UMA ANÁLISE DA VOLATILIDADE CONDICIONAL DO RETORNO DA COMMODITY
CANA-DE-AÇÚCAR
[email protected]
Apresentação Oral-Comercialização, Mercados e Preços
CÁSSIO NÓBREGA BESARRIA; SINÉZIO FERNANDES MAIA.
UFPB, JOAO PESSOA - PB - BRASIL.
UMA ANÁLISE DA VOLATILIDADE CONDICIONAL DO RETORNO DA
COMMODITY CANA-DE-AÇÚCAR
RESUMO: Diversos fatores afetam as decisões de produção agrícola, dentre eles
estão as condições climáticas, preços dos insumos, preço da cotação, modernização
agrícola entre outros. Em última instância o que estimula o plantio é o retorno
apresentado pela commodity. Dessa forma, a correta previsão da volatilidade é
importante, pois permite esboçar um conjunto de estratégias ótimas de Hedger, capta
momentos de grande incerteza no mercado e auxilia no gerenciamento da produção
agrícola. O objetivo geral deste artigo é modelar a volatilidade da série dos retornos
mensais da cana-de-açúcar por meio dos modelos não-lineares ARCH, GARCH,
EGARCH e TARCH. Especificamente, serão aplicados os testes de estacionariedade
(Dickey-Fuller), quebra estrutural (Perron), teste de normalidade, teste de Ljung-Box,
teste de LM, F.A.C. Foi possível concluir que a série dos retornos mensais da cana-deaçúcar apresentou coeficiente de reação, persistência e efeito alavancagem
significativos para o período analisado.
Palavras-chave: Modelagem de volatilidade;Estacionariedade; Quebra Estrutural;
ABSTRACT: Several factors affect the decisions of agricultural production, among
them are climatic conditions, prices of inputs, price of the quotation, among other
agricultural modernization. Ultimately which encourages the planting is the return filed
by the commodity. Thus, the correct forecast of volatility is important, because it
outlined a set of optimal strategies for Hedger, captures moments of great uncertainty
in the market and helps the management of agricultural production. The aim of this
paper is modeling the volatility of the series of monthly returns of sugar cane by means
of nonlinear ARCH models, GARCH, EGARCH and Tarcher. Specifically, we will apply
the tests of stationarity (Dickey-Fuller), structural breaks (Perron) test, normality test,
Ljung-Box test, LM, FAC. It was possible to conclude that the series of monthly returns
from sugar cane presented coefficient of reaction, persistence and significant leverage
effect for the period analyzed.
Keywords: modeling of volatility; stationarity; Structural Break;
1. Introdução
Diversos fatores afetam as decisões de produção agrícola, dentre eles estão as
condições climáticas, preços dos insumos, preço da cotação, modernização agrícola
entre outros. Em última instância o que estimula o plantio é o retorno apresentado pela
commodity.
Os agentes investidores estão sempre buscando antecipar os prováveis retornos.
Sendo assim, a correta previsão da volatilidade é importante, pois permite esboçar um
conjunto de estratégias ótimas de Hedger, capta momentos de grande incerteza no
mercado e auxilia no gerenciamento do risco de uma carteira.
A abordagem utilizada para estimar a volatilidade da cana-de-açúcar foi a dos
modelos de volatilidade determinística. Que se caracterizam por assumir que as
variações no retorno dos ativos são determinadas por variáveis conhecidas pelos
participantes do mercado, tal com seu nível de preços. Os primeiros modelos a
incorporarem as dependências temporais foram os auto-regressivos de
heterocedasticidade
condicional,
ARCH(ENGLE,1982).
Posteriormente, Bollerslev(1986), expandiu o modelo de Engle de forma captar
simultaneamente a média e a variância de uma série com um modelo ARMA.
Nelson(1991), mostrou que uma das principais limitações dos modelos ARCH e
GARCH é que o impacto de choques sobre a volatilidade é tratado de forma simétrica.
Sendo assim, surgiram os modelos de assimetria de volatilidade (EGARCH e TARCH).
O objetivo geral deste artigo é modelar a volatilidade da série dos retornos
mensais da cana-de-açúcar por meio dos modelos não-lineares ARCH, GARCH,
EGARCH
e
TARCH.
Especificamente, serão aplicados os testes de estacionariedade (Dickey-Fuller), quebra
estrutural (Perron), teste de normalidade, teste de Ljung-Box, teste de LM, F.A.C.
