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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS
CENTRO DE ENGENHARIAS
NÚCLEO DE MATEMÁTICA APLICADA
Equações Diferenciais
Professor: Guilherme J. Weymar
Lista 06: Aplicações de Equações Diferenciais de Ordem superior
1. Uma massa pesando 1, 225N está conectada a uma mola cuja constante de mola é
16 N/m. Qual o perı́odo do movimento harmônico simples?
2. Uma massa m = 0, 5 kg é suspensa por uma mola que se deforma 0, 2 cm sob a influência
do peso dessa massa. A massa é puxada para baixo e então solta. No tempo t = 0,
observa-se que a massa passa pelo seu ponto estático de equilı́brio com velocidade
de 10 m/s. Desprezando qualquer forma de arraste, determine a frequência natural, o
perı́odo, amplitude e a função posição do movimento resultante.
3. Para a identidade que A cos(ωt − ϕ1 ) = B sin(ωt − ϕ2 ) seja mantida, determine B e ϕ2
em função de A e ϕ1
4. Uma massa de 20 quilogramas está conectada a uma mola. Se a frequência do movimento harmônico simples for de 2/π ciclos, qual é a constante da mola k? Qual é a
frequência do movimento harmônico simples considerando que a massa original seja
substituı́da por uma massa de 80 quilogramas?
5. Uma massa pesando 7, 35N, conectada à extremidade de uma mola, distende-a 0, 102083m.
Inicialmente, a massa é liberada a partir do repouso de um ponto 1/4m acima da posição
de equilı́brio Obtenha a equação do movimento.
6. Uma massa pesando 1, 225N está conectada a uma mola cuja constante é de 2 N/m.
O meio oferece uma força de amortecimento que é numericamente igual à velocidade
instantânea. A massa é inicialmente liberada a partir de um ponto 1m acima da posição
de equilı́brio com uma velocidade para baixo de 8m/s. Determine o tempo no qual a
massa passa pela posição de equilı́brio. Obtenha o tempo no qual a massa atinge seu
deslocamento extremo em relação à posição de equilı́brio. E qual a posição da massa
nesse instante?
7. Uma massa m = 1 kg é suspensa por uma mola que se deforma 1cm sob a influência do
peso dessa massa. Uma força periódica externa F(t) = 200 cos ω0 t é aplicada à massa,
que inicialmente se encontrava em equilı́biro estático. Desprezando qualquer forma
de arraste, obtenha a relação do deslocamento da massa em função do tempo, x(t).
8. Uma massa m é suspensa por uma mola que tem uma constante de deformação k. Uma
força periódica externa F(t) = F0 cos ωt + F1 é aplicada à massa, que inicialmente se
encontrava em equilı́biro estático. Desprezando qualquer forma de arraste, obtenha a
relação do deslocamento da massa em função do tempo, x(t).
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9. Uma massa m = 5 kg é suspensa por uma mola que se deforma 2 cm sob a influência
do peso dessa massa. A massa é então presa em um amortecedor com uma constante
de amortecimento β = 200 Ns/m. A massa é puxada para baixo 1 cm e solta com uma
velocidade inicial igual a zero. Determine a distância da massa, em relação ao ponto
de equilı́brio estático, no tempo t = 0, 05s.
10. Uma massa m = 4 kg é suspensa por uma mola que se deforma 3 cm sob a influência
do peso dessa massa. A massa é então presa a um amortecedor com uma constante
de amortecimento β = 5000 Ns/m. A massa é puxada para baixo 5 cm e solta com uma
velocidade de 30m/s, com o sentido ”para cima”. Determine a relação do deslocamento
da massa em função do tempo, x(t).
11. Determine a carga no capacitor em um circuito série LRC em t = 0, 01s quando L =
0, 05h, R = 2Ω, C = 0, 01 f , E(t) = 0V, q(0) = 5C e i(0) = 0A. Determine o primeiro
instante de tempo no qual a carga no capacitor é igual a zero.
12. Determine a carga no capacitor em um circuito série LRC quando L = 14 h, R = 20Ω,
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C = 300
f , E(t) = 0V, q(0) = 4C e i(0) = 0A. A carga no capacitor é em algum momento
igual a zero?
13. Nos problemas de (a)-(c) resolva a equação diferencial que modela a deflexão de uma
viga sujeita às condições de contorno apropriadas. A viga tem comprimento L e ω0 é
uma constante:
EI
d4 y
= ω(x)
dx4
(a) A viga está fixa em sua extremidade esquerda e livre na sua extremidade direita,
e ω(x) = ω0 , 0 < x < L.
(b) A viga está simplesmente apoiada em ambas as extremidades e ω(x) = ω0 , 0 < x <
L.
(c) A viga está fixa em sua extremidade esquerda e simplesmente apoiada na sua
extremidade direita, e ω(x) = ω0 , 0 < x < L.
14. Determine a carga e a corrente de estado estacionário em um circuito LRC quando
L = 1h, R = 2Ω, C = 0, 25 f e E(t) = 50 cos(t)V.
15. Determine a corrente de estado estacionário em um circuito série LRC quando L = 0, 5h,
R = 20Ω, C = 0, 001 f e E(t) = 100 sin(60t) + 200 cos(40t)V.
16. Considere duas esferas concêntricas de raios r = a e r = b, a < b. Veja a figura abaixo.
A temperatura T(r) na região entre as esferas é determinada a partir do problema de
valor de contorno:
d2 T dT
+
= 0,
dr2
dr
T(a) = T0 ,
T(b) = T1 ,
onde T0 e T1 são constantes. Resolva em relação a T(r).
3
Respostas:
√
√
1. x(t) = c1 cos(8 2t) + c2 sin(8 2t); T =
√
2π
s
8
2. f = 31, 62 s−1 ; T = 0, 2 s; A = 0, 316m
3.
4. x(t) = c1 cos( 12
√
k
t)
5
+ c2 sin( 12
√
k
t)
5
k = 320 N/m; f = 1/π ciclos/segundos.
√
5. x(t) = − 14 cos(4 6t)
6.
1
s; 12 s,
4
x( 12 ) = e−2
7.
8.
9. 42mm
10.
11. q(t) = e−20t (5 cos(40t) + 25 sin(40t)) =
t ≈ 0, 0509s
√
25 + 25/4e−20t sin(40t + 1, 1071); q(0, 001) ≈ 4, 995C;
12. q(t) = 6e−20t − 2e−60t ; A carga não é 0 para t > 0
13. (a) y(x) =
(b) y(x) =
(c) y(x) =
ω0
(6L2 x2
24EI
ω0
(L3 x −
24EI
ω0
(3L2 x2
48EI
− 4Lx3 + x4 )
2Lx3 + x4 )
− 5Lx3 + 2x4 )