Simulação da Queda de Corpos
Pedro Barahona
DI/FCT/UNL
Março 2004
17 Março de 2005
Simulação da Queda de Corpos
1
Bases Físicas do Problema
• Sem contar com a resistência do ar, um corpo em queda livre é
sujeito à aceleração (constante) da gravidade com o valor de
9.8 ms-2.
• A resistência do ar pode ser modelada através de uma força,
logo de uma aceleração, proporcional à velocidade e de
sentido contrário, que depende do objecto em queda.
• Denotando por a a aceleração instantânea
(no instante t), e tendo em conta os
sentidos no referencial, temos
a=g-k·v
17 Março de 2005
Simulação da Queda de Corpos
a
g
v
x
2
Bases Físicas do Problema
• Adicionalmente sabemos que
– a velocidade é a variação da distância com o tempo
– a aceleraçao é a variação da velocidade com o tempo
• Desta forma temos que v = dx/dt e que a = dv/dt
• Juntando esta equação com as anteriores obtemos o sistema de
equações
a=g-k·v
v = dx/dt
a = dv/dt
• Problema: Determinar os valores de x, v e a ao longo do tempo.
17 Março de 2005
Simulação da Queda de Corpos
3
Resolução Informal
• Problema: Obter o valor de um conjunto de funções (a, v, x) ao
longo do tempo.
• Informalmente podemos simular a variação de uma função f ao
logo do tempo da seguinte forma:
– Sabendo o valor de f no instante t, vamos determinar o valor
de f num “instante” Δt posterior, ou seja no instante t + Δt
– Ora, se o tempo avança para um valor posterior de uma
quantidade Δt, o valor de f vai igualmente variar nesse
instante posterior de um valor df, ou seja para f + Δf.
• Como se relacionam os valores de Δf e de Δt?
17 Março de 2005
Simulação da Queda de Corpos
4
Resolução Informal
• Graficamente podemos ilustrar a relação de Δf e de Δt como se
segue
f
Δf
Δt
t
• Em geral, é uma boa aproximação considerar que a razão Δf /Δt se
aproxima da tangente da curva f(t), isto é
Δf /Δt ≈ df/dt
e por conseguinte podemos fazer
Δf = df/dt * Δt
17 Março de 2005
Simulação da Queda de Corpos
5
Modelação Formal de Equações Diferenciais
• Sabendo o valor da função f no ponto t, f(t), podemos obter o
seu valor num instante “seguinte”, t+dt, pelo valor da derivada
em relacão ao tempo, df/dt, num ponto θ compreendido entre t
e t + dt. Com efeito, temos (série de Taylor)
f(t+dt) = f(t) + df(θ)/dt · dt
e em determinadas condições (continuidades da função, ...) é
assegurado existir o ponto θ.
f
f(t+dt)
f(t)
t
17 Março de 2005
θ
t+dt
Simulação da Queda de Corpos
t
6
Modelação Formal de Equações Diferenciais
• Mais formalmente podemos usar o desenvolvimento em série
de Taylor de até ao tremo de 2ª ordem e obtemos
f(t+δ) = f(t) + df(t)/dt · dt + ½ d2f(θ)/dt2 · dt2
em que t  θ  t+dt.
