Simulação da Queda de Corpos
DI/FCT/UNL
1º Semestre 2004/2005
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Bases Físicas do Problema
• Sem contar com a resistência do ar, um corpo em queda livre é
sujeito à aceleração (constante) da gravidade com o valor de
9.8 ms-2.
• A resistência do ar pode ser modelada através de uma força,
logo de uma aceleração, proporcional à velocidade e de
sentido contrário, que depende do objecto em queda.
Denotando por a a aceleração
instantânea (no instante t), e tendo em
conta os sentidos no referencial, temos:
x
g
a
v
a(t) = - g - kv(t)
coeficiente de resistência do ar
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Velocidade e Aceleração
Como é sabido a aceleração é a derivada da velocidade:
a(t) = dv(t)/dt
logo:
a(t)dt = dv(t)
Se dt for um valor muito pequeno, podemos obter a aproximação:
a(t)dt ≈ v(t+dt)-v(t)
Portanto, o valor aproximado da velocidade no instante t+dt é:
v(t+dt) ≈ v(t)+a(t)dt
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Posição e Velocidade
Como é sabido a velocidade é a derivada da posição:
v(t) = dx(t)/dt
logo:
v(t)dt = dx(t)
Se dt for um valor muito pequeno, podemos obter a aproximação:
v(t)dt ≈ x(t+dt)-x(t)
Portanto, o valor aproximado da posição no instante t+dt é:
x(t+dt) ≈ x(t)+v(t)dt
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Aceleração, Velocidade e Posição
Em resumo, dados os valores da velocidade e posição no instante
t, o seu valor aproximado no instante t+dt, é:
x(t+dt)  x(t) + v(t)  dt
v(t+dt)  v(t) + a(t)  dt
sendo a aceleração do corpo em queda livre dada por:
a(t) = - g - k  v(t)
Uma vez esboçada a forma de calcular os sucessivos valores da
altura, velocidade e aceleração, podemos especificar o problema.
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Especificação do Problema
Dada uma altura inicial, determinar com base no
coeficiente de resistência do ar e para uma dada
precisão do intervalo de tempo, o tempo que dura a
queda, bem como as velocidades e aceleração no solo.
Entrada
Resistência do Ar
Altura Inicial
Intervalo de Tempo
Algoritmo de
Queda
de Corpos
Resultados
Tempo da Queda
Velocidade Final
Aceleração Final
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Variáveis Utilizadas
Em geral, na especificação de um algoritmo definem-se as variáveis
e constantes que vão ser utilizadas, bem como o seu significado.
Neste problema, apenas existe uma constante:
• g = 9.8 a aceleração da gravidade (na Terra)
As variáveis a utilizar são, naturalmente, as seguintes:
• t: o tempo
• dt: o valor do intervalo de tempo usado na simulação
• x: a altura do corpo em cada instante t
• v: a velocidade do corpo no instante t
• a: a aceleração do corpo no instante t
• k: o coeficiente de resistência do ar
(dependente da forma do corpo)
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Estrutura do Algoritmo
O algoritmo para simulação da queda dos corpos pode
ser decomposto em 3 “componentes”
1. Inicialização de Variáveis
2. Ciclo de Simulação da Queda
3. Apresentação de Resultados
Cada uma destas componentes pode ser considerada
separadamente
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Inicialização de Variáveis
Em qualquer algoritmo é necessário garantir que as variáveis
são inicializadas e as constantes definidas antes de poderem ser
referidas em expressões.
•
•
•
•
•
•
•
g: aceleração da gravidade
t: o tempo
dt: intervalo de tempo usado na simulação
x: a altura do corpo em cada instante t
v: a velocidade do corpo no instante t
a: a aceleração do corpo no instante t
k: o coeficiente de resistência do ar
g  9.8;
A constante que representa a aceleração da gravidade deve ser
definida com o respectivo valor.
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Inicialização de Variáveis
Em qualquer algoritmo é necessário garantir que as variáveis
são inicializadas e as constantes definidas antes de poderem ser
referidas em expressões.
•
•
•
•
•
•
•
g: aceleração da gravidade
t: o tempo
dt: intervalo de tempo usado na simulação
x: a altura do corpo em cada instante t
v: a velocidade do corpo no instante t
a: a aceleração do corpo no instante t
k: o coeficiente de resistência do ar
g  9.8;
entra x;
entra k;
entra dt;
Quer a altura inicial, quer o valor do coeficiente da resistência
do ar, quer o intervalo de tempo utilizados, devem ser
especificados pelo utilizador através de instruções de entrada.
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Inicialização de Variáveis
Em qualquer algoritmo é necessário garantir que as variáveis
são inicializadas e as constantes definidas antes de poderem ser
referidas em expressões.
•
•
•
•
•
•
•
g: aceleração da gravidade
t: o tempo
dt: intervalo de tempo usado na simulação
x: a altura do corpo em cada instante t
v: a velocidade do corpo no instante t
a: a aceleração do corpo no instante t
k: o coeficiente de resistência do ar
g  9.8;
entra x;
entra k;
entra dt;
t  0;
v  0;
Assumindo que a queda começa na origem do tempo, a partir de
repouso, as respectivas variáveis deverão ser inicializadas a zero.
