Fractais
II
José Garcia Vivas Miranda
2º Dia
 Perfis Fractais;
Simulação;
Caracterização.
 Superfícies Fractais;
Isotropia;
Homogeneidade.
 Sistemas dinâmicos;
Autômatas;
Jogo da Vida.
Perfis fractais
Conceitos
Autosimilaridade
Autoafinidade
Perfis fractais
SIMULAÇÃO
BM
FBM
Weirstrass
Modelos de crescimento
Perfis fractais
SIMULAÇÃO
BM - Movimento Browniano (Brownian Motion)
Origem do pólen
Exemplo do bêbado
b
a
0.8
10
0.6
0.4
5
0.2
0
x
X
0.0
-5
-0.2
-10
-0.4
-15
-0.6
-0.8
-20
0
500
1000
1500
2000
0
500
1000
t
t
Desvio(t )  t1/ 2
1500
2000
Autoafinidade
O movimento Browniano
(modelo de Wiener )
a
0.8
b
0.6
10
0.4
5
0.2
0
X
x
0.0
-0.2
-5
-0.4
-10
-0.6
-15
-0.8
0
500
1000
1500
-20
2000
0
500
t
1
p(x , ) 
4F
1000
1500
t
 x2

 4 F

e




n
X (t )  x i
i 1
x
2

  x 2 p(x , )dx  2F

2000
Autoafinidade
O movimento Browniano
X
X(t+2)
x ’’
x
X(t+)
x’
X(t)
t
t+
t
t+2
p(x ' ;x ' ' , )  p(x ' , ) p(x ' ' , )

1
p(x ,2 )   dx ' p(x  x ' , ) p(x ' , ) 

4F 2
1
p(x , b ) 
4Fb
 x2

 4 Fb

e




 x2

 4 F 2

e




Autoafinidade
O movimento Browniano
x 2  2 Fh
com
h  b
X (t  h)  X (t )2
 2 Fh
X (t  h)  X (t )2
 2 Fh
 (h) 
1
X (t  h)  X (t )2
2
 (h)  h
Perfis fractais
SIMULAÇÃO
BM - Movimento Browniano (Brownian Motion)
Probabilidade e o MB
P  No. de eventospossíveis probabilidade de um evento 
1
No. de eventospossíveis
No. total de eventos
A probabilidade de obtermos uma face de um dado (ou seja um evento) é de 1/6.
Se considerarmos a possibilidade de duas faces serem possíveis (ex. 5 ou 6) a probabilidade será de 2 x (1/6) = 1/3.
Em duas jogadas consecutivas, sendo cada jogada um evento independente as possibilidades serão:
1ª
Jogada
2ª
Jogada
1
1
1
2
1
3
1
4
...
...
6
5
6
6
36 possibilidades
Para que o evento (1,4) ocorra, a probabilidade será de
1/36, ou seja, o produto das probabilidades de cada evento
independente 1/6 x 1/6 = 1/36.
Qual a probabilidade de obtermos a face 4 na primeira
jogada e a face 5 ou 6 na segunda?
R.: 1/6 x 2 x 1/6 = 2/36
Perfis fractais
SIMULAÇÃO
BM - Movimento Browniano (Brownian Motion)
Probabilidade e o MB
1º caminho
f(m)
2º caminho
3º caminho
a probabilidade de uma seqüência de N passos, com N1 à esquerda e N2 à
direita será
( p  p  p  p... p).(q  q  q  q...q)  p N1 q N2
 