2. Metodologia
2.1Modelos Heteroscedásticos
2.1.1 Modelo ARCH (Autoregressive Conditional Heteroscedasticity)
Um dos objetivos em finanças é a avaliação de riscos de uma carteira, que pode
ser medido em termos de variação de ∆ e a variação relativa de preços ou
retorno líquido simples deste ativo entre os mesmos instantes é definido por
∆
Denotando , tem-se o retorno composto continuamente:
1 Engle(1982), mostrou que é possível modelar simultaneamente a média e a
variância de uma série. Daí surgiu o conceito de variância condicional que pode ser
modelada como um termo autoregressivo (AR):
Teste de Presença de ARCH
Modelo para teste
+
Em termos de estimação de o modelo não é o mais conveniente dada a estimação
conjunta de média e de variância condicional. O primeiro passo na construção dos
modelos ARCH é tentar ajustar modelos ARMA, para remover a correlação serial na
série, se esta existe. Onde, um modelo ARMA é definido da seguinte forma:
Redefinindo,
Onde:
1 !1 "
Sendo que a série de é não correlacionada.
Para identificar se a série apresenta heteroscedasticidade condicional podem ser
aplicados os seguintes testes:
A estatística de Box-Pierce-Ljung que testa a hipótese conjunta de que todos os
coeficientes de autocorrelção (rk ) são nulos.
rk2
~ χ (2m )
i =1 (n − k )
k
Q = n(n + 2)∑
Testa-se a hipótese nula, H O : r1 = ... = rK = 0 (ausência de ARCH); contra
H A : r1 = ... = rK ≠ 0 (presença de ARCH ).
A Função de Autocorrelação sugere a ordem do modelo ARCH. Identificando as
autocorrelações não nulas. É preciso obter os quadrados dos erros estimados pela
regressão do modelo estabelecido, admitindo que a variância condicional é constante:
%
1
$
#
Onde k é o número de resíduos.
Posteriormente, calcula-se a função de autocorrelação amostral !&' " para o quadrado
dos resíduos. A função de autocorrelação é dada por:
$ +++ $
+++
∑%
',! "!( "
&)( %
$
+++ "
∑! -
Diz-se que algum modelo ARCH está presente se os valores de &' forem
estatisticamente diferentes de zero.
Incorporar novos termos no modelo pode aumentar o grau de ajustamento do mesmo,
mas pode também aumentar a variância do erro de previsão. Portanto, uma forma de
impor restrições sobre o acréscimo de regressores ao modelo foi dado pelo critério AIC,
que é definido como:
AIC = e
2k
n
ε2
∑n
Onde k são os regressores e n representa o número de observações.
Aplicando o logaritmo natural tem-se:
 ∑ε 2 
2k

+ ln
ln AIC =

n
n


Ao se comparar dois ou modelos o critério de seleção será dado pelo modelo que
apresentar o menor valor de AIC. Esse critério também é utilizado para fazer previsões
dentro da amostra, assim como, fora da amostra.
Um outro critério que reflete o grau de ajustamento do modelo é o critério de
Schwartz Bayesiano (SBC). Esse pode ser definido da seguinte forma:
 ε2 
k
SBC =  ∑  (n )
 n−k 
n
Aplicando o logaritmo natural tem-se:
 ε2 
ln SBC = n ln ∑  + k ln(n)
 n−k 
ou
ln SBC = n ln(σ ε2 ) + k ln(n)
O critério SBC é mais rigoroso quanto a incorporação de regressores que o
critério AIC (como pode ser comparada as formas logarítmicas). Como o critério de
informação Akaike, quanto menor o SBC melhor o modelo. Depois de verificar as
propriedades dos critérios de calibragem é preciso verificar o padrão de correlação serial
dos resíduos, ou seja, é preciso verificar que há autocorrelação residual.
O método de estimação dos parâmetros é o da máxima verossimilhança
condicional que é dado por:
. , … , | 2 |3 2 |3 … 24, |34 2 , … , 4 |
onde 3representa a informação até o instante 5 1.
Admitindo normalidade dos pode-se escrever:
?
. , … , | 6
4,
78 9
< 2 , … , 4 |
2;
!=2>; "
Para @ grande, 2 , … , 4 | pode ser desprezado. Sendo assim, a função de
verossimilhança condicional a ser maximizada é:
?
.4, , … , |, , … , 4 6
4,
78 9
<
2;
!=2>; "
onde a volatilidade ; é obtida recursivamente.
