Escola Secundária de Santa Maria da Feira
Ficha de Trabalho de Matemática A
11º Ano
Exercícios de Revisão
FT-11
I Parte
1- Na figura junta está a representação gráfica de uma função
h e de uma recta t, tangente ao gráfico de h no ponto de abcissa a.
A recta t passa pela origem do referencial e pelo ponto de coordenadas (7,5).
5
1
5
7
O valor de h’(a) é :
(A) (B)
(C)
(D)
5
7
5
7
y
5
h
O
a
y
2- A recta t é tangente ao gráfico da função f no ponto A de abcissa 5.
A derivada de f no ponto 5 é:
3
4
1
1
(A)
(B)
(C)
(D) 2
5
2
2
x
7
f
4
A
3/2
x
5
O
3- Sendo a função derivada da função g representada graficamente por
y
a
b
c
x
O
Um gráfico de g pode ser:
(A)
(B) y
(C)
(D)
y
O
a
y
y
b
c
aO
x
b
c
x
O
b
a
x
c
b
c
x
O
4- Na figura ao lado está uma representação de g’, derivada de uma certa função g.
A função h é definida por h( x) = g(x) –2. Nestas condições,
Uma representação gráfica de h’, derivada de h, pode ser:
y
4
g’
O
6y
(A)
y
4
(B)
4
y
(C)
x
x
O
O
2
x
y
f
x
b
O
(B)
(C)
y
O
(D)
y
y
b
x
O
b
x
b
O
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x
O
-4
5- Seja f a função real de variável real cujo gráfico é:
Então o gráfico da função derivada pode ser:
(A)
y
(D)
O
x
x
b
x
O
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y
6- Se a representação gráfica de uma função g é:
4
g
g
4
A representação gráfica de g’ pode ser:
y
(A)
-4
y
(B)
4
y
(C)
4
x
-4
-4
y
(D)
1
x
x
4
x
-4
-4
4
x
4
-4
4
-1
7- Na figura estão representadas:
y
. Parte do gráfico da função g, de domínio R definida por g(x) = 3x2 − 1
. Uma recta tangente ao gráfico de g, no ponto de abcissa b
A inclinação da recta r é de 60°.
O valor de b é:
(A)
3
4
(B)
3
2
(C)
1
3
1
2
(D)
y
9-
f
a
x
O
f(a).f'(a) < 0
(D)
x
g
8- A recta t é tangente ao gráfico de f no ponto x=a.
Sabendo que f admite primeira e segunda
no ponto a, então podemos concluir que:
(A) f'(a).f''(a) > 0
(B) f(a).f''(a) > 0
(C) f'(a).f''(a) < 0
r
60º
O b
t
Considera a representação gráfica de uma função g
y
9.1
O valor da expressão g’(-1)+g’(4) é:
3
3
12
(A)
(B) (C)
5
5
5
9.2 O domínio de g’(x) é:
(A) R \ {3}
(B) R
(D)
-5
(D)
g
x
O
-5
(C) R \ {0}
3
R \ {-5}
10- Um projéctil é lançado verticalmente de baixo para cima. Admitindo que a sua altura ( em metros)
t segundos após ter sido lançado, é dado pela expressão
h(t) = 300t − 10t2
Qual é a velocidade ( em metros por segundo) do projéctil, 4 segundos após o lançamento?
(A) 300
(B) 292
(C) 220
(D) 280
x
+ 7 x2 no ponto de abcissa 1 é :
2
2
2
5
2
5
3
5
(A) y = x
(B) y = − x +
(C) y = x +
(D) y = - x +
3
3
6
3
6
2
6
x +1
12- Sendo f a função definida por f(x) =
, o valor de x tal que f’(x)=2.f(x) é:
x −3
11- A equação da recta normal ao gráfico de g(x) = −5x3 −
(A)
{- 1 +
2, − 1 − 2
}
{
(B) 1 + 2,1 − 2
y =1
(B) x = 1
{
(C) 3,-1 + 2,−1 − 2
}
(D)
{3,1 +
2, 1 − 2
}
y = 4x2 − 8x + 10 é:
13- O eixo de simetria da parábola de equação
(A)
}
(C) x = -1
(D)
x=0
Soluções:
1
2
3
4
5 6
7
8
9.1 9.2 10
11
12
13
C
C
B
B
B D
D
C
A
C
B
B
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C
C
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14- Considere as funções reais de variável real
f
e
g , definidas analítica e graficamente, respectivamente por:
4
2
f ( x) = − x + 4
2
-5
g
5
-2
-4
Das afirmações seguintes, relativas a estas duas funções, só uma está correcta. Qual delas é?
