MATRIZES - CONTINUAÇÃO
1 Produto de matrizes
EXEMPLO 3
Sejam:

1.1 Existência e dimensão da matriz
produto
(
)
1
4 3

6 e B =
. Vamos calcular o
1 7
5
O produto entre matrizes A · B = C existe apenas produto A · B, que, claramente, será uma matriz
se o número de colunas em A for igual ao número de 3 × 2 (por quê?). Faremos isso um termo de cada
linhas em B. A matriz C terá o número de linhas vez.
de A e o número de colunas de B. Ou seja:
Para calcular o termo c11 , vamos somar os proAm×p · Bp×n = Cm×n
dutos dos termos da linha 1 em A com os termos
da coluna 1 em B. Observe:


EXEMPLO 1
2 1 ( )

 4
Seja A2×3 e B5×3 . O produto A · B não está
⇒ c11 = 2 · 4 + 1 · 1 = 9
1
denido; por outro lado, o produto B · A existe e
2
A = 0
3
é uma matriz 5 × 2.
Para calcular o termo c12 , tomamos a linha 1 em
A e a coluna 2 em B:
EXEMPLO 2


Se A é uma matriz 4 × 3 e B é uma matriz 3 × 4,
2 1 ( )
o produto A · B está denido e é uma matriz
3


⇒ c12 = 2 · 3 + 1 · 7 = 13
4 × 4. O produto B · A também está denido;
7
contudo, ele é uma matriz 3 × 3.
Para calcular o termo c21 , tomamos a linha 2 em
OBSERVAÇÃO
A e a coluna 1 em B:
O resultado acima nos indica uma propriedade


( )
muito importante do produto entre matrizes:
0 6 4
ele não é comutativo, ou seja, em geral,
⇒ c21 = 0 · 4 + 6 · 1 = 6
1
A · B ̸= B · A. Em outras palavras, a ordem dos
fatores é importante.
Para calcular o termo c22 , tomamos a linha 2 em
Até agora, aprendemos tão-somente a vericar A e a coluna 2 em B:


se o produto de duas matrizes existe e a calcular
( )
o número de linhas e de colunas da matriz pro3
0 6
⇒ c22 = 0 · 3 + 6 · 7 = 42
duto. Uma vez que essa matriz exista, vamos,
7
agora, aprender efetivamente a calculá-la.
E assim sucessivamente, até obter
1.2 Cálculo da matriz produto


9 13
A · B =  6 42
17 44
O cálculo da matriz produto é feito um termo de
cada vez. Matematicamente, escrevemos
C = A · B ⇒ cij =
∑
aik · bkj
EXEMPLO 4



(
)
1 −2
4
3
2
3
1
0 5  ·
= −5 0
−1 0 2
4 1
7 12
k
Ou seja, o termo cij é a soma dos produtos dos
termos da linha i em A com os termos da coluna j
em B.
(Verique!)
1

−3
10 
6
1.3 Propriedades
1.4.2
1.3.1
Em geral, A · B = 0, onde 0 representa a matriz
nula, não implica A ou B nulas.
Associativa
EXEMPLO 8
(A · B) · C = A · (B · C)
1.3.2
(
Distributiva
) (
−1 1
2
·
−1 1
2
3
3
)
(
0
=
0
0
0
)
(Verique!)
(A + B) · C = A · B + A · C
1.5 Matriz Inversa
e
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Chamamos de matriz inversa de A, se existir, a matriz
denotada por A−1 tal que:
A · (B + C) = A · B + A · C
1.3.3
Produto nulo
Identidade
A · A−1 = A−1 · A = In
O produto de uma matriz qualquer pela matriz
identidade não altera a matriz, desde que satisfei- Nesse caso, dizemos que A é invertível. Nem toda
tas as condições de existência da seção 1. (Aliás, matriz (mesmo quadrada) tem inversa.
essa é a origem do nome da matriz identidade e
daí advém a sua importância). Ou seja:
Podemos encontrar a inversa de uma matriz
A·I=A e I·A=A
resolvendo um sistema cujas incógnitas serão os
elementos da matriz inversa. Se o sistema for imEXEMPLO 6
possível, a matriz não tem inversa. Contudo, esse
(
) (
√ )
√ ) (
método é tão prático quanto menor for a ordem da
1 0
3
π
3
π
matriz. Há outros métodos para determinação da
=
·
0 1
7 log 5
7 log 5
inversa que não serão estudados neste material.
EXEMPLO 7

479
11
1076

2

 1

661, 3
1
8
4
15
0
cos 10o
0, 037

√ 
√6
 
3 7
1 0

5

0 1
·
724 

0 0
π 
105
479
11
1076
4

2
15

= 1
0

661, 3 cos 10o
1
0, 037
8
EXEMPLO 9 (
) (
2 1
3
A inversa da matriz
é

0
0 =
1
(
2
5
(Verique!)
√ 
√6

3 7

5
724 

π 
105
1.4 "Não propriedades"
O produto de matrizes não possui algumas das propriedades apresentadas pelo produto de números reais, quais sejam:
1.4.1
)(
1
3
·
3
−5
Comutatividade
Em geral, A · B ̸= B · A.
Tente, por exemplo, calcular o outro produto entre
as matrizes do exemplo 4.
2
)
−1
, porque
5 3
−5 2
) (
)(
) (
)
−1
3 −1
2 1
1 0
=
·
=
2
−5 2
5 3
0 1