Para o caso específico de um ARCH(1) a log-verossimilhança assume a seguinte forma:
?
?
1
1
, … , ? | , , A B
D
2
2
2.1.2 Modelo GARCH (General Autoregressive Conditional Heteroscedasticity)
O modelo GARCH constitui uma tentativa de expressar uma forma mais
parcimoniosa a dependência temporal da variância condicional.
Um modelo GARCH(m,n) é definido por:
; =; 4
F
E' ;'
'
em que são i.i.d., com média zero, G 0, I 0, J 1, … , K 1, E' I 0, L 1, … , A 1, 4 G 0, EF G 0, ∑ E M 1, N KO8K, A.
A volatilidade no modelo GARCH é dada pela seguinte equação:
; com G 1, E M 1, E M 1.
4
F
E' ;'
'
A longo prazo, a volatilidade convergirá para a seguinte média:
Q 1
∑
E A Função de Autocorrelação, assim como para o modelo ARCH, sugere a ordem
do modelo GARCH. Identificando as autocorrelações não nulas. É preciso obter os
quadrados dos erros estimados pela regressão do modelo estabelecido, admitindo que a
variância condicional é constante:
Onde k é o número de resíduos.
%
1
$
#
Posteriormente, calcula-se a função de autocorrelação amostral !&' " para o quadrado
dos resíduos. A função de autocorrelação é dada por:
$ +++ $
+++
∑%
',! "!( "
&)( %
$
+++ "
∑! -
A FAC dá a ordem máxima da auto-regressão do GARCH, representado pelo termo
$
R , e a FACP dá ordem p das médias móveis do GARCH do termo ;' . Os critérios
de seleção são representados pelos critérios AIC e SBC, Teste de LM, Estatística de Q.
A estimação dos parâmetros do modelo GARCH é dada pelo método da máxima
verossimilhança condicional
?
?
4,
4,
1
1
4, , … , ? |, E, , … , 4 A; B D
2
2
;
2.1.3 Modelo EGARCH (Exponential GARCH)
Nelson(1991), propôs o modelo de heteroscedasticidade condicional
autoregressivo generalizado exponencial (EGARCH). Este modelo consiste em captar
os impactos assimétricos nas séries de dados.
Um modelo EGARCH(1,1) é definido por:
=; A; E A; em que são i.i.d. com média zero e . é a curva de impacto de informações, dada
por
ST| | Q| |U
onde, 7 S são parâmetros reais, e | | Q| | é uma seqüência de v.a. i.i.d. com
média zero.
Sendo que, QT U 0, reescrevendo a equação acima tem-se:
S SQ| |,
S SQ| |,
V7 I 0
V7 M 0.
Para que retornos negativos tenham maior impacto na volatilidade é de se esperar que
S M 0. O modelo EGARCH é caracterizado pela assimetria da volatilidade, ou da
variância. Esta assimetria permite que a volatilidade responda mais rapidamente a
retornos negativos do que a positivos, fato este conhecido como “efeito alavancagem”.
O modelo é definido como:
| |
2
A; W E
A;
X
Y ZSB
D
>
=;
=;
onde, é o coeficiente de reação da volatilidade; E é o coeficiente de persistência da
volatilidade; S é o coeficiente que capta a assimetria da volatilidade;
O modelo é assimétrico devido a existência do coeficiente S [ 0. Há o efeito
alavancagem quando S M 0. Para o modelo EGARCH não é necessário impor qualquer
tipo de restrição para garantir a não negatividade dos parâmetros do modelo.
2.1.4 Modelo TARCH (Threshold ARCH)
O modelo TARCH busca captar o efeito alavancagem, onde choques positivos e
negativos (risco de uma crise mundial, guerra, superprodução) causam impactos
diferentes sobre a volatilidade.
No modelo TARCH a volatilidade assume a seguinte forma funcional:
; \ E ;
\
\
em que
\ ]T^_ `U | |\
Para S 1 tem-se o modelo de Zakoian (1994) e para S 2 o modelo de GJR
(Glosten, Jagannathan and Runkle, 1993).
Alternativamente, há a seguinte formalização da volatilidade no modelo
TARCH:
; W S
a E;
Sendo, o coeficiente de reação da volatilidade; E é o coeficiente de persistência da
volatilidade; S é o efeito assimetria na volatilidade;
a 1, V7 M 0KáV A5íbJOV
a 0, V7 I 0cOV A5íbJOV
Se S [ 0, há um impacto de informação assimétrica. Caso, S G 0 para más notícias,
terá um impacto maior.