• Para pequenos valores de dt, temos que dt2 << dt e portanto o
último termo pode ser desprezado sem grande erro, obtendo-se
f(t+dt)  f(t) + df(t)/dt · dt
e que pode ser descrito mais informalmente por
f(t+dt)  f + df = f + df/dt · dt
17 Março de 2005
Simulação da Queda de Corpos
7
Velocidade e Aceleração
• Como vimos, a = dv/dt, ou seja a aceleração é a derivada da
velocidade. Mais precisamente, num instante t temos
a(t) = dv(t)/dt
• Assim podemos determinar v(t+δ), o valor aproximado da
velocidade no instante t+δ, conhecendo o seu valor no instante t,
v(t), por aplicação do método geral
f(t+ δ)  f(t) + df(t)/dt · δ
ao caso em que a função f é a velocidade, isto é
v(t+δ)  v(t) + a(t) · δ
17 Março de 2005
Simulação da Queda de Corpos
8
Posição e Velocidade
• Como vimos, v = dv/dt, ou seja a velocidade é a derivada da
posição. Mais precisamente, num instante t temos
v(t) = dx(t)/dt
• Assim podemos determinar x(t+δ), o valor aproximado da posição
no instante t+δ, conhecendo o seu valor no instante t, x(t), por
aplicação do método geral
f(t+ δ)  f(t) + df(t)/dt · δ
ao caso em que a função f é a posição, isto é
x(t+ δ)  x(t) + v(t) · δ
17 Março de 2005
Simulação da Queda de Corpos
9
Aceleração, Velocidade e Posição
Em resumo, dados os valores da velocidade e posição no instante
t, o seu valor aproximado no instante t+δ, é
x(t+ δ)  x(t) + v(t) · δ
v(t+ δ)  v(t) + a(t) · δ
sendo a aceleração do corpo em queda livre dada por
a(t) = g - k · v(t)
Uma vez esboçada a forma de calcular os sucessivos valores da
altura, velocidade e aceleração, podemos especificar o problema.
17 Março de 2005
Simulação da Queda de Corpos
10
Especificação do Problema
Dada uma altura inicial, determinar com base no coeficiente de
resistência do ar e para uma dada precisão do intervalo de
tempo, o tempo que dura a queda, bem como as velocidades e
aceleração no solo.
Entrada
Resistência do Ar
Altura Inicial
Intervalo de Tempo
17 Março de 2005
Algoritmo de
Queda
de Corpos
Simulação da Queda de Corpos
Resultados
Tempo da Queda
Velocidade Final
Aceleração Final
11
Variáveis Utilizadas
Èm geral, na especificação de um algoritmo definem-se as
variáveis e constantes que vão ser utilizadas, bem como o seu
significado. Neste problema, apenas existe uma constante
• g = 9.8 a aceleração da gravidade (na Terra)
As variáveis a utilizar são, naturalmente, as seguintes
• t: o tempo
• δ: o valor do intervalo de tempo usado na simulação
• x : a altura do corpo em cada instante t
• v : a velocidade do corpo no instante t
• a: a aceleração do corpo no instante t
• k: o coeficiente de resistência do ar
(dependente da forma do corpo)
17 Março de 2005
Simulação da Queda de Corpos
12
Estrutura do Algoritmo
O algoritmo para simulação da queda dos corpos pode ser
decomposto em 3 “componentes”
1. Inicialização de Variáveis
2. Ciclo de Simulação da Queda
3. Apresentação de Resultados
Cada uma destas
separadamente
17 Março de 2005
componentes
pode
Simulação da Queda de Corpos
ser
considerada
13
Inicialização de Variáveis
• Em qualquer algoritmo é necessário garantir que as variáveis
são inicializadas e as constantes definidas antes de poderem
ser referidas em expressões.
• Assumindo que a queda começa na origem do tempo, a partir
de repouso, as condições iniciais são expressas por
g = 9.8; v = 0; t = 0; a = g; x = 0
• Quer a altura inicial, quer o valor do coeficiente da resistência
do ar, quer o intervalo de tempo utilizados, devem ser
especificados pelo utilizador através de instruções de entrada.
