Observação: m, n
N*.
Como a representação de A é muito extensa, a
matriz m x n será representada por: A= (aij) mxn
ÍNDICE
- Matrizes
Matriz transposta
Igualdade de Matrizes
Matriz identidade
Exemplo:
- Operações com matrizes
Multiplicação por número real
Adição e subtração de matrizes
Multiplicação de matrizes
- Determinantes
Determinante A 1x1
Determinante A 2x2
Determinante A 3x3
Determinante A nxn
Tem duas linhas
Tem três colunas
Sua ordem é 2 X 3
MATRIZES
Observação:
- Ordem define o tamanho da matriz.
- aij, é um elemento genérico, define a posição
do elemento na matriz.
Grosso modo uma matriz é uma tabela de elementos
(números, funções, etc...) dispostos ordenadamente em
filas horizontais (as linhas) e filas verticais (as colunas).
TESTES EM SALA
Introdução
Curiosidade:
As matrizes são utilizadas em vários ramos da ciência,
da engenharia e muitas operações executadas por
cérebros eletrônicos.
01. Ache as matrizes de:
a) M = (aij)2x2 tal que aij = i + j.
NOTAÇÃO CONDENSADA
Um símbolo como M = (aij)m x n representa uma matriz de ordem m x n. Em particular aij representa o ele-
b) M = (aij)2 x 3 tal que aij = 2i – 4j.
mento de M que está na linha i e na coluna j.
Forma Geral da Matriz
Numa matriz A de ordem m x n, o elemento aij é o
símbolo na i-ésima linha e j-ésima coluna de A. Assim
temos a representação algébrica a seguir:
c) M = (aij)2 x 2 tal que
i
+
j se i
≠
j
i
-
j se i
=
j
c) aij =
mxn
1
IGUALDADE DE MATRIZES
Dado duas matrizes C e D de mesma ordem. Se tivermos
cada elemento de C igual a cada elemento correspondente em D, dizemos que C e D são iguais.
Ex.:
Matriz identidade, I n x n ,é uma Matriz quadrada
em que todos os elementos da diagonal principal são iguais
a 1(um) e todos os outros elementos são 0(zero).
Ex.:
C=
OPERAÇÕES COM MATRIZES
TRANSPOSTA DE UMA MATRIZ
Dada uma matriz A obtem-se sua transposta, At, trocando-se, ordenadamente, linhas por colunas.
Multiplicação por número real
Multiplica-se cada elemento da matriz pelo número.
Exemplo:
TESTES EM SALA
02. Sendo
A=
-1
-1
-6
2
4
5
-2
-0
-5
2x3
2x3
3
7
6
2x3
TESTES EM SALA
3X4
04. Sendo A =
então At =
-2
-5
-6
-3
-7
-1
3X2
então 2.A:
03. Uma matriz M é chamada matriz simétrica se Mt = M. Ache
os valores de x, y e z para que a matriz abaixo seja simétrica.
A =
1
y
7
2
5
z
05. A “oposta de uma matriz M” é representada por - M e definida por –M = -1. M .Calcule a oposta de:
x
3
6
3X3
M =
-2
-4
-5
-3
-0
-1
3X2
Observe que para ser simétrica M deve ser quadrada (isto é
de ordem n x n) e aij = aji.
MATRIZ IDENTIDADE (OU UNIDADE)
06. Uma matriz M é chamada antissimétrica se Mt = - M. Ache
os valores de x, y e z para que a matriz abaixo seja antissimétrica.
Observação: (chamaremos de Diagonal Principal o
conjunto dos elementos aij de uma matriz quadrada,
em que i = j, formam uma diagonal).
M =
X
Z
Z
-2
-0
-4
y
4
-x
-
3X3
2