N1 vezes
m
N 2 vezes
o número de caminhos possíveis após N passos sendo N1 para esquerda e N2
para direita será
N!
N1! N 2 !
a probabilidade associada a um grupo de passos N1, N2 será dada por
PN ( N1 , N 2 ) 
N!
p N1  q N2
N1! N 2 !
Perfis fractais
SIMULAÇÃO
BM - Movimento Browniano (Brownian Motion)
Probabilidade e o MB
PN (m) 
N!
p
N

m
N

m




!
!
 2  2 
 N m 


 2 
q
 N m 


 2 
0,6
N=10
N=3
PN(m)
0,4
 m   t
2
0,2
0,0
-10
-5
0
5
10
m
a probabilidade associada a um grupo de passos N1, N2 será dada por
1
2
Perfis fractais
SIMULAÇÃO
BM - Movimento Browniano (Brownian Motion)
Programa para simulação
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
void help();
void main(int argc, char **argv)
{
int i,fim,eve,t;
double brw=0.0,passo,mmax;
if(argc!=3) { help(); exit(0); }
fim=atoi(argv[1]);
eve=atoi(argv[2]);
mmax=32767.0;
for(i=1;i<=fim;i++){
passo=0.0;
for(t=1;t<=eve;t++)passo+=((double)rand()/mmax);
printf("%d %f \n",i,brw+=(passo/eve-0.5));
}
}
void help()
{ fprintf(stderr,"usage: wngA {No.de linhas} {No.de eventos}\n");}
Perfis fractais
SIMULAÇÃO
FBM
Movimento Browniano Fracionário
(Fractional Brownian Motion)
H=0,9
H=0,5
H=0,1
Desvio(t )  t H
3
2
1
0
-1
-2
D = 2-H
Conceito de persistência.
10
5
0
-5
-10
-15
400
300
200
100
0
-100
600
602
604
606
Time
608
610
Perfis fractais
SIMULAÇÃO
FBM
Algoritmo “midpoint displacement”
Perfis fractais
SIMULAÇÃO
A função de Weirstrass
f H ( x) 

 nH
n
b
[
1

cos(
b
x)]

n  
f H (bx)  b H f ( x)
Perfis fractais
Weirstrass:código
SIMULAÇÃO
/* melhor resultados com um SH=0.60 */
#include <math.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
double b,h,soma,f,arg;
double x,i,SH,passo;
unsigned long np;
int n;
double mincx,mincy,maxt;
void help(void);
void main(int argc, char **argv)
{
if(argc!=4){
help();
exit(0);}
np=(unsigned long) atoi(argv[1]);
SH=(double) atof(argv[3]);
passo=0.01/(double)(np);
b=2.1;
h=atof(argv[2]);
for (x=SH;x<=(SH+((np+1)*passo));x+=passo)
{
soma=0.0;
for (n=-30;n<=30;n++){
arg=(pow(b,n)*x)*0.01745;
f=(1.00-cos(arg))/pow(b,(double)(n)*h);
soma=soma+f;}
printf("%le %le\n",x,soma);}
}
void help()
{ fprintf(stderr,"usage: wei {No.Points} { H } {Shift}\n");}
Perfis fractais
SIMULAÇÃO
Modelos de Crescimento
SOS
SOS com difusão
Modelos
DLA
TÓPICOS
 Perfis Fractais;
Simulação;
Caracterização.
 Superfícies Fractais;
Isotropia;
Homogeneidade.
 Sistemas dinâmicos;
Autômatas;
Jogo da Vida.
Perfis fractais
CARACTERIZAÇÃO
Alguns métodos de cálculo dos índices
fractais (para perfis)
• Variação
• Semivariograma
• RMS
• DFA
•R/S
• Tortuosidade
• FFT
Métodos
variacionais
Perfis fractais
Método da variação máximo-mínimo
Dubuc et al (1989)
A(r ) 
1
max(xi )  min(xi )x

L i
A(r ) ~ r
H
Altura Zi (mm)
180
max-min
160
140
120
100
r
0
20
40
60
80
Distanciai (mm)
100
120
140
Perfis fractais
Método RMS
Moreira at al (1993)
___
1
W ( h) 
Nh
 1


u 1 
 mh
Nh
__


Z
(
x
)

