DEPARTAMENTO DE ESTAT€STICA - UFSCar
2a Lista de IPAEE (Extra) – 15/05/2013
1. Dê os espaços amostrais dos seguintes experimentos aleatórios:
a) Mês de nascimento de indivíduos para pagamento do PIS.
b) Final da placa de veículos para licenciamento.
c) Número de acidentes de carro nas estradas do estado de São Paulo.
d) Nascimento de crianças segundo o sexo e ordem em famílias de 3 filhos.
e) Lançar uma moeda até a ocorrência de cara.
f) Num estudo epidemiológico, para se estudar a propagação de uma doença,
observa-se a distância da ocorrência de novos casos e a direção de
alastramento a partir de um foco inicial.
2. Quais dos seguintes pares de eventos A
a) A: ser filho de um advogado
b)
B: nascer em São Carlos
c) A: possuir um Palio
d)
B: possuir um Fiesta
e) A: ser hemofílico
f)
B: ser do sexo feminino
e B são mutuamente exclusivos?
A: ter menos de 16 anos de idade
B: votar para presidente
A: ter bronquite
B: ser fumante
A: {x  R / -3 < x < 8}
B: {x  R / |x|  8}
3. Seja t o tempo de funcionamento de uma máquina, em semanas, até que seja
necessário um ajuste, t  0. Sejam, ainda, os eventos:
A = tempos cujos ajustes foram realizados antes da 5a semana.
B = tempos cujos ajustes foram realizados após a 3a semana.
C = tempos cujos ajustes foram realizados entre a 4a e a 8 a semanas.
a) Identifique , A, B e C.
b) Represente graficamente (A  B), (A  B), (C  B c ) e (A  B  C ).
4. No lançamento de uma moeda duas vezes, seja A o evento "aparece ao
menos uma cara" e B o evento "o resultado do segundo lançamento é coroa".
a) Encontre o espaço amostral e os eventos A e B.
b) Calcule AB, AB, A c, AB c.
5. De 50 pessoas observadas num parque, 20 são obesas, 16 são altas e,
destas, 4 são também obesas. Das pessoas altas, 5 também praticam esporte.
Não foi observada nenhuma pessoas obesa que praticasse esporte.
a) Quantas pessoas praticam esporte e quantas são só obesas, só altas?
b) Qual a probabilidade de se selecionar ao acaso uma pessoa:
i) Alta ou que pratica esporte.
ii) Obesa e alta.
iii) Praticar esporte, não sendo alta e nem obesa.
iv) Obesa e praticar esporte.
v) Não ser alta.
vi) Sabendo que foi selecionada uma pessoa alta, qual a probabilidade de:
vii) Ser obesa.
viii) Praticar esporte.
6. Um alvo circular de raio 2 está dividido em 3 regiões anelares com raios
externos 0.5, 1.5 e 2, respectivamente. Suponha que se dispare 1 tiro ao acaso.
a) Qual a probabilidade de que o tiro atinja a zona limitada pelos círculos de raios
0.5 e 1.5?
b) Qual a probabilidade de que o atirador acerte na região mais interna?
7. Uma indústria produz um sistema no qual é incorporado um componente
essencial ao seu funcionamento. Para aumentar a velocidade de operação do
sistema, podem ser implantados em série mais de um desses componentes. Por
outro lado, pelo fato de os componentes serem dispostos em série, ocorrendo
uma falha, o sistema todo falha. Os técnicos estão interessados em verificar se
o tempo de operação sem a ocorrência de falhas (tempo de operação contínua)
é influenciado pelo número de componentes no sistema. São então observados
100 sistemas (com 1, 2 ou 3 componentes implantados) e registrados os seus
tempos de operação contínua. Os resultados foram resumidos na tabela:
Tempo de
operação
A (100 , 155]
B ( 50 , 100]
C ( 5 , 55]
Total
1
30
0
0
30
Componentes
2
0
20
10
30
Total
3
0
30
10
40
8. Dê a probabilidade de obter um ás e uma dama, não importando a ordem, em
duas retiradas de um baralho com 52 cartas se:
a) a primeira carta não é recolocada no baralho para a segunda retirada.
b) a primeira carta é recolocada no baralho para a segunda retirada.
