Simulação da Queda de Corpos
Pedro Barahona
DI/FCT/UNL
Março 2004
23/24 Março de 2004
Simulação da Queda de Corpos
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Bases Físicas do Problema
• Sem contar com a resistência do ar, um corpo em
queda livre é sujeito à aceleração (constante) da
gravidade com o valor de 9.8 ms-2.
• A resistência do ar pode ser modelada através de uma
força, logo de uma aceleração, proporcional à
velocidade e de sentido contrário, que depende do
objecto em queda.
Denotando por a a aceleração
instantânea (no instante t), e
tendo em conta os sentidos no
referencial, temos
a(t) = - g - k · v(t)
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x
g
a
v
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Modelação de Equações Diferenciais
Conhecendo o valor de uma função f no instante t, f(t),
podemos estimar o seu valor num instante “seguinte”,
t+h, se se conhecer a derivada em relacão ao tempo
df/dt. Com efeito, temos (série de Taylor)
f(t+δ) = f(t) + df(t)/dt · δ + ½ d2f(ζ)/dt2 · δ2
em que t  ζ  t+δ. Assumindo que para pequenos
valores de h o último termo pode ser desprezado (pois
δ2 << δ) temos
f(t+ δ)  f(t) + df(t)/dt · δ
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Velocidade e Aceleração
Como é sabido a aceleração é a derivada da velocidade
a(t) = dv(t)/dt
Assim podemos determinar o valor aproximado da
velocidade no instante t+ δ, v(t+δ), conhecendo o seu
valor no instante t, v(t), por aplicação do método geral
f(t+ δ)  f(t) + df(t)/dt · δ
ao caso em que a função f é a velocidade, isto é
v(t+ δ)  v(t) + a(t) · δ
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Posição e Velocidade
Como é sabido a velocidade é a derivada da posição
v(t) = dx(t)/dt
Assim podemos determinar o valor aproximado da
posição no instante t+δ, x(t+δ), conhecendo o seu valor
no instante t, x(t), por aplicação do método geral
f(t+ δ)  f(t) + df(t)/dt · δ
ao caso em que a função f é a velocidade, isto é
x(t+ δ)  x(t) + v(t) · δ
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Aceleração, Velocidade e Posição
Em resumo, dados os valores da velocidade e posição no
instante t, o seu valor aproximado no instante t+δ, é
x(t+ δ)  x(t) + v(t) · δ
v(t+ δ)  v(t) + a(t) · δ
sendo a aceleração do corpo em queda livre dada por
a(t) = - g - k · v(t)
Uma vez esboçada a forma de calcular os sucessivos
valores da altura, velocidade e aceleração, podemos
especificar o problema.
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Especificação do Problema
Dada uma altura inicial, determinar com base no
coeficiente de resistência do ar e para uma dada
precisão do intervalo de tempo, o tempo que dura a
queda, bem como as velocidades e aceleração no solo.
Entrada
Resistência do Ar
Altura Inicial
Intervalo de Tempo
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Algoritmo de
Queda
de Corpos
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Resultados
Tempo da Queda
Velocidade Final
Aceleração Final
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Variáveis Utilizadas
Èm geral, na especificação de um algoritmo definem-se as
variáveis e constantes que vão ser utilizadas, bem como o seu
significado. Neste problema, apenas existe uma constante
• g = 9.8 a aceleração da gravidade (na Terra)
As variáveis a utilizar são, naturalmente, as seguintes
• t: o tempo
• δ: o valor do intervalo de tempo usado na simulação
• x : a altura do corpo em cada instnte t
• v : a velocidade do corpo no instante t
• a: a aceleração do corpo no instante t
• k: o coeficiente de resistência do ar
(dependente da forma do corpo)
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Estrutura do Algoritmo
O algoritmo para simulação da queda dos corpos pode
ser decomposto em 3 “componentes”
1. Inicialização de Variáveis
2. Ciclo de Simulação da Queda
3. Apresentação de Resultados
Cada uma destas componentes pode ser considerada
separadamente
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Inicialização de Variáveis
Em qualquer algoritmo é necessário garantir que as
variáveis são inicializadas e as constantes definidas
antes de poderem ser referidas em expressões.