17 Março de 2005
Simulação da Queda de Corpos
14
Inicialização de Variáveis
1. Inicialização de Variáveis
Entra h;
Entra k;
Entra δ;
g ← 9.8;
v ← 0;
t ← 0;
a ← g;
x ← 0;
17 Março de 2005
%
%
%
%
Altura inicial
Coeficiente de Atrito
Intervalo de Tempo
Aceleração da Gravidade
Simulação da Queda de Corpos
15
Ciclo de Simulação
A parte fundamental do algoritmos é um ciclo em que se vão
calculando os sucessivos valores de tempo t, da altura x, da
velocidade v e da aceleração a, em tempos espaçados de um
intervalo δ
enquanto ... fazer
t  t + δ ;
x  x + v· δ ;
v  v + a· δ ;
a  g - k·v ;
fim enquanto
17 Março de 2005
% x(t+ δ)  x(t) + v(t) · δ
% v(t+ δ)  v(t) + a(t) · δ
%
a(t) = g - k · v(t)
Simulação da Queda de Corpos
16
Condições de Entrada no Ciclo
• Em qualquer ciclo é necessário especificar em que condições é
que o ciclo é executado.
• Neste caso, estamos interessados em estudar a queda até se
atingir o solo (x = h). A condição de controle do ciclo é pois
x < h,
donde
enquanto x < h fazer
t  t + δ ;
x  x + v· δ ;
v  v + a· δ ;
a  g - k·v ;
fim enquanto
17 Março de 2005
Simulação da Queda de Corpos
17
Ciclo de Simulação
2. Ciclo de Simulação
enquanto x < h fazer
t  t + δ ;
x  x + v·δ ;
v  v + a·δ ;
a  g - k·v ;
fim enquanto
17 Março de 2005
Simulação da Queda de Corpos
18
Apresentação de Resultados
3. Apresentação de Resultados
O tempo de duração da queda, a velocidade final com que se
atinge o solo, e a aceleração nesse ponto, são simplesmente o
valor das variáveis t, v e a no final do ciclo. A apresentação de
resultados resume-se pois a
Sai t;
Sai v;
Sai a;
17 Março de 2005
% Tempo de duração da Queda
% Velocidade de chegada ao solo
% Aceleração na chegada ao solo
Simulação da Queda de Corpos
19
Algoritmo Completo
% Inicialização de Variáveis
Entra h;
% Altura inicial
Entra k;
% Coeficiente de Atrito
Entra δ;
% Intervalo de Tempo
g  9.8;
% Aceleração da Gravidade
v  0;
t  0; a  g; x  0;
% Ciclo de Simulação
enquanto x < h fazer
t  t + δ ;
x  x + v· δ ;
v  v + a· δ ;
a  g - k·v ;
fim enquanto
% Apresentação de Resultados
Sai t;
% Tempo de duração da Queda
Sai v;
% Velocidade de chegada ao solo
Sai a;
% Aceleração de chegada ao solo
17 Março de 2005
Simulação da Queda de Corpos
20
Progama Octave
g =
h =
k =
dt=
t =
x =
v =
a =
9.8 ; % aceleração da gravidade
input(" Qual a altura inicial (em metros) ? ")
input("
e o coeficiente de atrito (1/s) ? ");
input("
e o intervalo de tempo (em segs) ? ");
0;
h;
0;
g;
while x < h
t = t +
x = x +
v = v +
a = g endwhile;
dt;
v * dt;
a * dt;
k * v;
disp(" O tempo de queda (em segundos) foi de "), disp(t)
disp(" e a velocidade final (em m/s) foi de "), disp(v)
disp(" e a aceleração final (em m/s2) foi de "), disp(a)
17 Março de 2005
Simulação da Queda de Corpos
21
Progama Octave
• O programa pode ser testado com vários valores dos
parâmetros de entrada (h, k e dt).
• A altura inicial h tipica é da ordem dos 1000 metros.
• Realçar a importância de dt tomar valores pequenos, de forma
a garantir que erros cometidos pela aproximação das
equações diferenciais não sejam muito significativos (dt 
0.1 seg).
• Tipicamente k toma valores no intervalo
• 0 – sem resistência do ar
• 1 – resistência muito alta
17 Março de 2005
Simulação da Queda de Corpos
22