2.2 Testes de estacionariedade
2.2.1 Dickey-Fuller(1979,1981)
A raiz unitária foi inicialmente investigada por Dickey-Fuller, seguindo o
procedimento sugerido por Enders (1995). O teste de Dickey-Fuller tem o intuito de
verificar a presença de raiz-unitária na série. O primeiro teste proposto por Dickey e
Fuller(1979,1981) foi:
Yt = φYt −1 + u t
A hipótese nula (Ho: φ = 1 ) representa que a série é não estacionária apresentando uma
tendência estocástica ou probabilística. A hipótese alternativa (Ha: φ < 1 ) representa
série estacionária. Para o caso de série ser estacionária tem-se que essa apresenta uma
tendência determinística.
Uma forma alternativa de representar o teste de Dickey-Fuller é reportar os
testes nos coeficientes contra a hipótese nula de todos serem iguais à zero. Então, o teste
poderia representado pela diferença dos termos.
∆Yt = (φ − 1)Yt −1 + u t
∆Yt = αYt −1 + ε t
sendo que α ≡ φ − 1. Assim, Ho: φ = 1 é equivalente a Ho: α = 0. A distribuição do teste
deixa de ser a distribuição t estatística.
Dickey e Fuller (1979) recalcularam o valor da estatística t. O valor dessa
estatística se altera, conforme se define a equação de regressão e segundo o tamanho da
amostra. Dickey e Fuller usaram as seguintes equações de estimação:
∆Yt = αYt −1 + ε t → τ
∆Yt = µ + αYt −1 + ε t → τ µ
∆Yt = µ + Φt + αYt −1 + ε t → τ τ
Sob Ho: α = 0 .
Segundo Bueno (2008), o problema do teste anterior é que Dickey e Fuller
consideraram o erro como um ruído branco. Mas, frequentemente, o erro é um processo
estacionário qualquer. Esse problema pode causar distorções no poder do teste.
Admitindo um processo auto-regressivo de ordem p, com raiz unitária:
Yt = µ + φ1Yt −1 + ... + φ p −1Yt − p +1 + φ p Yt − p + ε t
A intuição de estimar o modelo com as variáveis auto-regressivas é a de
encontrar os desvios de Yt em relação a sua média, para deslocar a distribuição de α em
direção à zero, caso a hipótese nula seja verdadeira. O desenvolvimento desse teste
apresenta o seguinte procedimento:
Yt = µ + φ1Yt −1 + ... + φ p −1Yt − p +1 + φ pYt − p + φ pYt − p +1 − φ pYt − p +1 + ε t
Yt = µ + φ1Yt −1 + ... + (φ p −1 + φ p )Yt − p +1 + φ p ∆Yt − p +1 + ε t
Analogamente
Yt = µ + φ1Yt −1 + ... + (φ p −1 + φ p )Yt − p + 2 − (φ p −1 + φ p )Yt − p + 2 + (φ p −1 + φ p )Yt − p +1 − φ ρ ∆Yt − p +1 + ε t
Yt = µ + φ1Yt −1 + ... + (φ p −2 + φ p −1 + φ p )Yt − p + 2 − (φ p −1 + φ p ) ∆Yt − p + 2 − φ ρ ∆Yt − p +1 + ε t
Para p defasagens, têm-se:
p
∆Yt = µ = αYt −1 = βT = ∑ λi ∆Yt −i + ε t
(Modelo 1)
i =1
p
∆Yt = µ + αYt −1 + ∑ λi ∆Yt −i + ε t
(Modelo 2)
i =1
p
∆Yt = αYt −1 + ∑ λi ∆Yt −i + ε t
(Modelo 3)
i =1
Com base em Holden e Perman (1994), se os dados são gerados de acordo com o
Modelo 1, com α = 1 e β ≠ 0 , então Yi é integrado de ordem [I (1)] e representa um
passeio aleatório sobre uma tendência não-linear. Se os dados são gerados pelo
Modelo 2, com α = 1 e µ ≠ 0 então Yi é integrado de um e representa um passeio aleatório
com intercepto. De acordo com o Modelo 3, com α = 1 , então pode-se dizer que Yi é
integrado de ordem um e é um passeio aleatório sem intercepto.
2.2.2 Testes de Perron (1989;1997)
O debate acerca da presença de raiz unitária nas séries macroeconômicas foi
intensificado a partir dos trabalhos seminais de Nelson e Plosser (1982); Perron (1989).