(A)
(B)
A função representada graficamente é a
A função representada graficamente é a função
função
f ×g
f
g
20
10
15
5
10
-10
10
20
-5
5
-10
- 10
-15
10
-5
-20
-10
(C)
A função representada graficamente é a
função
(D)
A função representada graficamente é a função
f g
g −1
4
4
2
2
5
5
-2
-2
15-Uma equação da recta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa 1 é y = 3x - 2.
Então o valor de
(A) 0
lim
h →0
(B) 3
f (1 + h) − f (1)
h
(C) 1
é:
(D) –2
16- Qual dos seguintes gráficos representa a derivada de uma função que tem um mínimo relativo no ponto de abcissa a ?
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17-Na figura ao lado está parte da representação gráfica de uma função s de domínio IR.
Indique qual das figuras seguintes pode ser parte da representação gráfica da
função t definida por t(x )=
1
.
s( x)
18-. Na figura junta, está representado o círculo trigonométrico. Os pontos A, B e C têm coordenadas (1,0), (0,1) e (0,−1),
respectivamente. O ponto P desloca-se ao longo do arco AB, nunca coincidindo com o ponto B. Para cada posição do ponto P,
seja x a amplitude do ângulo AOP, e seja f (x) a área do triângulo [OPC ].
Qual das expressões seguintes define a função f ?
(A)
(C)
senx
2
senx + cos x
2
cos x
2
senx. cos x
(D)
2
(B)
19- Na figura estão representados, em referencial o.n. x0y:
• um quarto de círculo, de centro na origem e raio 1.
• uma semi-recta paralela ao eixo Oy, com origem no ponto (1,0) um ponto A pertencente a esta semi-recta.
• Um ângulo de amplitude α, cujo lado origem é o semieixo positivo 0x e cujo lado extremidade é a semi-recta.
Qual das expressões seguintes dá a área da região sombreada, em função de a ?
(A)
(C)
π
tga
4
2
tga
π+
2
+
(B)
(D)
π
2
4 tga
2
π+
tga
+
20- Na figura está parte dos gráficos de duas funções polinomiais r e s, do primeiro e segundo graus.
Qual pode ser o domínio de
(A) ]-2,+∞[
(C) [-2,2]
s
r
?
(B) ]-∞,2]
(D) ]-∞,-2[ ∪ ]-2,2]
21- Seja f uma função, de domínio IR, tal que a sua derivada é definida por f
esta parte da representação gráfica da função f ?
'(x)=1-x2 . Em qual das figuras seguintes poderá
22-Considere um rectângulo cuja área é igual a 5. Qual das seguintes expressões representa o perímetro deste rectângulo, em
função do comprimento, x , de um dos seus lados?
(A)
2x +
10
x
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(B)
2x +
2x
5
(C)
2x +
5
x
(D)
x+
5
x
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23- A Maria vai sempre de carro, com o pai, para a escola, saindo de casa entre as sete e meia e as oito horas e trinta minutos da
manhã. Admita que, quando a Maria sai de casa t minutos depois das sete e meia, a duração da viagem, em minutos, é dada por
d (t ) = 45 −
5600
, com t ∈ [0 , 60]
t + 300
.
2
As aulas da Maria começam sempre às oito e meia. Na segunda-feira passada, contrariamente ao habitual, a viagem de carro teve
uma duração de 43 minutos. A que horas saiu a Maria de casa?
