Propriedades de matrizes
Propriedades da soma e da multiplicação por escalar
Primeiras propriedades
Sejam A, B e C matrizes m × n, e sejam u e v escalares.
MA092 – Geometria plana e analı́tica
a) A + B = B + A (comutatividade)
Propriedades de matrizes. Matriz inversa
b) A + (B + C) = (A + B) + C (associatividade)
c) u(vA) = (uv)A (associatividade)
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d) u(A + B) = uA + uB (distributividade)
UNICAMP - IMECC
e) (u + v)A = uA + vA (distributividade)
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f) A + 0 = A, supondo que 0 é a matriz nula m × n
g) A + (−A) = 0, em que 0 é a matriz nula m × n
h) 1A = A
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Propriedades de matrizes
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Propriedades de matrizes
Exemplo
Propriedades da transposta
Dada a matriz
A=
2
0 3
4 −2 1
Mais propriedades
Sejam A e B matrizes m × n, e seja c um escalar.
a) (AT )T = A
a propriedade (e) nos diz que
1
1
3
2A −
A= 2−
A=
A
2
2
2
"
=
( 32 ) 0
c) (A + B)T = AT + B T
( 32 ) 3
#
Dadas A =
( 32 ) 4 ( 32 ) (−2) ( 23 ) 1
"
=
( 23 ) 2
b) (c · A)T = c · AT
3
0
6 −3
9
2
3
2
e B=
5 6 2
−3 1 8
temos

 
 

2
4
5 −3
7
1
1  =  6 −1 
(A + B)T = AT + B T =  0 −2  +  6
3
1
2
8
5
9
#
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2
0 3
4 −2 1
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Propriedades de matrizes
Propriedades de matrizes
Propriedades da multiplicação
Exemplo
Sejam dadas as matrizes
Propriedades
Sejam A, B e C matrizes de dimensões compatı́veis, e seja u um
escalar.
A=
2 5
B=
4 −1
1
2
C=
−3
6
Observe que
a) A(BC) = (AB)C (associatividade)
AB =
13 8
e
BC =
b) u(AB) = (uA)B = A(uB) (associatividade)
−18
9
Assim, como prevê a propriedade (a) da multiplicação,
−3
(AB)C = 13 8 ·
=9
6
c) A(B + C) = AB + AC (distributividade)
d) (A + B)C = AC + BC (distributividade)
e) (AB)T = B T AT (transposição)
A(BC) =
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2 5
·
−18
9
=9
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Propriedades de matrizes
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Propriedades de matrizes
Exemplo
O produto de matrizes é comutativo?
Sejam dadas as matrizes
A=
5 6
−3 4
2
−3
B=
Atenção
Em geral,
AB 6= BA
Observe que

Exemplo:
AB =
−8
−18
A=
e
T
(AB) =
−8 −18
6 5 −2

4
B =  −1 
3
AB = 6 · 4 + 5 · (−1) − 2 · 3 = 13
Por outro lado,
T
T
B A =
2 −3
·
5 −3
6
4

=
−8 −18

24 20 −8
2 
BA =  −6 −5
18 15 −6
,
o que já era previsto pela propriedade (e) da multiplicação.
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Propriedades de matrizes
Matriz inversa
Matriz identidade
Matriz inversa
Definição
A matriz identidade de ordem n × n é

1 0 0
 0 1 0


In =  0 0 1
 .. .. ..
 . . .
Definição
Seja A uma matriz n × n (quadrada). Definimos sua inversa, se
existir, como a matriz n × n A−1 tal que
definida por