Enquanto aqueles autores concluíram que a maioria das séries eram caracterizadas pela
presença de raiz unitária, Perron (1989) questionaria tais resultados, argumentando que
muitas séries eram estacionárias em torno de uma tendência quebrada, assumindo que a
data da quebra era conhecida a priori. Porém, trabalhos questionaram o fato de o
momento da quebra ser conhecido a priori, ou seja, a seleção exógena do ponto da
quebra pode viesar os resultados em favor da aceitação da hipótese da raiz unitária.
Christiano (1992) argumentou que a escolha da data da quebra está
correlacionada com os dados, o que diminui a validade do procedimento de seleção
exógena da quebra. Embora Perron (1997) continue a suposição da exogeneidade da
quebra como primeira aproximação para o problema da escolha da data adota um
procedimento que permite aos dados apontarem o momento mais provável da quebra, de
acordo com a hipótese de que a escolha da quebra é perfeitamente correlacionada com
os dados.
As regressões seguintes referem-se aos modelos discutidos por Perron (1997).
Todos os três modelos têm em comum a hipótese nula:
H o : Yt = µ + Yt −1 + ε t
(
)
Onde ε t ~ iid 0,σ 2 . As três hipóteses alternativas podem ser escritas como se segue:
H IA : Yt = α + µt + ψ (L )(θDU (TB )t + ε t )
H IB : Yt = α + µt + ψ (L )(γDT (TB )t + ε t )
H IC : Yt = α + µt + ψ (L )(θDU (TB )t + γDT (TB )t + ε t )
A dummy de impulso DT (Tb )t considera a presença de quebra estrutural em série nãoestacionária, sendo igual a 1 para t = Tb + 1 e zero para outros períodos, γ é o coeficiente
da dummy que mede mudanças de inclinação, e ψ (1)γ é a alteração de longo prazo. Os
testes correspondentes a s regressões são:
~
~
~
~
~
 ~  ~
Yt = α + θ DU  TB  + β t + ρ Yt −1 + ∑ c ∆Yt −i + ε t
 
i =1
p
~
~
~
~
~
 ~  ~
Yt = α + γ DT  TB  + β t + ρ Yt −1 + ∑ c ∆Yt −i + ε t
 t
i =1
Modelo (A)
p
~
~
~
~
~
 ~  ~
 ~  ~
Yt = α + θ DU  TB  + γ DT  TB  + β t + ρ Yt −1 + ∑ c ∆Yt −i + ε t
 t
 t
i =1
Modelo (B)
p
Modelo (C)
A hipótese nula de uma raiz unitária impõe as seguintes restrições sobre os
verdadeiros parâmetros de cada modelo: Modelo (A), a hipótese quebra
α A = 1, β A = 0,θ A = 0; Modelo (B), a hipótese da ausência de quebra estrutural da série
α B = 1, γ B 0, β B = 0; e o Modelo (C), onde ambos os efeitos são permitidos
α C = 1, γ C = 0, β C = 0.
Sob a hipótese alternativa de processo estacionário, onde é de se esperar:
α A , α B , α C < 1; β A , β B , β C ≠ 0;θ A ,θ C , γ B , γ C ≠ 0. Por último, sob a hipótese alternativa,
d A , d C , e θ B devem ser próximos de zero, enquanto sob a hipótese nula prevê-se que
sejam significativamente diferentes de zero.
Onde: µ = coeficiente de intercepto; θ = coeficiente da dummy de intercepto; β =
coeficiente de tendência; d = coeficiente da dummy de impulso; γ = coeficiente da
dummy que mede mudanças de inclinação; c = polinômio de médias móveis, cujo
objetivo é retirar a correlação serial; DU (TB )t = dummy de intercepto, sendo igual
a1quando t > Tb e zero para outros períodos; DT (TB )t = dummy de inclinação, sendo
igual a1quando t > Tb e zero para outros períodos; DT (TB )t = dummy que considera a
presença de quebra estrutural em série não-estacionária, sendo igual a 1 para t = Tb + 1 e
zero para outros períodos. Também chamada de dummy de impulso.
2.3 Teste de normalidade
Segundo Morettin (2008), se uma série for considerada normal (gaussiana), seu
comportamento poderá ser descrito por um modelo linear, tipo ARMA. Uma
propriedade da distribuição normal é que todos os momentos ímpares maiores do que
dois são nulos. Segue-se que o coeficiente de assimetria A deve ser zero. A estatística
T
A , que terá distribuição limite N (0,1) . A hipótese nula é que a assimetria é
de teste
6
igual a zero.
