Escola Secundária de Santa Maria da Feira
Ficha de Trabalho de Matemática A
11º Ano
FT-12
I Parte
Escolha Múltipla
1. Quantas soluções tem a equação cos α = tg α no intervalo [0,2π ]?
(A) 0
(B) 1
2. Seja f ( x) = a +
(C) 2
(D) 4
b
uma função racional de domínio IR\{0. Em qual das seguintes condições a equação f (x) = 0
x
tem uma solução positiva?
(A) a = 0 e b > 0
(C) a < 0 e b > 0
(B) a = 0 e b < 0
(D) a < 0 e b < 0
3. Considere as funções g e h, ambas polinomiais de graus 1 e 2, respectivamente,
de domínio IR, representadas graficamente na figura ao lado.
Quantos zeros tem a função (g − h) ?
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
4. Considere a função f, de domínio IR, e a recta t, tangente ao gráfico de f, no ponto de abcissa -1.
Então, f´(-1) é:
(A)
3
4
(C) 2
(B)
1
2
(D) −
3
4
5. Seja g uma função de domínio IR cuja representação gráfica está na figura ao lado.
Qual das seguintes figuras representa a função g−1, função inversa de g ?
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6. Considere a função h, de domínio IR, com a seguinte representação gráfica:
Qual das condições seguinte é falsa?
(A) tmv[ −6 , −2 ] > 0
(B) tmv[ −6, −2 ]
> tmv[ 0, 2]
(C)
tmv[ −6, 0] = 0
(D)
tmv[ −6, −2] > tmv[ 2, 4]
7. A eficiência de um tipo de pilhas, em percentagem, é dada, em função do tempo t de utilização, em horas, pela
função
E (t ) =
(A) IR \{− 8}
800 − 10t
. Qual é o domínio da função E?
t +8
(B) IR \ {8}
(C) [0,+∞[
(D) [0,80]
8. Na figura seguinte está parte da representação gráfica de uma função g.
Qual dos seguintes gráficos pode representar a função derivada da função g?
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9. Na figura estão representadas a função f, quadrática e a função g, cúbica.
O conjunto de zeros da função
(A) { - 2}
10. A expressão
(A) 0
f
é:
g
(B) { - 2, -1, 0,2}
(C) { - 2,2}
(D) { - 2,-1, 0}
π

