RaciocínioLógico
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Prof.Milton Ueta
Data de impressão: 08/02/2008
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Curso Aprovação
Raciocínio Lógico e Matemática – parte 2 - prof. Milton M. Ueta
I. MATRIZES
1. Conceitos iniciais
Matriz é um conjunto de elementos ordenados em linhas e colunas.
Representação
A=
⎛
⎜
⎜
⎜⎜
⎝
2 − 5⎞⎟
2 –5
⎟ , A =
0 3 ⎟⎟⎠
0 3
ou
A=
2
–5
0
3
Indicamos a matriz por letra maiúscula e os elementos por letras minúsculas.
Notação: matriz genérica
A =
mxn
a11
a21
.
..
ai1
.
.
.
am1
a12
a22
.
..
ai2
.
.
.
am2
... a1j
... a2j
.
..
... aij
.
.
.
... amj
... a1n
... a2n
.
..
... ain
.
.
.
... amn
Matriz A de ordem m x n:
- m ... no de linhas
- n ... no de colunas
- aij ... elemento genérico
- i ... no da linha a qual pertence o elemento
- j ... no de colunas a qual pertence o elemento
Classificação
a) quanto à ordem
- retangular: m ≠ n
- quadrada: m = n
- linha: m = 1
- coluna: n = 1
Obs.: uma matriz quadrada de ordem nxn pode ser denominada como matriz de ordem n2
ou de ordem n.
diagonal secundária
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
diagonal principal (i = j)
b) quanto aos elementos
- nula: aij = 0, ∀i e ∀j
- diagonal: matriz quadrada tal que aij = 0, ∀i≠j
- identidade: matriz diagonal tal que aij = 1, ∀i=j ; indica-se I
- simétrica: matriz quadrada tal que aji = aij, ∀i e ∀j
Exemplos:
nula
0 0 0
0 0 0
diagonal
3
0
0
0 0
1 0
0 –2
identidade
simétrica
0
1
0
2 1 3
1 –1 –4
3 –4 5
1
0
0
0
0
1
c) quanto à relação entre duas matrizes A e B
- oposta: B é matriz oposta de A ⇔ bij = – aij, ∀i e ∀j (B = –A) ; indica-se –B
- transposta: B é matriz transposta de A ⇔ bij = aji, ∀i e ∀j ; indica-se Bt
1
Curso Aprovação
Raciocínio Lógico e Matemática – parte 2 - prof. Milton M. Ueta
2. Operações
Adição de matrizes: somente matrizes de mesma ordem
C = A + B ⇔ cij = aij + bij, ∀i e ∀j
A matriz nula é o elemento neutro da adição de matrizes.
Subtração de matrizes: somente matrizes de mesma ordem
A – B = A + (–B)
Multiplicação de uma matriz por um número real não nulo (k):
B = k.A ⇔ bij = k.aij, ∀i e ∀j
Exemplo:
Dadas as matrizes
A = 3 –1 2 ,
1 0 –2
–1
e C= 3
2
B= 2 1 4
5 –2 –6
0
4 ,
1
calcule 2A – B + C t.
Multiplicação de matrizes: só é possível multiplicar entre si duas matrizes tais que, o
número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da
segunda matriz. A matriz resultante terá o número de linhas da primeira matriz e o
número de colunas da segunda matriz.
p
A x B = C
mxp pxn
mxn
⇔ cij = Σ (aik.bkj)
k=1
=
Observações:
1a) não vale a propriedade comutativa na multiplicação de matrizes; ou seja, nem
sempre A.B = B.A.
a
2 ) a matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação de matrizes; ou seja: A.I = A.
Exemplo: Dadas as matrizes
A = 3 –1 2 ,
1 0 –2
calcule: a) A.C
B= 2 1 4
5 –2 –6
b) B.C
c) A.B
–1
e C= 3
2
d) C.A
0
4 ,
1
e) C.B
EXERCÍCIOS
1. Construir a matriz A = [aij]3x2 sabendo que aij = 2i + 3j.
2. Construir a matriz B = [bij]2x4 sabendo bij =
i
{ 1i –+ j,j, sese ii ≠= jj
3. Construir a matriz A2x3, onde aij = Σ (2k + j).
k=1
4. Dada a matriz A = [aij]3x3, onde aij =
{
3
1, se i = j
, determinar Σ ak2 .
i + j, se i ≠ j
k=1
5. Sendo A = [aij]2x2 com aij = 2i – 3j e B = [bij]2x2 com bij = [aij]2, calcular 2A – 3B.
2
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Raciocínio Lógico e Matemática – parte 2 - prof. Milton M. Ueta
1
6. Sendo A = 2
3
2
eB= 0
4
, resolver o sistema
7. Calcule, se existir, os produtos:
a) 2 5 1
1 4
x
3 2
4 3 2
c)
1
–2
3
3
4
–2
2
2
–1 x 3
–4
4
3
1
3
4
1
5
2
x 2
6
3
0
5
1
–2
8. Determinar a matriz X tal que
1
9. Sendo A = 3
3
b)
2A – 3B
.