 T

Por outro lado, a medida de curtose K 
( K − 3)  será igual a 3 para
 24

distribuições normais.
A hipótese nula é que a medida de curtose seja igual a três.
O teste de Jarque-Bera (1981) combina o teste de assimetria e curtose com o
intuito de verificar a normalidade da série.
T
T 
S =   A2 +
( K − 3) 2
6
24
 
A estatística de teste apresenta como hipótese nula que a série é normal. O teste
de Jarque-Bera apresenta distribuição qui-quadrado com dois graus de liberdade.
3. Resultados e discussões
A base de dados mensal do preço (em R$) médio recebido pelo produtor de
cana-de-açúcar, deflacionada pelo IPCA, foi coletada no período de janeiro de 1990 a
janeiro de 2009 no site do Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada (IPEA), com um
total de 229 observações.
50
45
40
35
30
25
20
90
92
94
96
98
00
02
04
06
08
Gráfico 1: Preço (R$) Recebido Pelo Produtor de Cana-de-Açúcar
No período em questão o valor médio do preço recebido pelo produtor de canade-açúcar foi de R$ 34,76 e um desvio padrão de 5,26. Graficamente é possível
perceber que a série de preços da cana-de-açúcar não é estacionária e apresenta elevado
grau de volatilidade. A série abaixo representa o retorno mensal da cana-de-açúcar.
.20
.15
.10
.05
.00
-.05
-.10
-.15
90
92
94
96
98
00
02
04
06
08
Gráfico 2: Série de retornos mensais da cana-de-açúcar
A partir do gráfico acima é possível identificar que o período de janeiro a
dezembro de 1990 com aglomeração de volatilidade. A série dos retornos são livres de
escala e apresentam propriedades estatísticas desejáveis (estacionariedade e
ergodicidade).
O Teste de Dickey-Fuller mostrou que a série de preços de cana-de-açúcar é não
estacionário, por sua vez, a serie dos retornos mostrou-se estacionária. A tabela 01
mostra que a série de preços de cana-de-açúcar apresenta raiz unitária para os modelos
com intercepto, com intercepto e tendência, e para o modelo sem intercepto e sem
tendência. Já a série do retorno mostrou-se estacionária para todos os modelos.
Séries
v7ç bOAO a7
OçúbO
w75A bOAO a7
OçúbO
defghe igj klmgnogpme
defghe oej klmgnogpme
defghe oej klmgnogpme
g igj mglfêlokq
5r
5stísu
-0,22
-14,89
g igj mglfêlokq
5r
5stísu
-1,94
-1,90
-1,94
-14,86
g oej mglfêlokq
5r
5stísu
-2,87
-2,36
-3,43
-2,87
-14,86
-3,43
TABELA 01 – Teste de Raiz Unitária (Dickey-Fuller)
Fonte: Dados Coletados no Ipeadata – Elaboração Própria
O teste de estacionariedade da série só é considerado robusto quando se aplica o
teste de quebra estrutural. O teste de quebra estrutural propõe um método não
paramétrico para corrigir a autocorrelação de alta ordem.
Séries
v7ç bOAO a7
OçúbO
w75A bOAO a7
OçúbO
defghe igj klmgnogpme
defghe oej klmgnogpme
defghe oej klmgnogpme
g igj mglfêlokq
5r
5stísu
-0,25
-14,8
g igj mglfêlokq
5r
5stísu
-1,94
-2,17
-1,94
-14,86
g oej mglfêlokq
5r
5stísu
-2,87
-2,59
-3,43
-2,87
-14,83
-3,43
TABELA 02 – Teste de Quebra Estrutural - Perron(1997)
Fonte: Dados Coletados no Ipeadata – Elaboração Própria
Para série de preços o teste mostrou que a série se caracteriza por um passeio
aleatório. Pois os valores estimados foram menores que os valores críticos, em módulo,
indicando a não estacionariedade da série. A série do retorno não representa um passeio
aleatório. O esperado é que o retorno seja estacionário, pois esse representa a série em
primeira diferença proporcionando resultados estatísticos significativos.
A estimação do auto-regressivo mostrou que a uma relação entre o retorno no
período t e o retorno no período 5 1.