sen − α  + cos(− π + α ) é equivalente a :
2

(B) 2 senα
(C) 2 cos α
(D)
senα + cos α
2 x − y = 3

11. Qual das situações seguintes pode traduzir o sistema − 4 x + 2 y = 1
 2 y + z = −4

12. A representação gráfica do plano
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α: x+ 2y+z=1 no primeiro octante de um referencial ortonormado é:
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II Parte
1. Para um desfile de Carnaval, uma turma de 11ºano conseguiu que uma fábrica lhe disponibilizasse 16 metros de
seda, 11 metros de tule e 15 metros de cetim. Uma modista propôs-lhe a confecção de dois tipos de fatos A e B.
Um fato de tipo A gasta 2 metros de seda, um metro de tule e um metro de cetim. Um fato de tipo B gasta um
metro de seda, 2 metros de tule e 3 metros de cetim.
Qual o número máximo de fatos que podem ser confeccionados? E quantos de cada tipo?
Responda às duas questões anteriores, incluindo na sua resposta:
- um sistema de inequações que traduza as condições do problema para o número de fatos a confeccionar de cada
um dos dois tipos;
- uma representação gráfica do polígono de soluções admissíveis;
- a indicação gráfica da solução óptima.
2. Um medicamento foi injectado num doente. A concentração desse medicamento no sangue do doente, t horas
após ter sido injectado é dada, em miligramas por mililitro de sangue, pela expressão:
C (t ) =
− 1.3t 2 + 13t + 0.01
t +1
Responda analiticamente a todas as questões seguintes.
Apresente os resultados do tempo em horas e minutos (minutos arredondados às unidades) e os de concentração
arredondados às centésimas.
2.1. Qual era a concentração de medicamento no sangue do doente quinze minutos depois de ter sido injectado?
2.2. Enquanto a concentração no sangue for superior a 6,5 miligramas por mililitro, o medicamento pode trazer
efeitos indesejáveis. Durante quanto tempo acontecerá isso?
2.3. Depois de atingir o nível máximo, a concentração começa a diminuir.
Quando atingir uma miligrama por mililitro de sangue, é necessário tomar nova dose do medicamento. Quando
deverá isso acontecer?
2.4. Explique o significado de C (t) = 0, no contexto do problema.
3. Consideremos:
- a função racional f definida em IR \ {0} por f ( x )
=
1
x
- a função polinomial g representada graficamente ao lado.
3.1. Calcule (f + g)(−1).
3.2. Indique, justificando, o valor de g ´(1).
3.3. Indique o domínio da função
f
e os seus zeros, caso existam.
g
3.4. Resolva a condição g'(x) ≤ 0 .
3.5. Indique, justificando, o domínio da função h, definida por h( x) =
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g ( x) .
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4. Uma pedra é atirada para um lago, formando sucessivos círculos concêntricos.
Admitamos que o diâmetro d de cada círculo que se forma, t segundos depois da pedra ter caído na água é dado,
em centímetros, por d (t )
= 180 −
450
.
t + 2 .5
4.1. Determine, analiticamente, a área do círculo que se forma passados 10 segundos da pedra ter caído na água.
Apresente o resultado aproximado às unidades.
4.2. Calcule a velocidade de crescimento do círculo no instante t = 2 segundos. Apresente o resultado aproximado às
unidades.
4.3. Exprima o tempo que decorreu depois da pedra ter caído na água em função do diâmetro do círculo formado.
4.4. Determine quanto tempo depois da pedra ter caído na água se forma um círculo com diâmetro de 150 cm.
5. O Francisco fez um avião de papel e atirou-o da varanda. A altura do avião em relação ao chão é dada, a partir do
momento do lançamento, pela função:
A(t) = −t 3 + 9t 2 − 24t +25 , com A em metros e t em segundos.
Resolva analiticamente as questões seguintes.
5.1. Qual é a altura da varanda do Francisco?
5.2. A certa altura o avião parou de descer e começou a subir. Quando aconteceu isso e a que altura do chão estava
o avião?
5.3. Qual era a velocidade do avião passado 1 segundo de ele ter sido lançado?
6. Na figura está representado, em referencial ortonormado do plano, a sombreado, um polígono [ABEG].
Tem-se que:
- [ABFG] é um quadrado de lado 2;
- o ponto A coincide com a origem do referencial;
- FD é um arco de circunferência de centro em B; o ponto E move-se ao
longo desse arco; em consequência, o ponto C desloca-se sobre o
segmento [BD], de tal forma que se tem sempre [EC] ⊥ [BD];
 π
.
 2 
- x designa a amplitude, em radianos, do ângulo CBE , x ∈ 0,
6.1. Mostre que a área do polígono [ABEG] é dada, em função de x, por A(x) = 2(1+ senx + cos x)
(Sugestão: pode ser-te útil considerar o trapézio [ACEG].)
π 
 . Interprete, geometricamente, cada um dos valores obtidos.
2
6.2.Determina A(0) e A 
6.3. Considere agora x =
π
rad.
6
6.3.1. Prove que as coordenadas do ponto E são (2 + 3 , 1).
6.3.2. Determina a amplitude do ângulo formado pelas rectas GB e BE.
6.3.3. Escreve a equação reduzida de uma recta r, com a mesma inclinação da recta BE e que contenha o ponto
H(0,3).
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7. Considera, em referencial ortonormado do espaço, uma pirâmide quadrangular recta
[ABCDV] como a da figura:
Sabe-se que a base da pirâmide tem aresta 2cm e está contida no plano xoy, e o
vértice V tem coordenadas (1, 1, 6).
7.1. Mostre que os vectores MA e MV , em que M é o ponto médio de [AC],
são perpendiculares.
7.2. Escreva uma equação cartesiana do plano definido pelos pontos V, B e C.
7.3. Escreva uma equação cartesiana do plano α paralelo ao eixo Oz e que
contenha os pontos A e C.
8. O Joaquim tem um quintal com um terreno. Comprou 24 m de rede para isolar duas zonas onde
colocará uma tartaruga e um cágado, e pretende usá-la na sua totalidade.
As zonas devem situar-se junto ao muro, serem rectangulares e terem a mesma área
(de acordo com a figura ao lado).
8.1. Se o lado de cada um dos rectângulos, assinalado com x, medir 6 m, qual é área
disponível para cada um dos animais?
8.2. Mostre que a área disponível para a tartaruga é dada em função de x (medida em metros do lado
assinalado) por A( x )
= 12 x −
3 2
x , x ∈] 0,8 [ .
2
8.3. Determine, recorrendo à derivada da função o valor de x que permite ao Joaquim construir espaços
com a maior área.
9. A tabela seguinte representa o estudo do sinal de uma função f, definida em IR :
9.1. Estude o sinal da função ( f ×g)(x) , sendo g a função definida em IR por g(x) =− x −3.
4 se x ≥ 0
definida em IR.
5 se x < 0
9.2. Considere a função h( x) = 
Indique os valores de (h o g)(3) e (h o g)(30) .
10. Na figura está parte da representação gráfica de uma função f.
10.1. Atendendo aos dados da figura, mostre que f ( x ) =
− x +1
x+2
10.2. Utilizando a calculadora gráfica, determine as coordenadas dos
pontos de intersecção do gráfico de f com a recta de equação y = x - 1
10.3.Indique o domínio, o contradomínio e as assímptotas da função
h(x)= 2+ f(x+3)
10.4. Calcule, caso existam, os seguintes limites:
10.4.1. lim f ( x)
x → +∞
10.4.3.
0.5
10.4.2. lim f ( x)
x → −∞
lim f ( x)
x → −2
11. Considere a função r.v.r. definida por f(x)= sen2x+(cosx-1)2-3
11.1. Prove que f(x) = -1 - 2cosx, ∀ x∈IR
11.2. Indique o contradomínio de f.
11.3. Determine os zeros de f pertencentes a [0,2π].
11.4. Resolva a condição f(x) < 2.
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