Segunda Avaliação (30/06/2010
/06/2010)
1. O gráfico de uma função f está descrito na ilustração abaixo.
Considere g ( x ) =
∫
x
f ( t ) dt . (a) Determine
g (1) . (b) Determine
g ( 3) . (c) Determine
g ( −1) .
1
(d)Determine todos os valores de x, no intervalo aberto ( −3, 4 ) em que g tem um máximo relativo. (e)
Escreva uma equação para a reta tangente ao gráfico d
de g em x = -1.
1. (f) Determine a coordenada x de cada
ponto de inflexão do gráfico de g no intervalo aberto ( −3, 4 ) . (g) Determine os extremos absolutos (se
existirem) da função g no intervalo fechado [ −3, 4].
(a) g (1) =
∫
1
f ( t ) dt = 0
1
∫
(b) g ( 3) =
3
1
f ( t ) dt = − (2)(1) = −1
2
1
(c) g ( −1) =
∫
−1
f ( t ) dt = −
1
1
1
2
f ( t ) dt = − π ( 2 ) = −π
4
−1
∫
(d) g ' ( x ) = f ( x ) ⇒ como f ( x ) > 0 para − 3 < x < 1 e f ( x ) < 0 para 1 < x < 3 , então g ( x ) tem um
máximo relativo em x = 1.
(e) g ' ( −1) = f ( −1) = 2
⇒ a equação da reta tangente é y − ( −π ) = 2 ( x + 1) ⇒ y = 2 x + 2 − π
(f) g '' ( x ) = f ' ( x ) , f ' ( x ) = 0 em x = −1 e f ’ não está definida em x = 2. Os pontos de inflexão estão em
x = -1 e em x = 2.
Observe que g '' ( x ) = f ' ( x ) é indefinida em x = 1, mas como g '' ( x ) = f ' ( x ) é negativa em ambos os lados
de x = 1, segue que x = 1 não é um ponto de inflexão.
(g)
g ( −3) =
O
∫
−3
1
máximo
f ( t ) dt = −
absoluto
é
g (1) = 0 e
o
1
b−a
∫
b
absoluto
é
1
f ( t ) dt = − (π )(2) 2 = −2π
2
−3
∫
2. O valor médio de uma função contínua, em um intervalo
M(f )=
mínimo
1
[ a, b ] ,
é dado pela fórmula
f ( x ) dx . A capacidade térmica Cv é a quantidade de calor necessária para acrescentar 1oC
a
Profa. Lena Bizelli
à temperatura de uma dada massa de gás, a um volume constante, medida em cal/oC.mol (calorias por grau
centígrado, por mol). A capacidade térmica do oxigênio depende de sua temperatura T e satisfaz a fórmula
Cv = 8, 27 + 10−5 ( 26T − 1,87 T 2 ) . Determine o valor médio de Cv para 20 ≤ T ≤ 675 C e a temperatura em
que esse valor é atingido.
M( f )=
1
b−a
∫
b
f ( x ) dx =
a
1
675 − 20
∫
675
20
1 
13
0.62333 3  675
8.27 + 10−5 ( 26T − 1.87T 2 )  dT =
8.27T + 5 T 2 −
T 



655 
10
105
 20
≈ 5.434
8.27 + 10−5 ( 26T − 1.87T 2 )  = 5.434 ⇒ 1.87T 2 − 26T − 283,6 = 0


⇒ T=
26 + 676 + 4 (1.87 )( 283,6 )
2 (1.87 )
≈ 396.45 C
3. Determine a área da região compreendida entre as curvas y = 7 − 2 x 2 e y = x 2 + 4.
7 − 2 x 2 = x 2 + 4 ⇒ 3 x 2 − 3 = 0 ⇒ x = −1 e x = 1
A=
3