Z
h

i



ih 
2



1
2
___
W ( h)  L  h H
i
Altura Z (mm)
180
Z
160
h
140
120
h
100
0
20
40
60
80
Distancia i (mm)
100
120
140
Perfis fractais
Método DFA
Moreira at al (1994)
___
W (h) 
1
Nh
1


u 1  mh
Nh

2
 Z ( xi )  f ( xi )h  
1
2

ih
___
W (h) ~ h H
AlturaZi (mm)
180
f(x)
160
140
120
100
r
0
20
40
60
80
Distanciai (mm)
100
120
140
Perfis fractais
Método do
Semivariograma.
Armstrong (1986)
1 n( h)
2


 (h) =
Z
(
x
)
Z
i
h

2 n(h) i=1
 (h)  l
22
h
2
Onde l  Crossover Length
Perfis fractais
Semivariogramas típicos
Semivarianza, (h)
100
10
Bm
H=0.5
Completamente aleatorio
MG
fBm
H=0.6
1
fBm
H=0.4
0.1
0.01
0.01
0.1
1
Longitud de escala, h
10
100
H Persistência
Perfis fractais
De forma que:
HRelação entre escalas
l Escala característica.
( sem l é como um mapa sem a legenda de escala)
100
100
H=0.9
l =30
H=0.7
H=0.5
Semivarianza, (h)
Semivarianza, (h)
10
l =3
1
l =0.3
0.1
10
 = (1.3)
H=0.1
2
1
0.1
l =1.3
0.01
0.01
0.01
0.1
1
Longitud de escala, h
10
100
0.01
0.1
1
Longitud de escala, h
10
100
Perfis fractais
Prática
Cálculo de D para um perfil fractal simulado via Weirstrass
- RMS
- Semivariograma
TÓPICOS
 Perfis Fractais;
Simulação;
Caracterização.
 Superfícies Fractais;
Isotropia;
Homogeneidade.
 Sistemas dinâmicos;
Autômatas;
Jogo da Vida.
Superfícies fractais
Superfícies:
200
DT= 2,9
110
180
DT= 2,5
108
160
106
104
140
102
120
100
100
98
250
80
250
96
200
200
60
150
0
50
94
0
100
50
100
150
50
DT= 2,1
200
FBM.
Modelos de
crescimento
250
150
100
100
150
50
200
0
250
101
100
99
250
200
150
980
50
100
100
150
50
200
250
0
0
Superfícies fractais
Isotropia:
Currence
Rosa de Hurst
1200
1000
120
60
3
150
Tipo de filtrado
lineal
Currence
Altura (mm)
800
Eje y
90
600
160.0
400
30
0.00
200
0
0
2
200
400
600
800
1000
1200
Eje x
180
0
2
Lineal
210
1200
330
1000
3
Altura (mm)
300
270
Eje y
800
240
600
220.0
400
0.00
200
0
0
200
400
600
Eje x
800
1000
1200
Superfícies fractais
Homogeneidade:
Exemplo para uma superfície simulada
400
300
400
v =30
350
350
300
Num. de ventanas
300
Eje y
250
200
150
100
250
200
200
150
100
100
50
50
0
0
0
50
100
150
200
Eje x
250
300
350
0
400
50
0
2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0
Dimensión Fractal
2.90
2.40
100 150 200 250 300 350 400
Dimensión Fractal
2.80
2.70
2.30
2.20
2.60
2.10
2.50
2.00
TÓPICOS
 Perfis Fractais;
Simulação;
Caracterização.
 Superfícies Fractais;
Isotropia;
Homogeneidade.
 Sistemas dinâmicos;
Autômatas;
Jogo da Vida.
Sistemas Dinâmicos
Autômatas
Valores atuais : 000 001 010 011 100 101 110 111
Valores futuros: 0
1
0
1
Autômatas
1
0
1
0
Sistemas Dinâmicos
Jogo da Vida
1 vizinho morre de solidão;
4, ou mais, vizinhos morre de superlotação;
3 vizinhos nasce;
Qualquer outra configuração se mantém.
Raio de vizinhança.
Jogo da Vida
Sistemas Dinâmicos
Dever de casa
Buscar uma série temporal e calcular D para ela!