9. Dois animais doentes foram acidentalmente misturadas com 6 sadios. Se
vamos escolhendo um por um, até se encontrar os 2 doentes, qual é a
probabilidade de que o último animal doente seja o quarto animal selecionado?
10. Uma mulher tem 1/3 de chance de ainda estar viva daqui a 30 anos e seu
marido tem 2/5 de chance. Qual é a probabilidade de, daqui a 30 anos:
a) Ambos estejam vivos b) Ao menos um esteja vivo.
c) Só o homem esteja vivo.
11. Na fábrica de parafusos Ki-rosca, a produção das máquinas M1, M2 e M3 é
de 25%, 35% e 40%, respectivamente. A máquina M3 tem um índice com
defeitos p. A máquina M1 tem um índice de defeitos que é três vezes o índice da
máquina M3 e a máquina M2 tem um índice de defeitos que é o dobro do da
máquina M3. Se um parafuso escolhido ao acaso tem 3.7% de probabilidade de
apresentar defeito.
a) Qual é o índice de defeitos de cada máquina?
b) Se um parafuso escolhido é defeituoso, qual a probabilidade de ser da
máquina M2?
12. As probabilidades de 3 jogadores marcarem um pênalti são respectivamente
2/3, 4/5 e 7/10. Se cada um "cobrar" uma única vez, qual a probabilidade de:
a) todos acertarem.
b) apenas um acertar.
c) todos errarem.
13. Um dado equilibrado é lançado 12 vezes. Calcule a prob. de se obter:
a) Dois seis; Pelo menos dois seis.
b) Indique uma v.a. para esse experimento e seu conjunto de valores possíveis.
c) De que tipo é essa v.a. e qual a sua distribuição
16 Numa fábrica foram instaladas 1000 lâmpadas novas. Sabe-se que a
duração média das lâmpadas é de 800 horas e desvio padrão de 100 horas, com
distribuição Normal. Determinar a quantidade esperada de lâmpadas que
deverão durarão:
a) menos que 500 horas;
b) mais de 700 horas;
c) entre 516 e 814 horas.
17 Uma indústria metalúrgica produz um cilindro com diâmetro interno tendo
distribuição normal com média 36 mm e desvio 0.5 mm. O gerente de
qualidade da empresa quer determinar limites de controle (inferior e superior) tal
que 98% das peças produzidas tenham diâmetro dentro destes limites.
a) Encontre os limites.
b) Se cada cilindro fora dos limites é sucateado a um custo de R$ 1.50, qual o
prejuízo da empresa se a produção mensal de 25000 peças?
18. Os dados abaixo representando uma amostra do volume (em ml) de
envasamento de desinfetante "PINHO-SKOL" . Dados:
254 251 252 250 251 251 247 253 250 253 248 250 251 252
249 246 256 253
a) Encontre uma estimativa do volume médio de envasamento.
b) Se o limite superior de especificação do produto for de 255 ml, dê uma
estimativa da proporção de frascos acima deste limite.
19. Um fabricante de máquinas de lavar, sabe que a duração de suas máquinas
tem distribuição Normal com média de 1600 dias e desvio padrão de 400 dias.
Oferece uma garantia de um ano (365 dias). Produz 2000 máquinas
mensalmente. Quantas espera trocar, mensalmente, pelo uso da garantia?
20. A duração de um certo tipo de pneu, em quilometros rodados, é uma
variável aleatória normal com duração média de 60.000 Km e desvio padrão de
10.000 Km. qual a probabilidade de um pneu durar:
30
50
20
100
Se um sistema for escolhido ao acaso, qual a probabilidade de ter:
a) 3 componentes e tempo de operação contínua intervalo B?
b) Tempo de operação contínua no intervalo A dado que ele tenha só um
componente implantado?
c) Tempo de operação contínua em C dado que ele tenha mais de um
componente implantado?
d) Tempo de operação contínua menor ou igual a 100, dado que ele tenha mais
de um componente implantado?
a) Entre 50.000 e 70.000 Km?
b) Exatamente 65.555 Km?
c) O fabricante deseja fixar uma garantia de fábrica tal, se a duração do pneu for
inferior à garantia, o pneu será trocado gratuitamente. De quanto deve ser
essa garantia para que no máximo 1% dos pneus sejam trocados?