E 0,03
Onde, o E representa a relação existente entre o retorno no tempo t e sua
defasagem. Sendo que, o resíduo não apresentou distribuição normal. A medida de
curtose foi maior que três # G 3 indicando que o resíduo apresenta uma distribuição
do tipo leptocúrtica. O teste de LM mostrou que a série dos retornos apresenta o
problema da heterocedasticidade condicional.
3.1.1 Modelo GARCH
Segundo Maia (2008), o modelo GARCH constitui uma tentativa de expressar
uma forma mais parcimoniosa a dependência temporal da variância condicional.
Nesta seção será descrito o modelo GARCH ajustado da série de retornos diários
do Ibovespa. A partir da F.A.C. e F.A.C.P. foi possível evidenciar a dependência linear
entre as observações, sendo assim, um modelo ideal é um autoregressivo. A F.A.C.
sugere a ordem do modelo GARCH.
O quadro 01 descreve os possíveis modelos sugeridos pela FAC e os critérios de
seleção dos mesmos.
Modelo
AIC SBC Prob. LM(10) Prob.
GARCH(1,1) -3,97 -3,91 4,92 0,96
0,17
0,99
GARCH(1,2) -3,97 -3,89 4,91 0,96
0,17
0,99
GARCH(2,1) -3,97 -3,89 4,86 0,94
0,16
0,99
GARCH(2,2) -3,97 -3,87 5,64 0,93
0,25
0,99
Quadro 01: Resumo empírico dos modelos GARCH
Fonte: Elaboração Própria
O modelo selecionado foi o GARCH (1,1). O processo de seleção foi pelo
critério min(AIC) e min(SBC). Como os modelos apresentaram o mesmo valor para o
critério AIC, então, foi escolhido o modelo que apresentou o menor SBC. O critério
SBC é mais rigoroso quanto a incorporação de regressores que o critério AIC (como
pode ser comparada as formas logarítmicas).
Posteriormente, o modelo foi estimado para verificar se os parâmetros estão de
acordo com as restrições do modelo GARCH( I 0, E I 0, E M 1). O modelo
GARCH(1,1) apresentou estimadores significativos estatisticamente e com soma menor
que um. Dessa forma, o modelo estimado foi o GARCH(1,1) que apresentou o seguinte
resultado:
; 4
F
E' ;'
'
; 0,00004 0,12
0,84;
A intuição do modelo GARCH é que a persistência dos choques na volatilidade
é medida pela soma de E. Quanto mais próximo de um maior o tempo que o
choque levará para dissipar-se. Para o modelo estimado a soma de E ficou
próximo de um (0,96) indicando que choques sobre a série do retorno da cana-de-açúcar
leva algum tempo para desaparecer.
O teste de .{ foi aplicado, e o resultado obtido para dez lags dos resíduos ao
quadrado foi que a série é não autocorrelacionada. A 3. |. } dos quadrados dos resíduos
mostra que o modelo sugerido não apresenta heterocedaticidade condicional.
3.1.2 Modelo EGARCH
O modelo EGARCH é caracterizado pela assimetria da volatilidade (ou
variância) da equação estimada. Onde a volatilidade reage de forma assimétrica aos
retornos,
tendendo
a
ser
maior
para
retornos
negativos.
O quadro 02 demonstra as possíveis combinações para os modelos EGARCH e os
critérios de seleção dos mesmos.
Modelo
AIC SBC Prob. LM(10) Prob.
EGARCH(1,1) -3,98 -3,90 4,95 0,96
0,19
0,99
EGARCH(1,2) -3,97 -3,88 4,77 0,96
0,18
0,99
EGARCH(2,1) -3,97 -3,88 4,53 0,97
0,16
0,99
EGARCH(2,2) -3,99 -3,89 4,77 0,96
0,18
0,99
Quadro 02: Resumo empírico dos modelos EGARCH
Fonte: Elaboração Própria
Pelo critério de AIC e SBC os melhores modelos foram o EGARCH (1,1) e o
EGARCH (2,2). O modelo EGARCH (2,2) não apresentou os estimadores significativos
estatisticamente. Sendo assim, o modelo escolhido foi o EGARCH (1,1).