(B) 7h 50m
(C) 8h 10m
(D) 8h 20m
(A) 7h 40m
24- Indique o conjunto dos números reais que são soluções da inequação
(A) ]−∞,2[
(B) ]−∞,−2]
(C) ]−2,2[
3x + 6
≥0
− x2 − 4
(D) [-2,+∞[
25- Na figura observa-se uma representação gráfica de uma função s polinomial de grau três.
Sabe-se que
r
s
tem duas e só duas assimptotas verticais.
Qual dos seguintes gráficos pode representar a função r ?
26-Na figura estão representadas a função f, quadrática e a função g, cúbica.
A função
(A)
f
g
tem domínio:
IR \ {-2,-1,0,2}
(B) IR\{-1,0}
(C) IR\{-1,0,2}
(D) IR
27-Na figura estão representadas a função g, cúbica e a função h, racional.
O conjunto de zeros da função g × h é:
(A) {--1,0,1}
(B) {0}
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(C) IR\{-1,1}
(D) { }
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28-Considere f ´, a função derivada de f, representada graficamente na figura abaixo e com domínio IR.
Pode concluir-se que:
(A) f tem um máximo para x = -1.
(B) f tem um mínimo para x = -1.
(C) f não tem extremos.
(D) f tem um zero para x = -1.
29- A figura em baixo os gráficos de duas funções f e g.
Então um gráfico da função definida por
f
g
pode ser:
2
30-Considere as funções f(x) = x - 2x e g(x) = x + 1 .
Qual das afirmações é verdadeira?
(A)
( f o g )(3) = 4
(B)
f 
 (3) = 8
g
(C)
( gof )(3) = 4
(D)
(f× g )(3) = 8
31- Na figura está representado, em referencial o.n. xOy, um arco de circunferência AB, de centro na origem do referencial.
O ponto Q move-se ao longo desse arco.
Os pontos P e R, situados sobre os eixos Ox e Oy, respectivamente, acompanham o
movimento do ponto Q, de tal forma que o segmento de recta [PQ] é sempre paralelo ao eixo
Oy e o segmento de recta [QR] é sempre paralelo ao eixo Ox.
Para cada posição do ponto Q, seja x a amplitude do ângulo AOQ e seja h(x) a área da região
sombreada.
Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função h?
Soluções
14
D
15
B
16
A
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17
D
18
B
19
A
20
D
21
B
22
A
23
D
24
B
25
C
26
C
27
A
28
C
29
D
30
C
31
B
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II Parte
1-Pretende-se murar um terreno rectangular junto a um rio, dispondo de 2400 euros.
O muro junto ao rio tem de ser mais resistente e custa 5 euros o metro linear e nas restantes três paredes custa
1 euro o metro linear.
a) Designando por y o comprimento a vedar do lado do rio e por x a largura do terreno,
mostre que y =
1
400 − x .
3
b) Determine a área máxima de terreno que é possível vedar.
2-Uma fábrica de lacticínios lançou no mercado uma nova variedade de iogurtes. O preço de venda de cada iogurte, em euros,
durante a promoção, é dado por
C ( x) =
0,1x + 1,2
, em que x
x +1
representa o número de iogurtes.
a) Quantos iogurtes teremos de comprar para que o preço de
cada iogurte seja 20 cêntimos?
b) Calcule
lim C ( x) e interprete o valor obtido.
x → +∞
c) O fabrico das embalagens de cartão para o leite
processa-se nesta fábrica a partir de folhas quadradas
com 30cm de lado por recorte e dobragem como indica a figura.
c1) Verifique que o volume da embalagem pode ser expresso em função de x por V(x) = 2x3 − 60x2 + 450x .
c2) Determine, analiticamente, o valor do volume máximo que os pacotes de leite poderão ter.
3- Segundo os testes de um laboratório técnico, a eficiência das pilhas Duramuito quando usadas num leitor de Cd´s portátil, pode
ser expressa pela função
E (t ) =
780 − 10t
t +8
, em que
E
é a eficiência em percentagem e t é o tempo de utilização em horas.
3.1.Qual é a eficiência das pilhas quando são colocadas no leitor?
3.2.Determine analiticamente quanto tempo deve o leitor estar a funcionar com as mesmas pilhas para que a eficiência das
mesmas se reduza a 76%.
