Ângulos na circunferência
Ângulo central
MA092 – Geometria plana e analı́tica
Ângulos na circunferência – Teorema de Tales
Francisco A. M. Gomes
UNICAMP - IMECC
Definição
Agosto de 2015
Um ângulo central AÔB em uma circunferência é um ângulo que
tem vértice no centro O da circunferência.
_
AB é o arco correspondente ao ângulo central AÔB.
A medida do ângulo (α no desenho) pode aparecer ao lado do arco.
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Ângulos na circunferência
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Ângulos na circunferência
Congruência de arcos
Ângulo inscrito
Definição
1 Duas circunferências são congruentes se têm raios iguais.
Definição
2
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Um ângulo inscrito AĈB em uma circunferência é um ângulo que
tem vértice em um ponto C da circunferência.
_ _
Dois arcos AB e CD de uma circunferência são congruentes se e
somente se os ângulos AÔB e C ÔD são congruentes.
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Ângulos na circunferência
Ângulos na circunferência
Ângulo inscrito
Ângulo inscrito em uma semicircunferência
Teorema
A medida de um ângulo inscrito é a metade da medida do ângulo
central correspondente. No exemplo, α = β/2.
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Teorema
O ângulo inscrito em uma semicircunferência é reto.
Na figura, Ĉ é reto e ABC é um triângulo retângulo.
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Ângulos na circunferência
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Ângulos na circunferência
Ângulo excêntrico interior
Ângulo excêntrico interior
Definição
Teorema
A medida de um ângulo excêntrico interior é a média das medidas dos
ângulos centrais a ele associados.
No exemplo, x = (α + β)/2.
Um ângulo excêntrico interior AĈB em uma circunferência é um
ângulo formado por duas cordas que se cruzam em um ponto interior
da circunferência, diferente do centro.
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Ângulos na circunferência
Ângulos na circunferência
Ângulo excêntrico exterior
Ângulo excêntrico exterior
Definição
Teorema
A medida de um ângulo excêntrico exterior é a metade da diferença
das medidas dos ângulos centrais a ele associados.
No exemplo, x = (α − β)/2.
Um ângulo excêntrico exterior AĈB em uma circunferência é um
ângulo formado por semirretas que partem de um vértice exterior e que
são secantes ou tangentes à circunferência.
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Ângulos na circunferência
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Ângulos na circunferência
Quadrilátero inscrito
Quadrilátero inscrito
Definição
Um quadrilátero é inscrito em uma circunferência se todos os seus
vértices estão sobre a circunferência.
Teorema
Em um quadrilátero inscrito em uma circunferência, os ângulos opostos
são suplementares.
Â + Ĉ = B̂ + D̂ = 180◦
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Teorema de Tales
Teorema de Tales
Teorema de Tales
Exemplo
AB
A0 B 0
=
BC
B0C 0
AB
A0 B 0
= 0 0
CD
CD
AC
A0 C 0
= 0 0
BD
BD
AD
A0 D 0
=
BC
B0C 0
Teorema
Dado um feixe de retas paralelas e duas retas transversais r e s, a
razão entre dois segmentos quaisquer de r é igual à razão entre os
segmentos correspondentes de s.
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Lados de terrenos trapezoidais
Três terrenos trapezoidais estão compreendidos entre duas ruas, como
mostra a figura. determinar x, y e z.
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Teorema de Tales
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Exercı́cios
Resolução
Exercı́cio 1
Problema
Determine o valor de x.
15 + 20 + 10 = 45
x
15
=
50
45
⇒
x=
50 · 15
50
=
≈ 16, 67 m
45
3
y
20
=
x
15
⇒
y=
50 20
200
·
=
≈ 22, 22 m
3 15
9
z
10
=
50
45
⇒
z=
50 · 10
100
=
≈ 11, 11 m
45
9
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x = 30◦
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Exercı́cios
Exercı́cios
Exercı́cio 2
Exercı́cio 3
Problema
Determine o valor de x.
Problema
Determine o valor de x.
x = 58◦
x = 60◦
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Exercı́cios
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Exercı́cios
Exercı́cio 4
Exercı́cio 5
Problema
Determine o valor de α.
Problema
Determine o valor de x.
x = 62◦
x = 100◦
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Exercı́cios
Exercı́cios
Exercı́cio 6
Exercı́cio 7
Problema
Determine a medida do ângulo semi-inscrito α em relação à medida do
ângulo central β.
Problema
Determine o valor de x, sabendo que as retas r, s e t são paralelas.
x=18/5
α = β/2
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Exercı́cios
Exercı́cio 8
Problema
Determine x na figura abaixo, sabendo que BC e DE são paralelas.
x=6
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