Diferentemente do modelo GARCH que impunha uma série de restrições sobre
os parâmetros o modelo EGARCH não impõe qualquer tipo de restrição para garantir a
não negatividade dos parâmetros do modelo. Para o modelo EGARCH(1,1) os
parâmetros se mostraram estatisticamente significativos. O teste de Ljung-Box aplicado
aos resíduos e aos quadrados dos resíduos indicam que os resíduos não são
correlacionados e não apresentam heterocedasticidade condicional. Para ratificar tal
evidência foi aplicado o teste de LM que chegou ao mesmo resultado descrito
anteriormente, ou seja, ausência de heteroscedasticidade condicional.
| |
2
A; W E
A;
X
Y ZSB
D
>
=;
=;
| |
2
A; 0,40 0,97
A;
0,25 X
Y Z 0,02 B
D
>
=;
=;
Como já descrito anteriormente o modelo apresentou todos os estimadores
estatisticamente significativos, sendo assim, o modelo é assimétrico devido a existência
do coeficiente S [ 0. Caso S 0, um choque positivo tem o mesmo efeito na
volatilidade que um choque negativo da mesma magnitude. Para o modelo estimado foi
possível identificar que o efeito alavancagem é de S 0,02, ou seja, choques
negativos aumentam a volatilidade do modelo mais que choques positivos. O valor de
0,25 positivo indica a presença de aglomeração de volatilidade. A persistência é
dada pelo E 0,97.
3.1.3 Modelo TARCH
O modelo TARCH visa captar o efeito alavancagem, onde choques positivos e
negativos no mercado geram impactos diferentes na volatilidade. De acordo com Monte
(2005), se o efeito assimetria da volatilidade for referente a choques diferenciados na
volatilidade, o efeito alavancagem será o choque da volatilidade numa série de dados,
onde este será maior quando o mercado estiver em queda, e menor quando o mercado
estiver em alta.
O quadro 03 representa as possíveis combinações para o modelo TARCH e os
critérios de seleção.
Prob. LM(10) Prob.
TARCH(1,1) -3,97 -3,89 4,81 0,96
0,15
0,99
TARCH(1,2) -3,96 -3,87 4,77 0,96
0,15
0,99
TARCH(2,1) -3,96 -3,87 4,72 0,97
0,15
0,99
TARCH(2,2) -3,95 -3,84 5,51 0,94
0,23
0,99
Quadro 03: Resumo empírico dos modelos TARCH
Modelo
AIC
SBC
Fonte: Elaboração Própria
Pelo critério AIC e SBC o modelo mais adequado foi o TARCH(1,1). Os
estimadores foram significativos do ponto de vista estatístico. Tanto a estatística de Q
para o quadrado dos resíduos quanto o teste de LM mostraram que o modelo não
apresenta heterocedasticidade condicional.
A estimação do modelo assimétrico apresentou o seguinte resultado:
; W S
a E;
; 0,00004 0,105
0,05
a 0,83;
Para o caso de S [ 0 há um impacto diferenciado de choques negativos e positivos na
volatilidade. Se S G 0 há o denominado efeito alavancagem.
O modelo TARCH(1,1), assim como o modelo EGARCH confirmou a presença
do efeito alavancagem. Onde S 0,05 indica a presença de informação assimétrica. O
E 0,83 indica a persistência da volatilidade.
4. Conclusão
O efeito alavancagem e a aglomeração da volatilidade foram identificados pelos
modelos EGARCH e TARCH , para o período analisado. Sendo que, o efeito alavancagem foi
maior quando o mercado estava em queda, e menor quando o mercado estava em alta, indicando
que choques negativos têm efeito maior sobre a volatilidade da cana-de-açúcar para períodos de
crise. A persistência encontrada para a cana-de-açúcar no modelo GARCH, para o período em
questão, foi alta, implicando que choques sobre a volatilidade da série leva tempo para se
dissipar.
Testes auxiliares foram aplicados para identificar a presença de heterocedasticidade
condicional (teste de Ljung-Box, teste de LM), raiz unitária, quebra estrutural, teste de
normalidade. No caso da autocorrelação, foi possível verificar pelos testes de Q e LM que os
modelos geraram resíduos não autocorrelacionados. O teste de Dickey-Fuller Ampliado mostrou
que a série de preços da cana-de-açúcar é não estacionária, sendo que, a série dos retornos não
apresentou raiz unitária.
O teste de estacionariedade da série só é considerado robusto quando se aplica o teste de
quebra estrutural. O teste de quebra estrutural propõe um método não paramétrico para corrigir
a autocorrelação de alta ordem. O teste de Perron (1997) ratificou os resultados apresentados
pelo teste de Dickey-Fuller, onde, a série de preços da cana-de-açúcar apresenta raiz unitária e a
série de retornos não apresenta raiz unitária.
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