··· 0
··· 0 

··· 0 

.. 
..
. . 
A · A−1 = A−1 · A = In
Quando A−1 existe, dizemos que A é inversı́vel, ou não singular.
2 −1
Exemplo: dada a matriz A =
2
4
"
#
0 0 0 ··· 1
Se a matriz A é m × n, então
observamos que A−1 =
A · In = Im · A = A
"
A·A
A matriz identidade é sempre quadrada.
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−1
=
1
10
1
5
2
5
− 15
2( 25 ) + (−1)(− 15 )
1
2( 10
) + (−1)( 15 )
2( 25 ) + 4(− 15 )
1
+2( 10
) + 4( 15 )
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Matriz inversa
#
=
1 0
0 1
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Matriz inversa
Obtenção da inversa
Exemplo
Vamos obter a inversa de A =
Método para a obtenção de A−1
Para obter a inversa de A
1
Montamos a matriz ampliada M = [ A | I ]
2
Aplicamos operações sobre as linhas da matriz ampliada até
convertermos A em I. Ou seja, fazemos
Convertemos uma coluna de A de cada vez, da esquerda para a
direita (começando na coluna 1 e acabando na n).
A inversa de A é a matriz que aparece do lado direito da nova
matriz ampliada.
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2
6
−1 −2
.
Montando a matriz ampliada:
2
6 1 0
M=
−1 −2 0 1
[ A | I ] −→ [ I | A−1 ].
3
pois
11 / 19
Convertendo o elemento m11 em 1: `1 ← `1 /2
"
1
3
2
6 1 0
−→
−1 −2 0 1
−1 −2
1
2
0
#
0 1
Convertendo o elemento m21 em 0: `2 ← `2 + `1
"
#
"
#
1 3 12 0
1
3 12 0
−→
−1 −2 0 1
0 1 12 1
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Matriz inversa
Matriz inversa
Exemplo
Propriedades da inversa
"
Matriz ampliada atual M =
1 3
0 1
1
2
1
2
0
#
1
Convertendo o elemento m22 em 1:
Desnecessário, pois o elemento já vale 1.
Propriedades
Sejam A e B matrizes n × n inversı́veis, e c um escalar, com c 6= 0.
Convertendo o elemento m12 em 0: `1 ← `1 − 3`2
"
#
"
#
1 3 12 0
1 0 −1 −3
−→
1
0 1
1
0 1 12 1
2
"
#
−1 −3
−1
A inversa de A é A =
1
1
2
Conferindo
# "
−1 −3
2
6
1 0
−1
A·A =
·
=
1
−1 −2
0 1
1
2
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a) (A−1 )−1 = A (inversa da inversa)
b) (AT )−1 = (A−1 )T (inversa da transposta)
c) (AB)−1 = B −1 A−1 (inversa do produto)
d) (cA)−1 = 1c A−1 (inversa do produto por escalar)
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Exercı́cios
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16 / 19
Exercı́cios
Exercı́cio 1
Exercı́cio 2
Problema
Calcule a inversa da matriz abaixo.
1 2
A=
3 4
Problema
Verifique que B é a inversa de A efetuando os produtos BA e AB.
2 −1
0, 4 0, 2
A=
B=
1
2
−0, 2 0, 4
A
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Outubro de 2015
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−1
=
−2
1
3/2 −1/2
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Exercı́cios
Exercı́cios
Exercı́cio 3
Exercı́cio 4
Problema
Sejam dadas as matrizes
1 2
A=
,
−1 3
X=
x
y
1
Calcule AX.
2
Escreva o sistema linear AX = B.
e
B=
5
15
Problema
Sejam dadas as matrizes
1 2
A=
,
−1 3
.
x +2y = 5
−x +3y = 15
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Exercı́cios
Exercı́cio 5
Problema
Seja dado um sistema linear na forma matricial AX = B.
Se A possui inversa, podemos obter a solução do sistema
calculando X = A−1 B, como fizemos no exercı́cio anterior.
Usando essa ideia, escreva o sistema abaixo na forma matricial e
determine sua solução.
2x −3y = 1
4x −2y = 6
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1
Calcule A−1 .
2
Calcule X usando X = A−1 B.
3
Mostre que AX = B.
A
Outubro de 2015
Outubro de 2015
19 / 19
X=
−1
=
3/5 −2/5
1/5
1/5
x
y
e
B=
5
15
X=
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−3
4
.
Outubro de 2015
18 / 19