, teremos:
Desta forma, FC = DE =
a. 2
.
3
Como o triângulo CME é semelhante ao triângulo CFO, teremos:
a. 3
OF CF
OF
a. 2
=
⇒
= 3 ⇒ OF =
.
EM CE
a. 3 a. 2
4. 3
6
3
DF
Daí, teremos que OF =
.
4
A esfera inscrita no tetraedro tem centro em O e tangencia as
faces ABD e BCA nos pontos E e F respectivamente. Assim, podemos
DF
concluir que o raio da esfera inscrita no tetraedro tem OF =
4
Como a esfera circuscrita no tetraedro tem centro em O e sua
superfície passa pelos pontos A, B, C e D, teremos que seu raio é OD
3.DF
=
.
4
Desta forma, a razão entre os raios das esferas circunscrita e
inscrita no tetraedro regular é 3.
2
2
2
(DM) = (MF) + (DF) ⇒ DF =
VI. INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO
1. ESFERA INSCRITA NO CUBO
A aresta do cubo (a) tem comprimento igual ao dobro do
comprimento do raio (R) da esfera.
a = 2.R
R
a
2. CUBO INSCRITO NA ESFERA
A diagonal do cubo (D) é igual ao diâmetro (2R) da esfera.
04. ESFERA INSCRITA NO CONE CIRCULAR RETO
a
Sejam: R → raio da base do cone = CA
r → raio da esfera = OB
g → geratriz do cone = VA
h → altura do cone = VC
R
2R = a.
V
h-r
3
B
O
r
r
C
3. ESFERA INSCRITA E CIRCUNSCRITA NO TETRAEDRO REGULAR
Na figura a seguir, o tetraedro regular ABCD tem aresta a. Os
segmentos de reta DF e CE são alturas do tetraedro em relação às
bases ABC e ABD, respectivamente.
D
A
Observa-se que a esfera inscrita tangencia a base circular do cone
no centro C e a geratriz VA no ponto B. Então, VC ⊥ CA e BO ⊥ VA.
Como o ângulo CV̂O é comum aos triângulo VCA e VBO, então
∆VCA ≅ ∆VBO. Desta forma:
OB OV
r h-r
R.(h - r)
=
⇒
=
⇒ r=
CA VA
R
g
g
a
E
R
O
C
A
F
M
B
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05. CONE CIRCULAR RETO INSCRITO NA ESFERA
Obs.: A esfera circunscrita no octaedro regular tem centro no ponto
O e raio AO. Dessa forma, o raio da esfera circunscrita será:
Sejam: R → raio da base do cone = CA
r → raio da esfera = OA
g → geratriz do cone = VA
h → altura do cone = VC
A
R
a
V
O
h-r
R=
a. 2
2
r
g
O
r
R
C
A
Na esfera circunscrita no cone observa-se que o vértice V e a
circunferência da base do cone estão na superfície da esfera.
No ∆ ACO, retângulo, temos:
2
2
2
2
2
(AO) = (CA) + (0C) ⇒ r = R + (h-r)
2
06. ESFERA INSCRITA NO OCTAEDRO REGULAR
Sejam: r → raio da esfera = OE
a → aresta do octaedro = EA
R → raio da esfera circunscrita = OA
E
a
M
N
G
r
D
C
O
A
B
F
A esfera inscrita no octaedro regular tangencia os centros de suas
faces, no caso da face BAE, o pontos G.
Dessa forma, a esfera tangencia os lados do losango EMFN cujos
lados EM = MF = FN = EM =
a. 3
e as diagonais do losango medem
2
EF = a. 2 e MN = a.
Do triângulo retângulo EOM, a altura OG é igual ao raio da
esfera ⇒ OG = r.
Então: EN.OG = OE.OM ⇒
⇒r=
a. 3
a. 2 a
.r =
.
2
2 2
a. 6
6
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