1
 7 − 2 x 2 − x 2 + 4  dx = 3  x − x  = 4

3  −1
−1 

∫ (
1
) (
)
4. A aceleração de uma partícula em movimento de um lado para outro em uma reta, é dada por
d 2s
a = 2 = π 2 cos π t m/s2 para qualquer t. Se s = 0 e v = 8 m/s quando t = 0 , determine s quando t = 1 s.
dt
∫
∫
∫
v = π 2 cos π t dt = π 2 cos π t dt = π 2 cos u
u = π t ⇒ du = π dt ⇒ dt =
du
π
du
π
Como em t = 0, v = 8 temos que C1 = 8 ⇒ v =
∫
∫
= π cos u du = π senπ t + C1
∫
ds
= π sen (π t ) + 8
dt
∫
⇒ s = π sen (π t ) + 8 dt = sen (π t ) dt + 8t + C2 = sen u du + 8t + C2 = − cos (π t ) + 8t + C2
u = π t ⇒ du = π dt ⇒ dt =
du
π
Como em t = 0, s = 0 temos que C2 = 1 ⇒ s = 8t − cos (π t ) + 1 ⇒ s (1) = 8 − cos π + 1 = 10m
5. Se q coulombs for a carga de eletricidade recebida por um condensador de um circuito elétrico de i
dq
π
= 5sen ( 60t ) e q = 0 quando t = . Ache a carga positiva máxima no
ampères em t segundos, então
dt
2
condensador.
dq
= 5sen ( 60t ) = 0 ⇒
dt
60t = π
⇒ t=
π
60
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1
1
senu du = − cos ( 60t ) + C
12
12
du
u = 60t ⇒ du = 60dt ⇒ dt =
60
∫
q = 5sen ( 60t ) dt =
Como em t =
π
2
∫
, q = 0 temos que C =
1
12
⇒
q (t ) = −
1
1
cos ( 60t ) +
12
12
π  1
⇒ q  = C
 60  6
1
6. Para x > 0 , esboce a curva y = f ( x ) que tem f (1) = 0 e f ' ( x ) = . O que se pode dizer sobre a
x
concavidade dessa curva? Justifique sua resposta.
f '' ( x ) = −
1
< 0 para todo x > 0
x2
⇒ o gráfico tem concavidade para baixo.
y
4
2
x
0
1
2
3
4
5
-2
-4
-6
7. Uma partícula de massa constante m desloca-se ao longo do eixo x. Sua velocidade v e a posição x
1
1
satisfazem a equação m v 2 − v0 2 = k x0 2 − x 2 , onde k , v0 e x0 são constantes. Mostre que se v ≠ 0,
2
2
dv
então m = −k x .
dt
(
)
(
)
Basta derivar os dois lados da igualdade, em relação a t, utilizando a regra da cadeia.
1
1
m ( v 2 − v0 2 ) = k ( x0 2 − x 2 )
2
2
1
dv
1
dx
m2v = − k 2 x
2
dt
2
dt
⇒
mv
dv
dv
= −kxv ⇒ m = − kx
dt
dt
v
8. A impedância Z (ohms) de um circuito em série, está relacionada com a resistência R (ohms) e a reatância
X (ohms), pela equação Z = R 2 + X 2 . Se R aumenta a 3 ohms/s e X diminui a 2 ohms/s, a que taxa Z varia
quando R = 10 ohms e X = 20 ohms?
dR
= 3 ohms/s ;
dt
dX
= −2 ohms/s ; R = 10 ohms e X = 20 ohms
dt
Profa. Lena Bizelli
dZ
1
dR
dX

=
+ 2R
 2R
dt 2 R 2 + X 2 
dt
dt
1

( 3 × 10 − 2 × 20 ) = − 0, 448 ohms/s
=
2
 10 + 202
9. Suponha que uma população de bactérias aeróbicas, em um pequeno lago, seja modelada pela equação
60
P (t ) =
, onde P ( t ) é a população (em bilhões) t dias depois da observação inicial no tempo t = 0.
5 + 7e − t
(a) Descreva, com palavras, o que acontece com a população no decorrer do tempo. (b) Descreva, com
palavras, o que acontece com a taxa de crescimento populacional no decorrer do tempo.
60
60
= lim
= 12 bilhões
−
t
t →∞ 5 + 7 e
t →∞
7
5+ t
e
(a) lim P ( t ) = lim
t →∞
dP
420
= lim  −420e −t  = − lim t = 0
t →∞ dt
t →∞
t →∞ e
(b) lim
10. Suponha que o número de bactérias em uma cultura, no instante t, seja dado por
t
−


N ( t ) = 5000  25 + t e 20  . (a) Encontre o maior e o menor número de bactérias no intervalo de tempo


(b)
Em
que
momento, no intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 100 , o número de bactérias decresce mais
0 ≤ t ≤ 100.
rapidamente?
(a)
t
t
t
−
−
−

1
1
 1 


N ' ( t ) = 5000  1 × e 20 + t e 20  −   = 0 ⇒ 5000e 20 1 −  = 0 ⇒ 1 −  = 0
 20  
 20 
 20 

⇒ t = 20
N ( 20 ) = 161788 

N ( 0 ) = 125000  ⇒

N (100 ) = 128369 
O maior número de bactérias ocorre em t = 20.
O menor número de bactérias ocorre em t = 0
(b)
N '' ( t ) = 0 ⇒ t = 40
⇒ N ' ( 40 ) = −676 , N ' ( 0 ) = 5000 ,
N ' (100 ) = −134,31
⇒ a população de bactérias decresce mais rapidamente em t = 40.
Profa. Lena Bizelli