2/3/2014
Revisão de Física
Leis de Newton
1 – Equações de EulerLagrange
Dinâmica angular
Momento angular
TÓPICOS FUNDAMENTAIS DE
FÍSICA
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Torque
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Revisão de Física
Revisão de Física
Conservações
Trabalho
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De momento linear
Energia cinética
De momento angular
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Sistemas de partículas
Sistemas de partículas
Forças externas e internas
Referencial do centro de massa
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Centro de massa
Decomposição das velocidades (D. Bernoulli,
1726)
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Sistemas de partículas
Vínculos
Momento angular
Holonômicos (‘lei inteira’)
Ex.: Corpo rígido:
Energia cinética
Não-holonômicos
Ex.: Gás num recipiente:
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Vínculos
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Sistemas de coordenadas
Problemas:
Esféricas,
1. Coordenadas não são mais independentes.
Hiperbólicas,
⇒ Eqs. de movimento não são mais independentes
Holonômicos ⇒ Introduzir coordenadas
generalizadas
Elípticas,
Cilíndricas,
etc.
2. Forças de vínculo são desconhecidas e
descobri-las é resolver o problema.
⇒ Formular mecânica de forma que desapareçam.
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Coordenadas polares
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Coordenadas polares
Posição, velocidade e aceleração
Derivadas:
Versores:
Força centrípeta e força de Coriolis
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12
2
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Força de Coriolis
Coordenadas generalizadas
Generalizadas
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Coordenadas generalizadas
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Sistema de coordenadas curvilíneas sobre o
espaço (variedade) de configuração de um
mecanismo ou sistema mecânico com um
número finito N de graus de liberdade.
Podem ser
O estado físico de um sistema mecânico é
representado por um ponto do espaço de
configuração "ampliado" dimensão 2N.
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Coordenadas generalizadas
N partículas: 3N coordenadas + k equações de
vínculo
⇒ 3N-k coordenadas generalizadas (graus de
liberdade)
Ex.:
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as amplitudes de uma expansão de Fourier de r,
quantidades com dimensões de energia ou de
momento angular,
etc.
Pêndulo duplo: θ1, θ2
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Princípio de D’Alambert
Princípio de D’Alambert
Num sistema em equilíbrio, o trabalho
Em termos das coordenadas generalizadas,
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realizado por deslocamentos virtuais é nulo.
onde
⇒
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Equações de Euler-Lagrange
Equações de Euler-Lagrange
Para forças deriváveis de um potencial
escalar,
Criadas por Leonhard Euler e Joseph Louis
Lagrange na década de 1750.
⇒
onde
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Ação
Mecânica Lagrangeana
Formulação da mecânica clássica que combina a
conservação do momento linear com a
conservação da energia.
A evolução de um sistema físico é descrita pela
solução da Equação de Euler-Lagrange para a
ação do sistema.
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Equivalente às leis de Newton do movimento.
Vantagem: possui a mesma forma
independente do sistema de coordenadas
generalizadas utilizado.
Baseada num formalismo escalar mais simples
e geral do que o formalismo vetorial de
newtoniano.
Descreve igualmente bem fenômenos a baixas
velocidades ou a velocidades relativísticas.
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Conceito criado por
Maupertuis e Euler.
Integral temporal, ao
longo do percurso do
ponto A ao ponto B,
da vis viva, isto é, do
dobro da energia
cinética.
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Mecânica Lagrangeana
Mecânica Lagrangeana
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Roteiro:
1. Expressar T e V em coordenadas generalizadas
2. Calcular L e suas derivadas
3. Aplicar na EqEL
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Exemplo
Exemplo
Partícula livre no espaço (coord. cartesianas)
Partícula livre no espaço (coord. polares)
e
e
e
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Exemplo
Exemplo
Máquina de Atwood
Pérola deslizando por fio girando por eixo
perpendicular
⇒
⇒
Exemplo
Pêndulo sobre um suporte móvel
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