{ XX –+ YY == 8A
– 5B
4 2
.X=
3 1
4
7
.
3
3 , determine o valor de A2 – 5.A – 2.I .
1
⎧ 3i + j, se i < j
10. Dada a matriz A = [aij]2x2 tal que aij = ⎨ 7 , se i = j , determine 2a23 + 3a22 – a21.
2
⎩ i + j, se i > j
11. Dada a matriz B = [bij]5x3 , onde bij = 2i + j, determine o elemento da 2a linha e 4a
coluna de B t.
12. Uma indústria automobilística produz carros X e Y nas versões standard, luxo e
superluxo. Na montagem desses carros são utilizadas peças A, B e C. Para um certo
plano de montagem, são dadas as seguintes informações:
Peça A
Peça B
Peça C
Carro X
4
3
6
Carro Y
3
5
2
Carro X
Carro Y
Standard
2
3
Luxo
4
2
Superluxo
3
5
Determinar a matriz peça/versão.
Respostas
1. 5 8
2. 2 –1 –2 –3
7 10
1 4 –1 –2
9 12
6.
–3
X = 10
–1
8.
X= 5
–8
–1
e Y = –6
–5
9. 12.I
3.
7. a) ∃
10. 44
3 4 5
8 10 12
4. 9
b) 38 12
14 3
11. 10
5. –5 –56
–1 –16
c)
12.
19
4
–12
17
21
18
22
22
34
4
–4
21
27
28
28
3
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Raciocínio Lógico e Matemática – parte 2 - prof. Milton M. Ueta
III. DETERMINANTES
1. Conceitos iniciais
Toda matriz quadrada está associada a um número denominado determinante.
Representação:
2 –5
0
3
Notação: dada uma matriz quadrada de ordem A, indica-se o seu determinante por
detA.
Determinante menor (Dij) – é o determinante que se obtém eliminando-se a i-ésima
linha e a j-ésima coluna de uma matriz.
Co-fator, complemento algébrico ou adjunto: Aij = (–1) i + j.Dij
2. Cálculo do determinante
a) matriz de ordem 1: o determinante é o próprio elemento.
b) matriz de ordem maior que 1
Dada uma matriz A de ordem n, o seu determinante pode ser calculado por
n
detA = Σ (akj.Akj), k ... uma linha qualquer da matriz.
j=1
ou
n
detA = Σ (aik.Aik), k ... uma coluna qualquer da matriz.
i=1
Regras práticas
- determinante de ordem 2
–
a11 a12 = a a – a a
11. 22
21.
12
a21 a22
+
- determinante de ordem 3: regra de Sarrus
–
–
–
a11 a12 a13
a11 a12
a21 a22 a23
a21 a22 =
a31 a32 a33
a31 a32
+ +
+
= a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 – a31.a22.a13 – a32.a23.a11 – a33.a21.a12
Exemplos: calcule
a)⏐–5⏐=
b) 2 –5
=
0
3
c) 2 1 3
1 –1 4 =
3 4 –5
d) 2
0
1
–1
0
3
0
0
1 14
2
1 =
0 10
–3
0
4
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Raciocínio Lógico e Matemática – parte 2 - prof. Milton M. Ueta
3. Propriedades dos determinantes
1a) um determinante é nulo se possuir pelo menos:
– uma fila (linha ou coluna) de elementos todos nulos;
– duas filas paralelas idênticas ou proporcionais;
– uma fila que seja combinação linear de outras filas paralelas.
2a) um determinante troca de sinal ao permutarmos duas filas paralelas.
3a) se todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal forem nulos, o
determinante fica reduzido ao produto dos elementos da diagonal principal;
4a) detAt = detA.
5a) um determinante fica multiplicado por uma constante k ao se multiplicar todos os
elementos de uma fila por k.
Conseqüência: det(k.A) = kn.detA, n ... ordem da matriz A.
6a) Teorema de Binet: se A e B são duas matrizes quadradas e de mesma ordem,
então det(A.B) = detA.detB.
7a) Teorema de Jacobi: um determinante não se altera ao adicionarmos a uma de
suas filas os elementos correspondentes de outra fila paralela multiplicada por uma
constante (combinação linear).
EXERCÍCIOS
1. Calcule:
a) 2 –3
=
1 5
b) 2
c) 2
3
1
=
10 –5
e) 1
5
3
3
2
0 –1
2
2 –2
1
0
1
3
1
2
3
f) 2 –1
4
1
0
3
2
0
3
2
1
2
2
5
–2
4
=
2. Resolver a equação:
x –1
–4 x
6 –3
1
2
3
2
4
3
=
c) –3
3. 23
=
d) 3
e) 40
1
0
5
2
0
7
g) 1
1
1
1
1
7
1
1
1
1
4
1
1
1
1
4
3
5 =0
7
3. Calcule o determinante da matriz A = [aij]3x3, onde aij =
Respostas
1. a) 13
b) –40
11
2. V = {– ⎯, 2}
7
d) 5
1
3
{ 1,i +sej, sei < ij ≥ j
f) –102
=
=
5