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Inicialização de Variáveis
Em qualquer algoritmo é necessário garantir que as variáveis
são inicializadas e as constantes definidas antes de poderem ser
referidas em expressões.
•
•
•
•
•
•
•
g: aceleração da gravidade
t: o tempo
dt: intervalo de tempo usado na simulação
x: a altura do corpo em cada instante t
v: a velocidade do corpo no instante t
a: a aceleração do corpo no instante t
k: o coeficiente de resistência do ar
g  9.8;
entra x;
entra k;
entra dt;
t  0;
v  0;
a  -g-kv;
A aceleração inicial pode ser calculada de acordo com a fórmula.
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Inicialização de Variáveis
1. Inicialização de Variáveis
g  9.8;
entra x;
entra k;
entra dt;
t  0;
v  0;
a  -g-kv;
% Aceleração da Gravidade
% Altura inicial
% Coeficiente de Atrito
% Intervalo de Tempo
% Tempo inicial
% Velocidade inicial
% Aceleração inicial
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Ciclo de Simulação
A parte fundamental do algoritmo é um ciclo em que se vão
calculando os sucessivos valores de tempo t, da altura x, da
velocidade v e da aceleração a, em tempos espaçados de um
intervalo dt:
enquanto ... fazer
t  t + dt ;
x  x + v  dt ;
v  v + a  dt ;
a  -g - k  v ;
fim enquanto
% x(t+dt)  x(t) + v(t)  dt
% v(t+dt)  v(t) + a(t)  dt
% a(t+dt) = - g - k  v(t+dt)
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Condições de Entrada no Ciclo
Em qualquer ciclo é necessário especificar em que condições é que
o ciclo é executado.
Neste caso, estamos interessados em estudar a queda até se atingir o
solo (x=0). A condição de controle do ciclo é pois x > 0, donde:
enquanto x > 0 fazer
t  t + dt ;
x  x + v  dt ;
v  v + a  dt ;
a  -g - k  v ;
fim enquanto
% x(t+dt)  x(t) + v(t)  dt
% v(t+dt)  v(t) + a(t)  dt
% a(t+dt) = - g - k  v(t+dt)
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Ciclo de Simulação
2. Ciclo de Simulação
enquanto x > 0 fazer
t  t + dt ;
x  x + v  dt ;
v  v + a  dt ;
a  -g - k  v ;
fim enquanto
% x(t+dt)  x(t) + v(t)  dt
% v(t+dt)  v(t) + a(t)  dt
% a(t+dt) = - g - k  v(t+dt)
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Apresentação de Resultados
O tempo de duração da queda, a velocidade final com que se
atinge o solo, e a aceleração nesse ponto, são simplesmente o
valor das variáveis t, v e a no final do ciclo.
3. Apresentação de Resultados
sai t;
sai v;
sai a;
% Tempo de duração da Queda
% Velocidade de chegada ao solo
% Aceleração de chegada ao solo
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Algoritmo Completo
% Inicialização de Variáveis
g  9.8;
entra x;
entra k;
entra dt;
t  0;
v  0;
a  -g-kv;
% Ciclo de Simulação da Queda
enquanto x > 0 fazer
t  t + dt ;
x  x + v  dt ;
v  v + a  dt ;
a  -g - k  v ;
fim enquanto
% Apresentação dos Resultados
sai t;
sai v;
sai a;
% Aceleração da Gravidade
% Altura inicial
% Coeficiente de Atrito
% Intervalo de Tempo
% Tempo inicial
% Velocidade inicial
% Aceleração inicial
% x(t+dt)  x(t) + v(t)  dt
% v(t+dt)  v(t) + a(t)  dt
% a(t+dt) = - g - k  v(t+dt)
% Tempo de duração da Queda
% Velocidade de chegada ao solo
% Aceleração de chegada ao solo
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Programa Octave
g = 9.8;
x = input(" Qual a altura inicial (em metros) ? ");
k = input("
e o coeficiente de atrito (1/s) ? ");
dt = input("
e o intervalo de tempo (em segs) ? ");
t = 0;
v = 0;
a = - g - k * v;
while (x > 0)
t = t + dt;
x = x + v * dt;
v = v + a * dt;
a = - g - k * v;
endwhile;
disp(" O tempo de queda (em segundos) foi de "); disp(t);
disp(" e a velocidade final (em m/s) foi de "); disp(-v);
disp(" e a aceleração final (em m/s2) foi de "); disp(-a);
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Programa Octave
• O programa pode ser testado com vários valores dos
parâmetros de entrada (x, k e dt).
• A altura inicial x tipica é da ordem dos 1000 metros.
• Realçar a importância de dt tomar valores pequenos, de forma
a garantir que erros cometidos pela aproximação das
equações diferenciais não sejam muito significativos (dt  0.1
seg).
• Tipicamente k toma valores no intervalo
• 0 – sem resistência do ar
• 1 – resistência muito alta
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