21. Suponha que a duração de vida de dois dispositivos eletrônicos do mesmo
tipo, mas de marcas diferentes M1 e M2 tenham distribuições N 1  40;36  e


N 2 45;9 , respectivamente. Qual dos dispositivos deve ser escolhido:
a) Se tiver que ser usado por um período de 48 horas? Justifique.
b) Se exigirmos que pelo menos 95% dos dispositivos escolhidos em (a) tenham
duração superior a 40 horas, tal especificação é atendida? Justifique.
22. Um processo de produção de óleo de soja deve controlar a viscosidade do
óleo para a determinação do tempo de abertura do bico de enchimento dos
frascos no engarrafamento. Se a v.a. V = viscosidade do óleo tem distribuição
normal com média  = 40 e variância  2 = 2.56. Sabendo que foram observadas
25 medidas de viscosidade, determine:
a) A probabilidade de que a média amostral não ultrapasse 40.4.
b) Quais os limites a e b, simétricos em torno de , tais que P(a  V  b) =
0.92.
c) De quanto deve ser o tamanho da amostra para que, mantidos os limites a e
b, probabilidade do item (b) seja de no mínimo 0.99.
23. Uma marca de veículos pretende comparar o desempenho de seus modelos
populares com os de outras marcas. Para isso, os engenheiros responsáveis
retiraram uma amostra com n = 12 veículos para teste de consumo. A empresa
afirma que a média de consumo de seus veículos é de µ = 13 e a variabilidade é
 2 = 0.81 (os dados estão em km/litro).
Os resultados obtidos foram: x = 12.12 e s = 0.9259
a) Assumindo que a informação da montadora é verdadeira, qual a probabilidade
de que a média amostral para amotras de tamanho 12 seja maior do que
12.6?
b) Supondo que a variabilidade dos veículos não seja correta, como fica a
probabilidade em (a).
c) Considerando apenas a informação da amostra, pra quanto deve ser reduzida
a variância amostral para que a probabilidade em (b) seja de pelo menos
0.025?
d) No item anterior, mantendo-se a variância amostral fixa, de quanto deve ser
aumentada a amostra para que se obtenha o mesmo resultado?
24. Num provedor de acesso à internet deseja implantar um plano sem limite
de horas. Para isso, verificou numa amostra de n = 25 usuários os tempos de
utilização mensal, obtendo: média amostral x = 26.8 horas.
Sabendo que  2 = 6.25 horas 2:
a) Encontre um intervalo de confiança 90% para a média.
b) De quanto deve ser aumentado o tamanho da amostra para que, mantidas as
demais medidas, o comprimento do intervalo caia pela metade?
25. Observou-se a estatura de 20 recém nascidos num hospital conforme dados
abaixo. Pesquisas anteriores indicam que a estatura média das crianças
nascidas neste hospital é de µ = 51 cm.
Dados: x = 987 e x 2 = 48845.25
a) Qual a probabilidade de que a estatura média da amostra não ultrapasse
50.20 cm?
b) Construa um I.C. 99% para a média.
26. 10 corpos de provas foram submetidos a um teste de corrosão onde foram
submersos em água salgada durante 60 segundos/dia. A corrosão foi medida
pela perda de peso em miligramas/decímetro quadrado/dia (MDD). Os dados
obtidos foram:
130.1 124.2 122.0 110.8 113.1 103.9 101.5 92.3 91.4 83.7
a) Encontre estimativas para a média e variância para a perda de peso em MDD.
b) Construa um intervalo de 95% de confiança para a média.
c) Supondo que a verdadeira média seja  = 110, calcule a probabilidade de que
X seja superior ao máximo valor da amostra considerando:
i) desvio padrão conhecido  = 16;
ii) desvio padrão desconhecido.
27. Os dados abaixo se referem a testes de inflamabilidade realizados com
duas marcas diferentes de tecidos usados em forração de assentos automotivos.