3.3. Na resolução da questão seguinte deve recorrer à calculadora gráfica ilustrando a sua resposta com um esboço do
gráfico visualizado, esboço esse onde deve assinalar todos os valores relevantes para a compreensão da sua resposta.
O leitor só funcionará em boas condições se a eficiência das pilhas for superior a 40%.
Durante quanto tempo poderemos usar o leitor em boas condições com as mesmas pilhas? Apresente o resultado em horas
e minutos.
4-Considere as seguintes funções:
- a função f definida por f (x) = 4x2 + bx + c , cujo gráfico é uma parábola com vértice no ponto (0,5 ; 3)
- a função g definida por g(x) = x2 −1
- a função h definida por
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
h( x) =
5 + 3x
1− x
Relativamente à função f, mostre que b = - 4 e c = 4.
Explique porque não existe a imagem de 1 pela função g - h.
Resolva a condição h(x) > −2 .
Caracterize a função inversa da função h.
Caracterize a função g × h e determine os seus zeros, caso existam.
Determine a equação da recta tangente ao gráfico de h no ponto de abcissa -3.
5- Num teste laboratorial que durou 5 horas, o número N de bactérias, em milhares, evoluiu de acordo com o seguinte modelo
matemático
1
(t ) = − t 3 + 6t + 4 , t em horas e 0 ≤ t ≤ 5
3
5.1 Determine a taxa média de crescimento da população bacteriana durante as quatro primeiras horas.
5.2 Qual a taxa de crescimento no início da 1ª hora e o fim da 2ª hora? Interprete os resultados no contexto do problema.
5.3 Recorra ao estudo da função derivada para determinar o número máximo de bactérias durante o teste. Em que instante
ocorreu?
5.4 Escreva a equação da recta tangente ao gráfico da função N no ponto de abcissa 2.
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2
6- Considere as funções f(x) =2x ,
g ( x) =
2x 2
x−3
e
h( x) =
x+3
x2 − 9
6.1 Determine os domínios de g e de h.
6.2 Caracterize a função (h x g ) .
6.3 Determine o domínio e a expressão analítica simplificada de
6.4 Serão iguais as funções f e
g
.
h
g
? Justifique.
h
6.5 As funções f e g serão permutáveis? Justifique.
7- Na figura está representado um projecto de uma escultura em cimento para o jardim de uma escola, constituída por uma
esfera colocada sobre um cubo.
Pretende-se que a escultura tenha uma altura total de 2 metros.
Apresentam-se, a seguir, as vistas de frente de três possíveis concretizações desse projecto.
7.1 Designemos por x o raio da esfera (em metros).
7.1.1 Indique, na forma de intervalo de números reais, o conjunto dos valores que a variável x pode assumir.
7.1.2Mostre que o volume total, V, em metros cúbicos, da escultura é dado, em função de x, por
V ( x) =
4π − 24 3
x + 24 x 2 − 24 x + 8
3
7.1.3 Determine o raio da esfera e a resta do cubo de modo que o volume total da escultura seja mínimo. Apresente os
resultados em metros, arredondados às centésimas.
7.2 Admita agora que o raio da esfera é metade da aresta do cubo.
Pretende-se pintar toda a superfície da escultura, excepto naturalmente a face do cubo que está assente no chão.
Cada litro da tinta que vai ser utilizada permite pintar uma superfície de 2,5 m2.
Admitindo que esta tinta só é vendida em latas de 1 litro, quantas latas será necessário comprar?
8- Na figura está representada em referencial o.n. Oxyz uma pirâmide quadrangular regular.
• A base da pirâmide está contida no plano de equação z=4
•
O vértice A pertence ao eixo Oz
•
O vértice B pertence ao plano yOz
•
O vértice D pertence ao plano xOz
•
O vértice C tem coordenadas (4,4,4)
•
A altura da pirâmide é 6
8.1 Mostre que uma condição que define a recta DE é : x-4 = -y =
z−4
3
8.2 Determine uma equação cartesiana do plano que contém o ponto C e é perpendicular à recta DE.
8.3 Determine a amplitude do ângulo EDB, com aproximação às decimas do grau.
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