Paralelismo
Paralelismo
Circunferência
Retas concorrentes e paralelas
Definição
1 Duas retas são concorrentes se têm um ponto comum.
2 Duas retas são paralelas se
Definição
A circunferência é o conjunto dos pontos de um plano que estão a
uma mesma distância – denominada raio – de um ponto do plano –
denominado centro.
a) São coincidentes; ou
b) São coplanares e não têm pontos em comum.
O: centro da circunferência
P : ponto da circunferência
r: raio da circunferência
Postulado de Euclides
Por um ponto passa uma única reta paralela a uma reta dada.
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IMECC)
– Geometria plana e analı́tica
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Paralelismo
Duas paralelas e uma transversal
Duas paralelas e uma transversal
Definição
1 São ângulos alternos internos:
Definição
Dadas as retas r, s e t ao lado,
são ângulos correspondentes:
Ĉ e Ê.
D̂ e F̂ .
Â e Ê.
B̂ e F̂ .
2
Ĉ e Ĝ.
Â e Ĝ.
B̂ e Ĥ.
D̂ e Ĥ.
Teorema
As retas r e s são paralelas se e somente se dois ângulos alternos
internos (ou dois ângulos alternos externos) são iguais.
Teorema
As retas r e s são paralelas se e somente se dois ângulos
correspondentes são iguais.
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São ângulos alternos externos:
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Paralelismo
Perpendicularidade
Duas paralelas e uma transversal
Retas perpendiculares
Definição
1 São ângulos colaterais internos:
Ĉ e F̂ .
D̂ e Ê.
2
São ângulos colaterais externos:
Â e Ĥ.
B̂ e Ĝ.
Teorema
As retas r e s são paralelas se e somente se dois ângulos colaterais
internos (ou dois ângulos colaterais externos) são suplementares.
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Retas concorrentes que não formam um ângulo reto são ditas oblı́quas.
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Perpendicularidade
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Perpendicularidade
Retas perpendiculares
Retas perpendiculares
Teorema
Dado um ponto P de uma reta r em um plano α, existe uma única reta
s em α que passa por P e é perpendicular a r.
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Definição
Duas retas são perpendiculares se
são concorrentes e formam um ângulo
reto.
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Teorema
Dado um ponto P que não pertence a uma reta r,
existe uma única reta s que passa por P e é perpendicular a r.
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Perpendicularidade
Perpendicularidade
Ponto médio e mediatriz
Projeção
Definições
Definições
1
Ponto médio de um segmento de reta AB é o ponto M tal que
AM ≡ M B.
2
Mediatriz de um segmento de reta é a reta que é perpendicular
ao segmento e passa pelo seu ponto médio.
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1
A projeção (ortogonal) de um ponto P sobre uma reta r é o
ponto P 0 que está na interseção de r com sua perpendicular que
passa por P .
2
A projeção de um segmento AB sobre uma reta r (não
perpendicular a AB) é o segmento A0 B 0 , em que A0 e B 0 são,
respectivamente, as projeções de A e B sobre r.
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Perpendicularidade
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Triângulos
Triângulo
Distância
Definições
1
2
A distância entre dois pontos A e B é o comprimento (ou
medida) do segmento AB.
A distância de um ponto P a uma reta r é o comprimento do
segmento P P 0 , em que P 0 é a projeção de P em r.
Definição
Dados três pontos não colineares A, B
e C, chamamos de triângulo à
reunião dos segmentos AB, BC e CA.
Elementos do 4ABC:
Vértices: A, B e C.
Lados ou arestas: AB (de medida c), BC (de medida a) e CA
(de medida b).
Ângulos (internos): B ÂC (ou Â), AB̂C (ou B̂) e AĈB (ou Ĉ)
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Triângulos
Triângulos
Ângulo externo
Ângulo externo
Definição
Teorema
Em um triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das
medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele.
−−→
Seja dado um triângulo ABC e a semirreta BD, oposta à aresta AB.
O ângulo C B̂D é chamado ângulo externo adjacente ao vértice B.
Teorema
A soma dos ângulos (internos) de um triângulo mede 180◦ .
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Exercı́cios
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Exercı́cios
Exercı́cio 1
Exercı́cio 2
Problema
Determine o valor de α na figura abaixo.
Problema
Determine o valor de α na figura abaixo.
α = 20◦
α=
40◦
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Exercı́cios
Exercı́cios
Exercı́cio 3
Exercı́cio 4
Problema
Determine o valor de α na figura abaixo.
Problema
Calcule x e y indicados na figura abaixo.
x = 70◦ e y = 125◦
α = 15◦
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Exercı́cios
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Exercı́cios
Exercı́cio 5
Exercı́cio 6
Problema
Sabendo que, na figura abaixo, os segmentos AB e CD são paralelos,
determine os valores de α e β.
Problema
Desenhe as retas abaixo usando régua e compasso.
1
Dada uma reta r e um ponto P que não pertence a r, trace uma
reta s que passe por P e seja perpendicular a r. Mostre a projeção
de P sobre r.
2
Sobre a reta s, marque um ponto Q que diste 3 cm de r.
3
Trace uma reta t que seja paralela à reta r e que passe por Q.
α = 25◦ e β = 55◦
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