Foram consideradas normas, sob as quais, as capas são feitas controladamente.
Após as chamas se extinguirem, foi registrado a extensão da porção incinerada.
a) Encontre as estimativas das médias e variâncias para cada marca.
b) Construa um I.C. 95% para a diferença entre as médias considerando
variâncias iguais
c) Refaça o item anterior considerando variâncias diferentes.
d) Com relação à variância, o que você acha mais razoável considerar?
Marca
A
Marca
B
3.3
3.1
3.1
3.7
4.2
3.7
3.9
3.1
3.4
3.3
3.2
3
2.7
2.7
3.3
2.8
3.1
2.9
4.1
2.9
28. Numa indústria de autopeças, sabe-se que o nível de dureza de um produto
feito a base de cerâmica tem variabilidade 2 = 0.64. Uma amostra de 16 peças
foram testas quanto à dureza e o resultado é apresentado abaixo.
17.5 18.4 18.2 17.9 17.5 18.2 17.5 17.4 17.9 19.4 17.2 18.5
17.4 18.6 19.2 18.6
a) Construir um I.C. 99% para a média.
b) No caso anterior, de quanto deve ser aumentado o tamanho da amostra para
que o comprimento do intervalo caia pela metade?
c) Repetir o item (a) considerando variância desconhecida.
29. Os dados de sobrevida da tabela referem-se ao tempo (meses) de
sobrevida de 32 pacientes com câncer separados por sexo e pelo estágio da
doença quando detectada.
a) Para os dois casos, construa I.C. 95% para as diferenças entre as médias.
b) Com os intervalos obtidos em (a) você conseguiria tirar alguma conclusão a
respeito da igualdade das médias?
c) Teste a hipótese de que as médias entre os dois estágios são iguais com um
nível de significância de 5%.
d) Teste a hipótese de que as médias entre os sexos são iguais, a um nível de
significância de 10%.
Tempo de sobrevida por estágio da doença.
Estágio
N
média amostral
D.P. amostral
Moderado
16
28.575
23.11
Avançado
16
14.287
10.92
Total
32
21.431
19.20
Tempo de sobrevida por sexo.
Sexo
média amostral
D.P. amostral
Masc
16
20.1375
17.49
Fem
16
22.7250
21.27
Total
32
21.43125
19.2
30. Numa pesquisa de marketing verificou-se que dentre 200 consumidores, 35
preferem o sabão em pó OWO.
a) Teste a hipótese H 0: p  0.15  H A: p > 0.15, a um nível de significância 5%.
b) Mantendo-se fixo o valor de p̂ , de quanto de ser aumentada a amostra para
que o resultado do teste seja o contrário?
31.
A precipitação pluviométrica de numa certa região tem desvio padrão e
média desconhecidos. Para as últimas 9 semanas, foram obtidos os
seguintes dados.
12.2 13.2
11.2
13.6
10.8
12.1 11.4
12.2
10.3
a) Definir as hipótese nula e hipótese alternativa adequada para comparar os
resultados com os registros históricos da região que é de 11 mm.
b) Qual a estatística teste a ser usada para testar a hipótese definida em (a)?
c) Encontrar a região critica para a estatística definida em (b), com nível de
significância  = 0.05. O que você conclui com relação a H 0?
d) Calcular o valor p do teste.
e) Com  2 = 1.21 (conhecido), se a distância entre a média amostral e o valor
proposto para o teste cair pela metade, de quanto deve ser aumentada a
amostra para que o valor p seja o mesmo calculado em (d)?
32.
Considerando os dados do exercício (6)
a) Teste a hipótese de que a média é igual a 18.4. Calcule o valor p.
b) Faça o teste unicaudal. Você mudaria de opinião? Comente.
c) Repetir o item (b) considerando variância desconhecida.
d) Sabendo que a probabilidade de erro tipo II é a probabilidade de não se rejeitar
H 0 quando H 0 é falsa, dê uma aproximação para o erro tipo 2 se a verdadeira
média for  = 17.75 (considere variância desconhecida). Interprete o
resultado.