Order stars e métodos numéricos lineares de passos múltiplos:
algumas propriedades
José Claudinei Ferreira e José Roberto Nogueira
Universidade Estadual Paulista Julio de Mesquita Filho-FCT-UNESP
Presidente Prudente
Iniciação Científica
Em muitos modelos matemáticos, utilizados na simulação de problemas unidimensionais,
em aplicações à física, à biologia e a outras áreas, envolvem equações diferenciais
ordinàrias. Da teoria de equações diferenciais ordinàrias observamos que apenas uma classe
pequena delas pode ser resolvida através de métodos analíticos, ou seja, podemos encontrar
explicitamente uma função que satisfaz a equação dada. Portanto, na falta de soluções
analíticas, uma alternativa é tentar obter aproximações para a solução. Neste caso, uma
ferramenta muito poderosa e muito utilizada é o emprego de métodos numéricos de
resolução, cuja essência se baseia na discretização do contínuo. À esta discretização que
torna o problema finito viabilizando sua solução através do uso de computadores.
Quando utilizamos um método numérico para a resolução de uma equação diferencial, o
mínimo que devemos exigir deste método é que ele seja convergente, ou seja, que a solução
gerada pelo método convirja em alguma razão lógica para a solução teórica da equação
diferencial quando tivermos dispostos a continuar refinando a solução numérica
encontrada. Para podermos compreender melhor esta noção de convergência, e podermos
trabalhar matematicamente e na prática, torna-se necessária uma definição formal de
convergência. Para que possamos fazer esta definição, e analisá-la, precisamos das noções,
e definições, de ordem, que é baseada, geralmente, nas propriedades da expansão de uma
função em série de Taylor, da noção de consistência, que esta ligada a noção de ordem, e da
noção de estabilidade do método.
À na literatura muitos trabalhos a respeito das propriedades teóricas dos métodos numéricos
e, destacamos a publicação do famoso teorema de equivalência de Dahlquist (1956), que
estabelece que um método numérico linear de passos múltiplos para a resolução de uma
equação diferencial ordinária é convergente se, e somente se, possuir ordem p maior ou
igual a um e se todas as raízes de seu primeiro polinômio característico associado estivem
no disco unitário fechado do plano complexo e se as raízes de módulo igual a um forem
simples. Este teorema foi de grande importância para que a analise numérica fosse
considerada uma disciplina matemática.
Mais recentemente, a teoria de Order Stars, introduzida por Wanner et al (1978), cuja
essência se baseia no estudo do comportamento dos métodos numéricos a partir do estudo
das propriedades, em algumas regiões do plano complexo, de funções analíticas, se tornou
uma ferramenta muito importante, senão fundamental, para o estudo das propriedades dos
métodos numéricos para a resolução de equações diferenciais.
Neste trabalho fazemos um estudo das propriedades e definições, já conhecidas, dos
métodos lineares de passos múltiplos para a resolução de equações diferenciais ordinárias,
tais como as definições de ordem, estabilidade e convergência, com destaque nas
proposiçõµes e teoremas a respeito, seguidos de exemplos numéricos. Paralelamente
faremos um estudo de algumas propriedades e definições equivalentes para métodos
lineares de passos múltiplos, utilizando a teoria de Order Stars.