Assumindo que a queda começa na origem do tempo,
a partir de repouso, as condições iniciais são expressas
por
g = 9.8; v = 0; t = 0; a = -g
Quer a altura inicial, quer o valor do coeficiente da
resistência do ar, quer o intervalo de tempo utilizados,
devem ser especificados pelo utilizador através de
instruções de entrada.
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Inicialização de Variáveis
1. Inicialização de Variáveis
Entra x;
Entra k;
Entra δ;
g = 9.8;
v = 0;
t = 0;
a = -g;
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%
%
%
%
Altura inicial
Coeficiente de Atrito
Intervalo de Tempo
Aceleração da Gravidade
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Ciclo de Simulação
A parte fundamental do algoritmos é um ciclo em que
se vão calculando os sucessivos valores de tempo t, da
altura x, da velocidade v e da aceleração a, em tempos
espaçados de um intervalo δ
enquanto ... fazer
t  t + δ ;
x  x + v· δ ;
v  v + a· δ ;
a  -g - k·v ;
fim enquanto
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% x(t+ δ)  x(t) + v(t) · δ
% v(t+ δ)  v(t) + a(t) · δ
% a(t) = - g - k · v(t)
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Condições de Entrada no Ciclo
Em qualquer ciclo é necessário especificar em que
condições é que o ciclo é executado.
Neste caso, estamos interessados em estudar a queda
até se atingir o solo (x=0). A condição de controle do
ciclo é pois x > 0, donde
enquanto x > 0 fazer
t  t + δ ;
x  x + v· δ ;
v  v + a· δ ;
a  -g - k·v ;
fim enquanto
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Ciclo de Simulação
2. Ciclo de Simulação
enquanto x > 0 fazer
t  t + δ ;
x  x + v·δ ;
v  v + a·δ ;
a  -g - k·v ;
fim enquanto
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Apresentação de Resultados
3. Apresentação de Resultados
O tempo de duração da queda, a velocidade final com
que se atinge o solo, e a aceleração nesse ponto, são
simplesmente o valor das variáveis t, v e a no final do
ciclo. A apresentação de resultados resume-se pois a
Sai t;
Sai v;
Sai a;
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% Tempo de duração da Queda
% Velocidade de chegada ao solo
% Aceleração de chegada ao solo
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Algoritmo Completo
% Inicialização de Variáveis
Entra x;
% Altura inicial
Entra k;
% Coeficiente de Atrito
Entra δ;
% Intervalo de Tempo
g  9.8;
% Aceleração da Gravidade
v  0;
t  0; a  g;
% Ciclo de Simulação
enquanto x > 0 fazer
t  t + δ ;
x  x + v· δ ;
v  v + a· δ ;
a  -g - k·v ;
fim enquanto
% Apresentação de Resultados
Sai t;
% Tempo de duração da Queda
Sai v;
% Velocidade de chegada ao solo
Sai a;
% Aceleração de chegada ao solo
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Progama Octave
g = 9.8 ; % aceleração da gravidade
h = input(" Qual a altura inicial (em metros) ? ");
k = input("
e o coeficiente de atrito (1/s) ? ");
dt = input("
e o intervalo de tempo (em segs) ? ");
t = 0;
x = h;
v = 0;
a = g;
while x > 0
t = t + dt;
x = x + v * dt;
v = v + a * dt;
a = - g - k * v;
endwhile;
disp(" O tempo de queda (em segundos) foi de "), disp(t)
disp(" e a velocidade final (em m/s) foi de "), disp(-v)
disp(" e a aceleração final (em m/s2) foi de "), disp(-a)
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Progama Octave
• O programa pode ser testado com vários valores dos
parâmetros de entrada (x, k e dt).
• A altura inicial x tipicas são da ordem dos 1000 metros.
• Realçar a importância de dt tomar valores pequenos, de forma
a garantir que erros cometidos pela aproximação das
equações diferenciais não sejam muito significativos (dt  0.1
seg).
• Tipicamente k toma valores no intervalo
• 0 – sem resistência do ar
• 1 – resistência muito alta
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